Решение:
1) Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:
Характеристическое уравнение:
– получены сопряженные комплексные корни, поэтому общее решение:
.
2) Частное решение неоднородного уравнения ищем в «обычном» виде:
(при подборе не забываем посмотреть Раздел IV справочной таблицы).
Выясним, чему равны коэффициенты .
Найдем производные:
Подставим и в левую часть неоднородного уравнения:
(после подстановки и максимальных упрощений приписываем правую часть: )
Из последнего равенства составим и решим систему:
Здесь первое уравнение умножено на 4, а затем проведено почленное вычитание: из второго уравнения я почленно вычел первое уравнение. Если метод не знаком или позабылся, смотрите урок Как решить систему линейных уравнений? Естественно, при решении системы не возбраняется применять «школьный» метод подстановки, другое дело, что в похожей ситуации это обычно не очень выгодно и удобно.
Таким образом, подобранное частное решение: .
3) Составим общее решение неоднородного уравнения:
Ответ: общее решение:
Пример 9
Найти общее решение неоднородного уравнения
Это пример для самостоятельного решения. Будьте внимательны при подборе частного решения ! Полное решение и ответ в конце урока.
В конце урока обещанные новогодние подарки. Что в новогодние праздники приносит Дедушка Мороз студентам? На этот вопрос ответ знаю только я. В Новый год Дедушка Мороз принесёт вам большой мешок неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. У меня их много.
На самом деле очень хотелось рассмотреть и другие диффуры, но таки статья должна укладываться в разумные размеры, чтобы Коши действительно не зашептал не обиделись поисковики, Яшенька, бедный, и так у нас очень глючный. Поэтому предлагаю для самостоятельного решения еще несколько уравнений, которые показались мне интересными, но не вошли в «основную сетку» урока.
Для следующих примеров полного решения не будет, будут только готовые ответы в конце урока. Но, даже из одних ответов вы сможете «вытащить» информацию, например, в каком же виде надо выполнить подбор частного решения. Среди предлагаемых ДУ есть как несложные диффуры, так и уравнения повышенной сложности.
Придерживайтесь алгоритма, будьте внимательны и успешного вам дифференцирования!
Пример 10
Найти общее решение неоднородного уравнения
Пример 11
Найти общее решение неоднородного уравнения
Пример 12
Найти частное решение неоднородного уравнения, соответствующее заданным начальным условиям.
, ,
Пример 13
Найти частное решение неоднородного уравнения, соответствующее заданным начальным условиям.
, ,
Пример 14
Найти общее решение неоднородного уравнения
Пример 15
Найти общее решение неоднородного уравнения
Должен сказать, что примеры №№13-15 достаточно сложны в техническом плане, при подборе частного решения появляются громоздкие производные, которые еще и нужно подставлять в левую часть уравнения. Но, как оптимист, предполагаю, что данные уравнения сможет решить не такой уж маленький процент студентов!
Однако и это ещё не все! По многочисленным просьбам я написал статью о линейных неоднородных ДУ высших порядков, где раскрыл дополнительные и очень полезные приёмы решения. В частности, за какую-то пару минут вы научитесь… вообще обходиться без справочной таблицы!!
К слову, о таблице. Наверное, многие, ознакомившись этим справочным материалом, заметили, что в правой части рассматривается ограниченный класс функций : многочлены, экспоненты, синусы, косинусы.
Как быть, если в правой части находятся другие функции, например, тангенс или какая-нибудь дробь? И в таких случаях существует метод решения! Подбор не прокатывает, и приходится использовать очень мощный и универсальный метод вариации произвольных постоянных.
Вот это подарки, так подарки =)
Happy New Year!
Решения и ответы:
Пример 2: Решение:
1) Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:
Достарыңызбен бөлісу: |