Статья является логическим продолжением урока Однородные уравнения второго и высших порядков



бет6/10
Дата06.01.2022
өлшемі381 Kb.
#14112
түріСтатья
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10
Байланысты:
Как решить неоднородное дифференциальное уравнение

Решение:
1) Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:

Характеристическое уравнение:


 – получены кратные действительные корни, поэтому общее решение:


2) Выясняем, в каком виде нужно искать частное решение . Смотрим на правую часть неоднородного уравнения , и сразу появляется первая версия подбора: .

Далее смотрим на корни характеристического уравнения:  – действительные кратные корни. Изучая Раздел III, примеры 24-26 справочных материалов, приходим к выводу, что «очевидное» частное решение  необходимо домножить на , то есть, частное решение следует искать в виде:

Ищем неизвестный коэффициент .

Найдем первую и вторую производную:





Подставим ,  и  в левую часть неоднородного уравнения и максимально упростим выражение:

В самом конце после упрощений приписываем исходную правую часть .

Из последнего равенства  следует:


 
Таким образом: .

3) Составим общее решение неоднородного уравнения:




4) Найдем частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям , 

Как уже отмечалось, порядок нахождения частного решения немного рассматривался на уроке Однородные уравнения второго и высших порядков. Повторим.



Сначала берём найденное общее решение  и применяем к нему первое начальное условие :

Согласно начальному условию:  – получаем первое уравнение.

Далее находим производную от общего решения:


 и применяем к найденной производной второе начальное уравнение :

Согласно второму начальному условию:  – получаем второе уравнение.

Составим и решим систему:




Подставим найденные значения констант ,  в общее решение 



Достарыңызбен бөлісу:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10




©emirsaba.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет