Университеттің 85 жылдығына арналған Қазіргі заманғы математика


Университеттің 85 жылдығына арналған «Қазіргі заманғы математика



Pdf көрінісі
бет362/527
Дата14.10.2023
өлшемі12,2 Mb.
#114644
1   ...   358   359   360   361   362   363   364   365   ...   527
Байланысты:
TaimanovMatem

Университеттің 85 жылдығына арналған «Қазіргі заманғы математика: 
проблемалары және қолданыстары» III халықаралық Тайманов оқуларының 
материалдар жинағы, 25 қараша, 2022 жыл 
337 



6
2
W
(1) 
6
4
W
(1) 
6
2
W
(1) 
(1) 
𝐴
1
(
1
) + 𝐴
2
(
1
) + 𝐴
3
(∆
1
) + 𝐴
4
(∆
2
𝑊

) + 𝑃 = Φ(𝑥 + 𝑉
0
𝑡)
(2) 
6t

6t

6t

где операторы
А
j
и реакция основания
𝛲
определяются по формулам как в 
работе [1]. 
Так как, в поставленной задаче начальные условия отсутствуют, то искать 
общее решение уравнения (2) проще, переходя к подвижным координатам, связанным 
с неподвижной системой координат известным преобразованием Галилея 
𝜍 = 𝑥 + 𝑉
0
𝑡 
Тогда уравнение (2) переходит в обыкновенное дифференциальное уравнение 


d
4
W
(1) 
' 3 
d
3
W
(1) 
2 d
2
W
(1) 
dW
(1) 

2
𝑉

+ 𝐴
3
𝑉

+ 𝐴
4
)
1
+(
𝐴 𝑉

+
𝐴
''
𝑉
0
)
1

𝐴
1
𝑉
0
1
+
𝐴
'''
𝑉
0
1
= Φ(𝜍) 
(3) 






dç 
где 
А
'

s h
2



b
2
sh
1
(h
0
− h
1

+ ) + 
4 b
2
a
2
a
2
a



1 2 
A
''
= −sh
2

A
'''


(4) 

Общее решение уравнения (3) ищем в виде 
(1) 


= W
0
exp ( ξς) 
(5) 
h

где 
𝜉 −
безразмерная частота. 
Введем безразмерные параметры 
d = 
V


d = 
V

; сd = 
V


h = 
h
0
–h


s = sb 
(
6) 

a
1

a
2

b
1
h

0

Характеристическое уравнение дифференциального уравнения (3) имеет вид: 
𝜉
4
+ А𝜉
3
+ В𝜉
2
+ С𝜉 = 0
(7) 
где коэффициенты А,В,С равны: 
3s
0
d
3
(1 − v
1
)[d
2
(5 − 8v
1
) + 4d
2
(1 − 2v
1
) − 8(1 − v
1
)] 
A = 
3

4(1 − v
1
)(1 − v
2
)[d
2
(d
2
+ 3d
2
) + d
2
(d
2
h
3
− 3d
2
h)] + 4d
2
[(1 − v
1
)(1 + v
2
)h
3







3(1 − v
2
)(d
2
+ d
2
h)(1 − v
1

B = 
3

(1 − v
1
)(1 − v
2
)[d
2
(d
2
+ 3d
2
) + d
2
(d
2
h
3
− 3d
2
h)] + d
2
[(1 − v
1
)(1 + v
2
)h
3







C = 
(1 − v 
3(1 − v
1
)(1 − v
2
)s
0
d
3
)(1 − v )[d
2
(d
2
+ 3d
2
) + d
2
(d
2
h
3
− 3d
2
h)] + d
2
[(1 − v 
)(1 + v 
)h
3

(8) 










Так, для 
𝜉
1
= 0, 
произведен расчет корней
𝜉
2
, 𝜉
3
, 𝜉
4
уравнения (7), для 
следующих значений безразмерных параметров 
v
1
= 0.32; 
v
2
= 0.25; d
1
= 1.1; d
2
= 1.2; 
0.1 ≤ s
0
≤ 0.5; 
2 ≤ h ≤ 6 
Следовательно, общее решение неоднородного дифференциального уравнения (3) 
равно 
𝑊
o∂
=
𝐶
1
+ 𝐶
2
𝑒
–a

+ 𝑒
–a
3
£
[𝐶
3
cos (𝛽
3
𝜉)
+
𝐶
4
sin (𝛽
3
𝜉
)] (9) 
Аналогично, общее решение неоднородного дифференциального уравнения (3) 
равно 
𝑊
0
= 𝑊
o∂
+ 𝑊
r




Университеттің 85 жылдығына арналған «Қазіргі заманғы математика: 
проблемалары және қолданыстары» III халықаралық Тайманов оқуларының 
материалдар жинағы, 25 қараша, 2022 жыл 
338 

