Решение. Преобразуем левую часть уравнения. Разделим переменные, поделив на
Пример 6. Решить уравнение . Решение
жүктеу/скачать 223,8 Kb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Пример 7.
| Пример 6. Решить уравнение
. Решение. Корнями характеристического уравнения будут , . Тогда общее решение однородного уравнения имеет вид: . Рассмотрим правую часть данного уравнения , где . Число не равно . Поэтому частное решение ищем в виде . Найдем
, . Подставив значения в данное уравнение, получим равенство , или
. Приравняем коэффициенты при и : Частное решение данного неоднородного уравнения . Общее решение . Пример 7. Проинтегрировать уравнение . Решение. Из характеристического уравнения находим , следовательно, общее решение однородного уравнения имеет вид . Рассмотрим правую часть заданного уравнения , где , , . Так как не равен , то частное решение ищем в виде .
. . Подставив в данное уравнение и сократив обе части его на , получим . Приравняв коэффициенты при и , получим Следовательно, , , или, после преобразования получим общее решение . Мысал 1. Теңдеуді шешіңіз ...
...
Айнымалыларды бөлу арқылы бөлейік: ...
Интегралдау арқылы біз теңдеудің жалпы интегралын аламыз: ; ;
; ... Бөлу кезінде біз оны шештік. Функцияны бөлек қарастырайық. Бұл функция бастапқы теңдеуді қанағаттандырады және кез-келген мән үшін жалпы интегралдан алуға болмайды. Соңында теңдеудің жалпы интегралы жазылады: ,. Мысал 2. Теңдеуді шешіңіз: және бастапқы шарттарды қанағаттандыратын нақты шешімді таңдаңыз: at. Шешім. Ауыстыру: ,. Бұл бөлінетін теңдеу:. Интегралдау арқылы біз мынаны аламыз :, қайдан. Функцияны бөлек қарастырайық. Ол бастапқы теңдеуді қанағаттандырады және кез-келген мән үшін жалпы шешімнен алуға болмайды. Сондықтан жалпы шешім: ,.
Мысал 3. Теңдеуді шешіңіз :. Шешім. Бұл бөлінетін айнымалылары бар бірінші ретті теңдеу. Ауыстыру: ...
Мысал 4. Теңдеуді шешіңіз Шешім. Бұл теңдеу - айнымалылары бөлінетін бірінші ретті дифференциалдық теңдеу. Біз теңдеудің екі жағын да бөлеміз :; , қайдан немесе ,,. Біз жалпы шешімді алдық:. Мысал 5. Теңдеуді шешіңіз. Шешім. Біз. Қарастырайық
...
,, ,.
,,,. Ауыстыру :. Берілген теңдеудің жалпы интегралын алды. Мысал 6. Теңдеуді шешіңіз. Шешім. Ауыстыру арқылы мынаны аламыз:. Бұл теңдеуде және. , ...
Сондықтан екі функция да бірінші дәрежелі біртекті. Сондықтан бұл теңдеу біртекті болып табылады. Біз осы жерден сенеміз. Сонда бастапқы теңдеу келесідей болады: ,, ... Бөлек айнымалылар: және интегралдау: ,. Ауыстыру :. Жалпы интеграл алды. Мысал 7. Теңдеуді шешіңіз :. Шешім. Егер теңдеудегі функция біртектіліктің нөлдік дәрежесімен біртекті болса, онда теңдеу біртекті болады. Біздің мысалда ,. Қарастырайық , анау. нөлдік дәрежелі біртекті функция, сондықтан берілген дифференциалдық теңдеу біртектес болады. Біз теңдеуді формаға айналдырамыз ... Біз, яғни , содан кейін ,, қайдан. Интеграциялау, біз аламыз ... Ауыстыру арқылы біз табамыз
Біз жалпы шешімді алдық. Мысал 10. Теңдеуді шешіңіз. Шешім. Бұл Бернулли теңдеуі, мұндағы теңдеуді екі тәсілмен шешеміз. Бірінші жол. Біз сенеміз; ... Теңдеу келесідей болады: ... (*)
Біз сенеміз ...
(*) Теңдеу мынаны білдіреді: ...
Демек, немесе.
Осы теңдеудің жалпы интегралын алды. Екінші жол. Біз сенеміз ; , яғни ... Берілген теңдеуді келесіге бөлейік: ... Бірінші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеу алынды, мұндағы ,. Сызықтық теңдеудің жалпы шешімінің формуласын қолданайық: ... Түсіндім Айнымалыға оралсақ, аламыз ... Мысал 12. Теңдеуді шешіңіз ... Шешім. Бұл жағдайда , . Бізде бар ; ... Демек, бұл теңдеу жалпы дифференциалдық теңдеу болып табылады. Ол үшін қандай функция табайық ; ... Біз ішінара туынды бойынша табамыз, егер: ... Табылған функцияны қатысты саралайық ... Осыны ескере отырып, біз аламыз ...
немесе қайда. Өзіндік көмек тапсырмалары
3 .; 4.;
бес. ; 6 .; 7 .; сегіз. ; тоғыз.; он.; он бір.; 12.; 13.; он төрт.; он бес.;
он алты.,; 17 .; 18.; он тоғыз.; 20.; 21 .; 22 .; 23 .; 24 .; 25 .; 26 .; 27 .; 28.
Шешім.
... N ауыстыру Mısal 1. Teñdewdi şeşiñiz ...
... Aynımalılardı bölw arqılı böleyik: ... Ïntegraldaw arqılı biz teñdewdiñ jalpı ïntegralın alamız: ; ; ; ...
Bölw kezinde biz onı şeştik. Fwnkcïyanı bölek qarastırayıq. Bul fwnkcïya bastapqı teñdewdi qanağattandıradı jäne kez-kelgen män üşin jalpı ïntegraldan alwğa bolmaydı. Soñında teñdewdiñ jalpı ïntegralı jazıladı: ,. Mısal 2. Teñdewdi şeşiñiz: jäne bastapqı şarttardı qanağattandıratın naqtı şeşimdi tañdañız: at. Şeşim. Awıstırw: ,. Bul bölinetin teñdew:. Ïntegraldaw arqılı biz mınanı alamız :, qaydan. Fwnkcïyanı bölek qarastırayıq. Ol bastapqı teñdewdi qanağattandıradı jäne kez-kelgen män üşin jalpı şeşimnen alwğa bolmaydı. Sondıqtan jalpı şeşim: ,.
Mısal 3. Teñdewdi şeşiñiz :. Şeşim. Bul bölinetin aynımalıları bar birinşi retti teñdew. Awıstırw: ...
Mısal 4. Teñdewdi şeşiñiz Şeşim. Bul teñdew - aynımalıları bölinetin birinşi retti dïfferencïaldıq teñdew. Biz teñdewdiñ eki jağın da bölemiz :; , ... жүктеу/скачать 223,8 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|