Решение.
.
Подставив последовательно в полученные равенства начальные условия, определим :
; ; ;; , .
Частным решением данного уравнения будет
.
Пример 2. Проинтегрировать дифференциальное уравнение
.
Решение. Это уравнение не содержит . Полагаем , , получим линейное дифференциальное уравнение первого порядка
.
Здесь , . Найдем общее решение уравнения:
. Итак,
или
.
Получили общее решение данного дифференциального уравнения.
Пример 3. Решить уравнение .
Решение. Полагаем , . Тогда данное уравнение примет вид:
.
Разделим переменные
.
В результате последовательного интегрирования получим
;
К интегралу справа применим формулу интегрирования по частям, полагая
, , , . Тогда
.
Итак, .
Пример 4. Найти частное решение уравнения
при условии при .
Решение. Полагаем , и уравнение преобразуется в следующее:
или .
Получили уравнение Бернулли. Преобразуем уравнение: . Полагаем , тогда . Рассматриваемое уравнение примет вид:
или .
Получили линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Его общее решение имеет вид:
, т.е. .
Произведя обратную замену , получим
или . Из условия при имеем . Следовательно, или . Интегрируя, имеем:
.
Полагая и , получим , откуда или .
Достарыңызбен бөлісу: |
