Статья является логическим продолжением урока Однородные уравнения второго и высших порядков



бет9/10
Дата06.01.2022
өлшемі381 Kb.
#14112
түріСтатья
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10
Байланысты:
Как решить неоднородное дифференциальное уравнение


Составим и решим характеристическое уравнение:

 – различные действительные корни, один из которых равен нулю, поэтому общее решение:


2) Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде:  (см. Раздел II Справки!!!).
Найдем первую и вторую производную:


Подставим найденные производные в левую часть неоднородного уравнения:

Приравнивая коэффициенты при соответствующих степенях, составим и решим систему. Из последнего равенства:


Таким образом: 

3) Общее решение неоднородного уравнения:


Ответ: общее решение: 

Быстрая проверка: очевидно, что корни характеристического уравнения найдены правильно, поэтому с первой частью ответа  всё хорошо. Проверим, правильно ли найдено частное решение . Найдем первую и вторую производную:


Подставим  и  в левую часть исходного уравнения:
 – получена правая часть исходного уравнения, значит, частное решение  тоже  найдено правильно

Пример 4: Решение:
1) Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:

Составим и решим характеристическое уравнение:



 – сопряженные комплексные корни, поэтому общее решение:
.

2) Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде:  (смотрим раздел IV справки).


Подставим  в левую часть неоднородного уравнения:


Таким образом, частное решение: 

3) Общее решение неоднородного уравнения:


Ответ: общее решение: 

Пример 5: Решение:
1) Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:

Составим и решим характеристическое уравнение:

 – сопряженные, чисто мнимые комплексные корни, поэтому общее решение:
.

2) Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде:  (смотрим раздел V справки).


Подставим  и  в левую часть неоднородного уравнения:

Приравняем коэффициенты при соответствующих степенях, составим и решим систему:

Таким образом: .

3) Запишем общее решение:


Ответ: общее решение:


Пример 7: Решение:
1) Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:



 – кратные действительные корни
Общее решение: 

2) Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде:  (предварительно смотрим Раздел III справочной таблицы).




Достарыңызбен бөлісу:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10




©emirsaba.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет