Статья является логическим продолжением урока Однородные уравнения второго и высших порядков



бет4/10
Дата06.01.2022
өлшемі381 Kb.
#14112
түріСтатья
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10
Байланысты:
Как решить неоднородное дифференциальное уравнение

Решение:
1) Сначала найдем общее решение соответствующего однородного уравнения. Берём наш неоднородный диффур  и обнуляем правую часть:

Составим и решим характеристическое уравнение:



 – получены различные действительные корни, поэтому общее решение: 

2) Теперь нужно найти какое-либо частное решение  неоднородного уравнения 

И вопрос, который вызывает затруднения чаще всего: В каком виде нужно искать частное решение ?



Прежде всего, смотрим на нашу правую часть: . Тут у нас многочлен третьей степени. По идее, частное решение тоже следует искать в виде многочлена третьей степени: , где  – пока ещё неизвестные коэффициенты (числа). Образно говоря, нужно посмотреть на правую часть неоднородного уравнения и «собезьянничать» её, но уже с неопределёнными коэффициентами. Вариант подбора, который «сразу приходит в голову», я неформально буду называть обычнымобыкновенным или штатным случаем.

После предварительного анализа смотрим на корни характеристического уравнения , найденные на предыдущем этапе: это различные действительные корни, отличные от нуля. В методическом материале Как подобрать частное решение неоднородного уравнения? данному случаю соответствует Раздел I. Анализируя примеры №№1-4 справки, приходим к выводу, что, да, действительно – частное решение неоднородного уравнения нужно искать в виде:


После правильно выбранного подбора алгоритм пойдёт по накатанной колее. Используем метод неопределенных коэффициентов. Кто не знаком – узнает.



Найдём первую и вторую производную:




Подставим  и  в левую часть неоднородного уравнения:

(1) Раскрываем скобки.


(2) Ставим знак = и приписываем правую часть исходного ДУ.

Далее работаем с последним равенством – необходимо приравнять коэффициенты при соответствующих степенях и составить систему линейных уравнений. В картинках процесс выглядит так:




Чтобы было еще проще, новичкам рекомендую предварительно сгруппировать подобные слагаемые:


, и только потом составлять систему.

В данном случае система получилась очень простой, и многие из читателей справятся с ней даже устно.



Подставляем найденные значения  в наш исходный подбор частного решения :

Таким образом, подобранное частное решение неоднородного уравнения:


3) Запишем общее решение неоднородного уравнения:


Всё!


Ответ: общее решение: 

Для неоднородных уравнений второго порядка я люблю проводить проверку-«лайт». Сначала я проверяю, правильно ли решил квадратное уравнение. После такой проверки первая часть ответа  (общее решение однородного уравнения) будет гарантировано правильной.



Осталось проверить, верно ли найдена вторая часть ответа (подобранное частное решение): . Это тоже довольно просто.
Найдем первую и вторую производную:



Подставим  и  в левую часть неоднородного уравнения:
 – получена правая часть исходного уравнения, значит, частное решение  найдено правильно.

Существует и полный вариант проверки, о нём речь пойдет, когда я разберу задачу Коши.



Пример 2

Найти общее решение дифференциального уравнения.



Выполнить проверку-«лайт». Это пример для самостоятельного решения, полное решение и ответ в конце урока.

Будьте внимательны, пример «с подвохом»!

А поэтому повторим, по какой схеме подбирать частное решение:


– Смотрим на правую часть  и подбираем первоначальный «штатный» вид частного решения .
– Смотрим на корни характеристического уравнения и в справке Как подобрать частное решение неоднородного уравнения? находим нужный раздел (всего их там пять).
– Знакомимся с разделом и уточняем, в каком же виде нужно искать частное решение .

Пример 3

Найти общее решение неоднородного дифференциального уравнения.







Достарыңызбен бөлісу:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10




©emirsaba.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет