Статья является логическим продолжением урока Однородные уравнения второго и высших порядков
жүктеу/скачать 381 Kb.
|
Как решить неоднородное дифференциальное уравнение
- Бұл бет үшін навигация:
- В каком виде нужно искать частное решение
- Как подобрать частное решение неоднородного уравнения
| Решение:
1) Сначала найдем общее решение соответствующего однородного уравнения. Берём наш неоднородный диффур и обнуляем правую часть: Составим и решим характеристическое уравнение: – получены различные действительные корни, поэтому общее решение: 2) Теперь нужно найти какое-либо частное решение неоднородного уравнения И вопрос, который вызывает затруднения чаще всего: В каком виде нужно искать частное решение ? Прежде всего, смотрим на нашу правую часть: . Тут у нас многочлен третьей степени. По идее, частное решение тоже следует искать в виде многочлена третьей степени: , где – пока ещё неизвестные коэффициенты (числа). Образно говоря, нужно посмотреть на правую часть неоднородного уравнения и «собезьянничать» её, но уже с неопределёнными коэффициентами. Вариант подбора, который «сразу приходит в голову», я неформально буду называть обычным, обыкновенным или штатным случаем. После предварительного анализа смотрим на корни характеристического уравнения , найденные на предыдущем этапе: это различные действительные корни, отличные от нуля. В методическом материале Как подобрать частное решение неоднородного уравнения? данному случаю соответствует Раздел I. Анализируя примеры №№1-4 справки, приходим к выводу, что, да, действительно – частное решение неоднородного уравнения нужно искать в виде: После правильно выбранного подбора алгоритм пойдёт по накатанной колее. Используем метод неопределенных коэффициентов. Кто не знаком – узнает. Найдём первую и вторую производную: Подставим и в левую часть неоднородного уравнения: (1) Раскрываем скобки. (2) Ставим знак = и приписываем правую часть исходного ДУ. Далее работаем с последним равенством – необходимо приравнять коэффициенты при соответствующих степенях и составить систему линейных уравнений. В картинках процесс выглядит так: Чтобы было еще проще, новичкам рекомендую предварительно сгруппировать подобные слагаемые: , и только потом составлять систему. В данном случае система получилась очень простой, и многие из читателей справятся с ней даже устно. Подставляем найденные значения в наш исходный подбор частного решения : Таким образом, подобранное частное решение неоднородного уравнения: 3) Запишем общее решение неоднородного уравнения: Всё!
Ответ: общее решение: Для неоднородных уравнений второго порядка я люблю проводить проверку-«лайт». Сначала я проверяю, правильно ли решил квадратное уравнение. После такой проверки первая часть ответа (общее решение однородного уравнения) будет гарантировано правильной. Осталось проверить, верно ли найдена вторая часть ответа (подобранное частное решение): . Это тоже довольно просто. Найдем первую и вторую производную: Подставим и в левую часть неоднородного уравнения: – получена правая часть исходного уравнения, значит, частное решение найдено правильно. Существует и полный вариант проверки, о нём речь пойдет, когда я разберу задачу Коши. Пример 2 Найти общее решение дифференциального уравнения. Выполнить проверку-«лайт». Это пример для самостоятельного решения, полное решение и ответ в конце урока. Будьте внимательны, пример «с подвохом»! А поэтому повторим, по какой схеме подбирать частное решение: – Смотрим на правую часть и подбираем первоначальный «штатный» вид частного решения . – Смотрим на корни характеристического уравнения и в справке Как подобрать частное решение неоднородного уравнения? находим нужный раздел (всего их там пять). – Знакомимся с разделом и уточняем, в каком же виде нужно искать частное решение . Пример 3 Найти общее решение неоднородного дифференциального уравнения. жүктеу/скачать 381 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|