Пример 7. Решить уравнение: .
Решение. Если в уравнении функция однородная нулевой степени однородности, то уравнение однородное. В нашем примере
, .
Рассмотрим
,
т.е. однородная функция нулевой степени однородности, поэтому заданное дифференциальное уравнение однородное. Уравнение преобразуем к виду
.
Полагаем , т.е. , , тогда
, ,
откуда . Интегрируя, получим
. Заменяя на , найдем
.
Получили общее решение.
Пример 10. Решить уравнение .
Решение. Это уравнение Бернулли, где , решим уравнение двумя способами.
Первый способ. Полагаем ; . Уравнение примет вид:
. (*)
Полагаем
.
Из уравнения (*) следует:
.
Следовательно,
или .
Получили общий интеграл данного уравнения.
Второй способ. Полагаем
; , , т.е. .
Разделим заданное уравнение на :
.
Получили линейное дифференциальное уравнение первого порядка, где , . Воспользуемся формулой для общего решения линейного уравнения:
.
Получили . Возвращаясь к переменной , получим
.
Пример 12. Решить уравнение
.
Решение. В данном случае , . Имеем
; .
Следовательно, данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Найдем функцию , для которой
; .
По частной производной найдем , полагая :
.
Продифференцируем найденную функцию по
.
Учитывая, что , получим
.
Тогда . Общим интегралом уравнения будет
или , где .
Достарыңызбен бөлісу: |
