Статья является логическим продолжением урока Однородные уравнения второго и высших порядков
жүктеу/скачать 381 Kb.
|
Как решить неоднородное дифференциальное уравнение
- Бұл бет үшін навигация:
- Как решить систему линейных уравнений
| Решение:
1) Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения: Характеристическое уравнение: – получены сопряженные комплексные корни, поэтому общее решение: . 2) Частное решение неоднородного уравнения ищем в «обычном» виде: (при подборе не забываем посмотреть Раздел IV справочной таблицы). Выясним, чему равны коэффициенты . Найдем производные: Подставим и в левую часть неоднородного уравнения: (после подстановки и максимальных упрощений приписываем правую часть: ) Из последнего равенства составим и решим систему: Здесь первое уравнение умножено на 4, а затем проведено почленное вычитание: из второго уравнения я почленно вычел первое уравнение. Если метод не знаком или позабылся, смотрите урок Как решить систему линейных уравнений? Естественно, при решении системы не возбраняется применять «школьный» метод подстановки, другое дело, что в похожей ситуации это обычно не очень выгодно и удобно. Таким образом, подобранное частное решение: . 3) Составим общее решение неоднородного уравнения: Ответ: общее решение: Пример 9 Найти общее решение неоднородного уравнения Это пример для самостоятельного решения. Будьте внимательны при подборе частного решения ! Полное решение и ответ в конце урока. В конце урока обещанные новогодние подарки. Что в новогодние праздники приносит Дедушка Мороз студентам? На этот вопрос ответ знаю только я. В Новый год Дедушка Мороз принесёт вам большой мешок неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. У меня их много. На самом деле очень хотелось рассмотреть и другие диффуры, но таки статья должна укладываться в разумные размеры, чтобы Для следующих примеров полного решения не будет, будут только готовые ответы в конце урока. Но, даже из одних ответов вы сможете «вытащить» информацию, например, в каком же виде надо выполнить подбор частного решения. Среди предлагаемых ДУ есть как несложные диффуры, так и уравнения повышенной сложности. Придерживайтесь алгоритма, будьте внимательны и успешного вам дифференцирования! Пример 10 Найти общее решение неоднородного уравнения Пример 11 Найти общее решение неоднородного уравнения Пример 12 Найти частное решение неоднородного уравнения, соответствующее заданным начальным условиям. , , Пример 13 Найти частное решение неоднородного уравнения, соответствующее заданным начальным условиям. , , Пример 14 Найти общее решение неоднородного уравнения Пример 15 Найти общее решение неоднородного уравнения Должен сказать, что примеры №№13-15 достаточно сложны в техническом плане, при подборе частного решения появляются громоздкие производные, которые еще и нужно подставлять в левую часть уравнения. Но, как оптимист, предполагаю, что данные уравнения сможет решить не такой уж маленький процент студентов! Однако и это ещё не все! По многочисленным просьбам я написал статью о линейных неоднородных ДУ высших порядков, где раскрыл дополнительные и очень полезные приёмы решения. В частности, за какую-то пару минут вы научитесь… вообще обходиться без справочной таблицы!! К слову, о таблице. Наверное, многие, ознакомившись этим справочным материалом, заметили, что в правой части рассматривается ограниченный класс функций : многочлены, экспоненты, синусы, косинусы. Как быть, если в правой части находятся другие функции, например, тангенс или какая-нибудь дробь? И в таких случаях существует метод решения! Подбор не прокатывает, и приходится использовать очень мощный и универсальный метод вариации произвольных постоянных. Вот это подарки, так подарки =) Happy New Year! Решения и ответы: Пример 2: Решение: 1) Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения: жүктеу/скачать 381 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|