Статья является логическим продолжением урока Однородные уравнения второго и высших порядков



бет5/10
Дата06.01.2022
өлшемі381 Kb.
#14112
түріСтатья
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10
Байланысты:
Как решить неоднородное дифференциальное уравнение

Решение:
1) Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:

Составим и решим характеристическое уравнение:




 
,  – получены различные действительные корни, среди которых нет нуля, поэтому общее решение: .

2) Выясняем, в каком виде нужно искать частное решение ?



Сначала смотрим на правую часть и выдвигаем первую гипотезу: раз в правой части находится экспонента, умноженная на константу , то частное решение, по идее, нужно искать в виде 

Далее смотрим на корни характеристического уравнения , , найденные в предыдущем пункте. Это два действительных корня, среди которых нет нуля. Данному случаю соответствует Раздел I справочного материала. Изучив примеры 5-8 таблицы, приходим к выводу, что наш первоначальный вариант подбора необходимо домножить на «икс». То есть, частное решение дифференциального уравнения следует искать в виде:
, где  – пока еще неизвестный коэффициент, который предстоит найти.

После того, как подобран корректный вид частного решения, алгоритм работает стандартно, единственное, вы должны уметь уверенно находить производные,  в частности, использовать правило дифференцирования произведения . В ходе вычислений я не буду подробно расписывать производные.



Найдем первую и вторую производную:



Подставим ,  и  в левую часть неоднородного уравнения:

Что сделано? Подстановка, упрощение, сокращение, и в конце – приравнивание к исходной правой части .



Здесь повезло: из последнего равенства  автоматически получаем .
Найденное значение  подставляем в наш исходный подбор .

Таким образом, частное решение: 



3) Составляем общее решение неоднородного уравнения:


Ответ: общее решение: 

Подчеркиваю, что всегда полезно выполнить «быструю» проверку, проверив, по крайне мере, подобранное частное решение .



Думаю, что после трёх разобранных примеров вы уже понимаете, как и на каком этапе надо использовать справочный материал Как подобрать частное решение неоднородного уравнения? Теперь всем читателям, в том числе чайникам, рекомендую прочитать справку полностью.

Что произойдет, если мы неправильно подберём вид частного решения? Вот в только что разобранном примере мы искали частное решение в виде , а что будет, если попробовать искать частное решение в виде  или в каком-то другом виде? Поначалу всё будет хорошо: удастся найти производные , провести подстановку. Но далее перед глазами возникнет грустный факт: у нас не получится красивого финального равенства , грубо говоря, «ничего не сойдётся»:




Сократилось вообще ВСЁ! Совершенно понятно, что в конце нельзя приписать правую часть: .

Для закрепления материала пара примеров для самостоятельного решения:



Пример 4

Найти общее решение неоднородного дифференциального уравнения.





Пример 5

Найти общее решение неоднородного дифференциального уравнения.



Полные решения и ответы в конце урока.

Коши шепчет, что пора рассмотреть его задачу.

Пример 6

Найти частное решение неоднородного уравнения, соответствующее заданным начальным условиям.


, , 

Алгоритм решения полностью сохраняется, но в конце добавляется дополнительный пункт.





Достарыңызбен бөлісу:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10




©emirsaba.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет