Учебное пособие содержит основные теоретические положения пвп, примеры решения задач и пять расчетно-графических работ, имеющих различный уровень сложности
жүктеу/скачать 19,57 Mb.
|
Уч.пособие ПВП
| 1.5. Обобщённые координаты
Из рассмотренных случаев движений точки (тела, системы) следует, что их положение в пространстве однозначно определяется заданием такого количества независимых между собой параметров, сколько степеней свободы имеет, эта точка (тело, система) в конкретных условиях (т.е. с учётом наложенных связей). Ими необязательно являются декартовы координаты точек. Например, в случае вращения тела вокруг неподвижной оси – это угол поворота тела, а в случае плоскопараллельного движения тела – декартовы координаты одной точки тела (полюса) и угол поворота тела вокруг него (). В общем случае эти параметры могут иметь любой геометрический смысл, они должны быть независимы между собой и однозначно определять положение всех точек (тела или системы в целом). Такие параметры называются обобщёнными координатами данной точки (данного тела, системы). Условимся в дальнейшем обозначать их, как , где – число степеней свободы точки (тела, системы). Так как положение точек обычно определяется либо их радиус-векторами , либо прямоугольными координатами то они должны однозначно выражаться через обобщённые координаты некоторыми выражениями вида: (1.4) или (1.5) Их конкретный вид зависит от самих систем, от наложенных связей и от тех параметров, которые приняты за обобщённые координаты. Рассмотрим некоторые примеры. Пример 1 Кривошипно-ползунный механизм (рис. 1.11) состоит из кривошипа 1, шатуна 2 и ползуна 3. Между собой они соединены шарнирами и (внутренние связи). Кроме этого на эту систему наложены внешние связи (шарнир О, направляющие ползуна 3). Все звенья и точки механизма движутся, оставаясь в плоскости рисунка: ; . Определим число степеней свободы этого механизма. Рис. 1.11 Кривошип может вращаться вокруг неподвижной точки О (одна степень свободы); ползун 3 может двигаться поступательно вдоль направляющих (ещё одна степень свободы). Эти тела связаны между собой шатуном так, что (одна удерживающая геометрическая связь). Следовательно, число степеней свободы механизма S = (1 + 1 – 1) =1. В качестве обобщённой координаты можно взять один из следующих параметров (см. рис. 1.11): ( – площадь треугольника ОАВ). Рассмотрим первый случай и выразим через координаты точек . Имеем по рисунку: (а) (б) Чтобы выразить через рассмотрим прямоугольники и . Они – прямоугольные. Их общий катет . Поэтому . Следовательно: . Итак: . (в) Если в качестве обобщенной координаты принять , то получаем: ; ; . Аналогично предыдущему случаю находим: ; ; . Итак, , где . Как видим, декартовы координаты через принятые обобщённые координаты выражаются различными уравнениями. В некоторых случаях эти выражения весьма громоздкие. Это свидетельствует о неудачном выборе обобщённой координаты. Однако, важно то, что через принятую обобщённую координату можно найти декартовы координаты всех точек системы. Например, продолжив выкладки, можно выразить и координаты любой точки шатуна через принятую . жүктеу/скачать 19,57 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|