Решение:
1) Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:
Характеристическое уравнение:
– получены кратные действительные корни, поэтому общее решение:
2) Выясняем, в каком виде нужно искать частное решение . Смотрим на правую часть неоднородного уравнения , и сразу появляется первая версия подбора: .
Далее смотрим на корни характеристического уравнения: – действительные кратные корни. Изучая Раздел III, примеры 24-26 справочных материалов, приходим к выводу, что «очевидное» частное решение необходимо домножить на , то есть, частное решение следует искать в виде:
Ищем неизвестный коэффициент .
Найдем первую и вторую производную:
Подставим , и в левую часть неоднородного уравнения и максимально упростим выражение:
В самом конце после упрощений приписываем исходную правую часть .
Из последнего равенства следует:
Таким образом: .
3) Составим общее решение неоднородного уравнения:
4) Найдем частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям ,
Как уже отмечалось, порядок нахождения частного решения немного рассматривался на уроке Однородные уравнения второго и высших порядков. Повторим.
Сначала берём найденное общее решение и применяем к нему первое начальное условие :
Согласно начальному условию: – получаем первое уравнение.
Далее находим производную от общего решения:
и применяем к найденной производной второе начальное уравнение :
Согласно второму начальному условию: – получаем второе уравнение.
Составим и решим систему:
Подставим найденные значения констант , в общее решение
Достарыңызбен бөлісу: |