где 
𝑊
r

частное решение неоднородного уравнения и ищется в зависимости 
от вида функции внешнего воздействия. 
Если правая часть уравнения (3) равна 
Φ(𝜉) = 𝒬𝑒
–α
0
£
sin (𝛽
0
𝜉)
(10) 
то частное решение уравнения (3) ищется в виде 
𝑊
r
= 𝒬𝑒
–α
0
£
[Asi n(𝛽
0
𝜉) + 𝐵𝑐𝑜𝑠(𝛽
0
𝜉)] 
(11) 
Подставляя выражение 
𝑊
r
в уравнение (3), получим 
W = e
–a
0

[
𝒬a
a
2
+b

sin(β
0
ξ) + 
𝒬b 
a
2
+b

cos(β
0
ξ)] 
(12) 
где 
a = 𝒬
1

4
− 6α
2
β
2
+
β
4
) + 𝒬
2

2
− 3α
2
) + −β
2
) − 𝒬
3

2
− β
2
) − 𝒬
4
α
0

0 0 






b = β
0
4𝒬α
0

2
− β
2
) + 𝒬
2

2
− 3α
2
) + 2𝒬
3
α
0
− 𝒬
4





𝒬 = 
[[[4(1 − v )d
2
(d
2
+ 3d
2
) + d
2
(d
2
h − 3d
2
h)] + 
1
24(1 − v
1








+4d
2
[(1 − v ) 
(1+v
1
)h

+ 3v
h] − 16(1 − v ) ∙ (3d
2
− 2d
2
)]] 

(13) 

1–v
1




𝒬 =
s
0
d

[d
2
(5 − 8v ) + 4d
2
(1 − 2v ) − 8(1 − v )] 

8(1 − v
1




1

𝒬
3
= (d
2
+ d
2
h) 


𝒬
4

s
0
d
3

Общее решение дифференциального уравнения (3) имеет вид 
𝑊 = 𝐶 + 𝐶 𝑒
–a

+ 𝑒
–a
2
£
[𝐶 sin (𝛽 𝜉)
+
𝐶 cos (𝛽 𝜉
)] + 
𝒬
[𝑎𝑠𝑖𝑛(𝛽 𝜉) + 






a
2
+b
2

𝑏𝑐𝑜𝑠(𝛽
0
𝜉)] 
(14) 
Для определения постоянных 
С
j
воспользуемся граничными условиями для 


случая 
𝑉 > 𝑎
, которые имеют вид 
6W

6 W 

6
W
= 0 
(𝜉 = 0) 
(15) 

6£ 




и, кроме того, должны выполнятся неравенства 
|𝑊|

< ∞; 
6W
| < ∞ 
(16) 
6( 
∞ 
Подставляя 
общее решение неоднородного дифференциального уравнения 
(14)
в граничные условия (15), получим 
𝒬b 
С
1
+ С
2
+ С
3
+ С
4
= − 
a

+ b

−𝛼 𝐶 + 𝛽 𝐶 − 𝛼 𝐶 
= − 
𝒬ab 
(17) 
2 2 
3 3 
3 4 
a
2
+b

𝒬bβ
2
−𝛼
2
𝐶 − 2𝛼 𝛽 𝐶 + (𝛼 
— 𝛽
2
)𝐶 
=
0
2 2 
3 3 3 



a
2
+ b
2
𝒬aβ
2
−𝛼
3
𝐶 + 2𝛽 (3𝛼
2
− 𝛽
2
)𝐶 + 𝛼
(3𝛽
2
−𝛼
2
)𝐶 =
0
2 2 








a
2
+ b
2
Решая систему алгебраических уравнений относительно
С
j
, (𝑗 = 1
¯¯,¯4¯), 
находим 
𝒬 
𝐾
1
𝑏𝛼
2
(𝛼
2
𝛽
3
− 2𝛼
3
𝛽
3
) + 𝛼
2
𝛽
0
𝐾
2
(𝛼
2
𝛽
3
− 2𝛼
3
𝛽
3
) + 𝛽
0
{[𝐾
1
(𝛽
0
𝑏 − 𝑎𝛼
2
) − 𝐾
2
] − 𝛼
3
𝛽
3
(𝛼
2
− 2𝛼
3
) + 𝑎𝛽
3
𝐾
1

С
1
= − 
a

+ b


𝐾 𝛼 (𝛼 𝛽 − 2𝛼 𝛽 ) 
]
1 2 3 3 
3 3 
𝒬b
0
[𝐾
1
(𝛽
0
𝑏 − 𝑎𝛼
2
) − 𝐾
2
] − 𝛼
3
𝑏(𝛼
2
− 2𝛼
3
) + 𝑎𝛽
3
(𝛼
2
− 2𝛼
3
)𝐾
1
С


a
2
+ b
2
𝛼
2
𝛽
3
(𝛼
2
— 2𝛼
3
)𝐾
2



Университеттің 85 жылдығына арналған «Қазіргі заманғы математика: 
проблемалары және қолданыстары» III халықаралық Тайманов оқуларының 
материалдар жинағы, 25 қараша, 2022 жыл 
339 





