Статья является логическим продолжением урока Однородные уравнения второго и высших порядков



бет8/10
Дата06.01.2022
өлшемі381 Kb.
#14112
түріСтатья
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10
Байланысты:
Как решить неоднородное дифференциальное уравнение

Решение:
1) Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:

Характеристическое уравнение:



 – получены сопряженные комплексные корни, поэтому общее решение:
.

2) Частное решение неоднородного уравнения ищем в «обычном» виде:  


(при подборе не забываем посмотреть Раздел IV справочной таблицы).

Выясним, чему равны коэффициенты .



Найдем производные:



Подставим  и  в левую часть неоднородного уравнения:

(после подстановки и максимальных упрощений приписываем правую часть: )

Из последнего равенства  составим и решим систему:


Здесь первое уравнение умножено на 4, а затем проведено почленное вычитание: из второго уравнения я почленно вычел первое уравнение. Если метод не знаком или позабылся, смотрите урок Как решить систему линейных уравнений? Естественно, при решении системы не возбраняется применять «школьный» метод подстановки, другое дело, что в похожей ситуации это обычно не очень выгодно и удобно.

Таким образом, подобранное частное решение: .

3) Составим общее решение неоднородного уравнения:




Ответ: общее решение: 

Пример 9

Найти общее решение неоднородного уравнения


Это пример для самостоятельного решения. Будьте внимательны при подборе частного решения ! Полное решение и ответ в конце урока.

В конце урока обещанные новогодние подарки. Что в новогодние праздники приносит Дедушка Мороз студентам? На этот вопрос ответ знаю только я. В Новый год Дедушка Мороз принесёт вам большой мешок неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. У меня их много.

На самом деле очень хотелось рассмотреть и другие диффуры, но таки статья должна укладываться в разумные размеры, чтобы Коши действительно не зашептал не обиделись поисковики, Яшенька, бедный, и так у нас очень глючный. Поэтому предлагаю для самостоятельного решения еще несколько уравнений, которые показались мне интересными, но не вошли в «основную сетку» урока.

Для следующих примеров полного решения не будет, будут только готовые ответы в конце урока. Но, даже из одних ответов вы сможете «вытащить» информацию, например, в каком же виде надо выполнить подбор частного решения. Среди предлагаемых ДУ есть как несложные диффуры, так и уравнения повышенной сложности.

Придерживайтесь алгоритма, будьте внимательны и успешного вам дифференцирования!



Пример 10

Найти общее решение неоднородного уравнения




Пример 11

Найти общее решение неоднородного уравнения




Пример 12

Найти частное решение неоднородного уравнения, соответствующее заданным начальным условиям.


, , 

Пример 13

Найти частное решение неоднородного уравнения, соответствующее заданным начальным условиям.


, , 

Пример 14

Найти общее решение неоднородного уравнения





Пример 15

Найти общее решение неоднородного уравнения



Должен сказать, что примеры №№13-15 достаточно сложны в техническом плане, при подборе частного решения появляются громоздкие производные, которые еще и нужно подставлять в левую часть уравнения. Но, как оптимист, предполагаю, что данные уравнения сможет решить не такой уж маленький процент студентов!

Однако и это ещё не все! По многочисленным просьбам я написал статью о линейных неоднородных ДУ высших порядков, где раскрыл дополнительные и очень полезные приёмы решения. В частности, за какую-то пару минут вы научитесь… вообще обходиться без справочной таблицы!!

К слову, о таблице. Наверное, многие, ознакомившись этим справочным материалом, заметили, что в правой части рассматривается ограниченный класс функций : многочлены, экспоненты, синусы, косинусы.

Как быть, если в правой части  находятся другие функции, например, тангенс или какая-нибудь дробь? И в таких случаях существует метод решения! Подбор не прокатывает, и приходится использовать очень мощный и универсальный метод вариации произвольных постоянных.

Вот это подарки, так подарки =)



Happy New Year!

Решения и ответы:

Пример 2: Решение:
1) Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:


Достарыңызбен бөлісу:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10




©emirsaba.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет