Статья является логическим продолжением урока Однородные уравнения второго и высших порядков
жүктеу/скачать 381 Kb.
|
Как решить неоднородное дифференциальное уравнение
- Бұл бет үшін навигация:
- Решение: 1)
- Ответ
|
Составим и решим характеристическое уравнение: , – различные действительные корни, один из которых равен нулю, поэтому общее решение: 2) Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде: (см. Раздел II Справки!!!). Найдем первую и вторую производную: Подставим найденные производные в левую часть неоднородного уравнения: Приравнивая коэффициенты при соответствующих степенях, составим и решим систему. Из последнего равенства: Таким образом: 3) Общее решение неоднородного уравнения: Ответ: общее решение: Быстрая проверка: очевидно, что корни характеристического уравнения найдены правильно, поэтому с первой частью ответа всё хорошо. Проверим, правильно ли найдено частное решение . Найдем первую и вторую производную: Подставим и в левую часть исходного уравнения: – получена правая часть исходного уравнения, значит, частное решение тоже найдено правильно Пример 4: Решение: 1) Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения: Составим и решим характеристическое уравнение: – сопряженные комплексные корни, поэтому общее решение: . 2) Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде: (смотрим раздел IV справки). Подставим , , в левую часть неоднородного уравнения: Таким образом, частное решение: 3) Общее решение неоднородного уравнения: Ответ: общее решение: Пример 5: Решение: 1) Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения: Составим и решим характеристическое уравнение: – сопряженные, чисто мнимые комплексные корни, поэтому общее решение: . 2) Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде: (смотрим раздел V справки). Подставим и в левую часть неоднородного уравнения: Приравняем коэффициенты при соответствующих степенях, составим и решим систему: Таким образом: . 3) Запишем общее решение: Ответ: общее решение: Пример 7: Решение: 1) Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения: – кратные действительные корни Общее решение: 2) Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде: (предварительно смотрим Раздел III справочной таблицы). жүктеу/скачать 381 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|