𝒬β
0
𝐾
1
(𝛽
0
𝑏 − 𝑎𝛼
2
) − 𝐾
2
𝐶


a
2
+ b
2

𝐾 (𝛼 𝛽 − 2𝛼 𝛽 ) 
]

3 3 
C =
𝒬β

∙ K 
K
1
(a +b ) 
(18) 
где 
𝐾
1
= {(𝛼
2
− 𝛽
2
− 𝛼
3
𝛼
2
)[𝛽
3
(3𝛼
2
− 𝛽
2
) − 𝛼
2
𝛽
3
] + (2𝛼
3
𝛽
3
− 𝛼
2
𝛽
2
) ∙ 




[𝛼
3
(3𝛽
2
− 𝛼
2
) + +𝛼
2
𝛼
3
]} 
(19) 



𝐾
2
= (𝛽
0
𝑏 − 𝑎𝛼
2
)[𝛽
0
(3𝛼
2
− 𝛽
2
) − 𝛼
2
𝛽
3
] + 𝑎(2𝛼
3
𝛽
3
− 𝛼
2
𝛽
2
)(𝛼
2
+ 𝛽
2






Таким образом, решение задачи о колебаний бесконечной упругой пластинки, 
находящейся под поверхностью, при воздействии подвижной нагрузки имеет вид: 
𝒬 
𝐾
1
𝑏𝛼
2
(𝛼
2
𝛽
3
− 2𝛼
3
𝛽
3
) + 𝛽
0
𝐾
2
𝛼
2
𝛽
3
(𝛼
2
− 2𝛼
3
) − 𝛽
0
[[𝐾
1
(𝛽
0
𝑏 − 𝑎𝛼
2
) − 
𝑊 = − 
a

+ b

[− { 
𝐾
1
𝛼
2
𝛽
3
(𝛼
2
— 2𝛼
3

–K
2
]–(α
3
β
3
–aβ
3
K
1
)(α
2
–2α
3
)]
}
+
β
0
{[K
1

0
b–aα
2
)–K
2
]–(α
3
β
3
–aβ
3
K
1
)(α
2
–2α
3
)}
𝑒
–α
2
£
(20)
K
1
α
2
β
3

2
–2α
3

Аннотация 
В 
настоящей 
статье 
исследуется 
влияние 
нестационарной 
нагрузки 
специального вида на колебание безграничной упругой пластинки, находящейся под 
поверхностью. Общее решение поставленной задачи получено с применением 
известных математических методов и приемов. Получено аналитическое выражение 
поперечного смещения для точек срединной плоскости. 
Ключевые слова: 
реакцияоснования, подвижная нагрузка, преобразование 
Галилея, 
подвижная 
система 
координат, 
упругость, 
безразмерная 
частота, 
характеристическое уравнение. 
Annotation 
This article investigates the influence of a non-stationary load of a special type on the 
oscillation of an infinite elastic plate located below the surface. The general solution of the 
problem is obtained using well-known mathematical methods and techniques. An analytical 
expression of the transverse displacement for the points of the median plane is obtained. 
Keywords: 
base reaction, mobile load, Galileo transformation, mobile coordinate system, 
elasticity, dimensionless frequency, characteristic equation. 
Список использованной литературы: 
1.
Джанмулдаев Б.Д Математические методы при исследовании колебаний 
плоских 
элементов 
конструкций, 
взаимодействующих 
с 
деформируемой 
средой.Монография. – г.Кызылорда 2002г. 
2.
Филиппов И.Г., Чебан В.Г. Математическая теория колебаний упругих и 
вязкоупругих пластин и стержней – Кишинев. Штиинца, 1988. 
3.
Бленд Д. Теория линейной вязкоупругости – М. Мир, 1965г. 
4.
Морс Ф.М., Фешбах Г. Методы теоретической физики – М.ИЛ.1958. т.т 1,2. 



Университеттің 85 жылдығына арналған «Қазіргі заманғы математика: 
проблемалары және қолданыстары» III халықаралық Тайманов оқуларының 
материалдар жинағы, 25 қараша, 2022 жыл 
340 
ГРНТИ 14.35.07 
ОҚУШЫЛАРҒА «АРИФМЕТИКАЛЫҚ ЖӘНЕ ГЕОМЕТРИЯЛЫҚ 
ПРОГРЕССИЯ»ТАҚЫРЫБЫ БОЙЫНША ТАПСЫРМАЛАР ЖҤЙЕСІ АРҚЫЛЫ 


Достарыңызбен бөлісу:
1   ...   358   359   360   361   362   363   364   365   ...   527




©emirsaba.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет