Статья является логическим продолжением урока Однородные уравнения второго и высших порядков
жүктеу/скачать 381 Kb.
|
Как решить неоднородное дифференциальное уравнение
- Бұл бет үшін навигация:
- Как подобрать частное решение неоднородного уравнения
| Решение:
1) Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения: Составим и решим характеристическое уравнение: , – получены различные действительные корни, среди которых нет нуля, поэтому общее решение: . 2) Выясняем, в каком виде нужно искать частное решение ? Сначала смотрим на правую часть и выдвигаем первую гипотезу: раз в правой части находится экспонента, умноженная на константу , то частное решение, по идее, нужно искать в виде Далее смотрим на корни характеристического уравнения , , найденные в предыдущем пункте. Это два действительных корня, среди которых нет нуля. Данному случаю соответствует Раздел I справочного материала. Изучив примеры 5-8 таблицы, приходим к выводу, что наш первоначальный вариант подбора необходимо домножить на «икс». То есть, частное решение дифференциального уравнения следует искать в виде: , где – пока еще неизвестный коэффициент, который предстоит найти. После того, как подобран корректный вид частного решения, алгоритм работает стандартно, единственное, вы должны уметь уверенно находить производные, в частности, использовать правило дифференцирования произведения . В ходе вычислений я не буду подробно расписывать производные. Найдем первую и вторую производную: Подставим , и в левую часть неоднородного уравнения: Что сделано? Подстановка, упрощение, сокращение, и в конце – приравнивание к исходной правой части . Здесь повезло: из последнего равенства автоматически получаем . Найденное значение подставляем в наш исходный подбор . Таким образом, частное решение: 3) Составляем общее решение неоднородного уравнения: Ответ: общее решение: Подчеркиваю, что всегда полезно выполнить «быструю» проверку, проверив, по крайне мере, подобранное частное решение . Думаю, что после трёх разобранных примеров вы уже понимаете, как и на каком этапе надо использовать справочный материал Как подобрать частное решение неоднородного уравнения? Теперь всем читателям, в том числе чайникам, рекомендую прочитать справку полностью. Что произойдет, если мы неправильно подберём вид частного решения? Вот в только что разобранном примере мы искали частное решение в виде , а что будет, если попробовать искать частное решение в виде или в каком-то другом виде? Поначалу всё будет хорошо: удастся найти производные , провести подстановку. Но далее перед глазами возникнет грустный факт: у нас не получится красивого финального равенства , грубо говоря, «ничего не сойдётся»: Сократилось вообще ВСЁ! Совершенно понятно, что в конце нельзя приписать правую часть: . Для закрепления материала пара примеров для самостоятельного решения: Пример 4 Найти общее решение неоднородного дифференциального уравнения. Пример 5 Найти общее решение неоднородного дифференциального уравнения. Полные решения и ответы в конце урока. Коши шепчет, что пора рассмотреть его задачу.
Найти частное решение неоднородного уравнения, соответствующее заданным начальным условиям. , , Алгоритм решения полностью сохраняется, но в конце добавляется дополнительный пункт. жүктеу/скачать 381 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|