1. Жиындар және оларға амалдар қолдану. Мысал келтіріңіз. Эйлер Венн диаграммасы бойынша көрсетіңіз

Жиын ұғымы математиканың негiзiнде жатқан жалпы ұғымдардың бiрi. Сондықтан жиын ұғымының дәл анықтамасын бере алмаймыз. Бiз жиын деп ненi түсiнетiнiмiздi ғана сипаттай аламыз. Әдетте, жиын ретiнде оның қандай да бiр белгiлерiн ескеріп, әртүрлi нысандардың алдын-ала берiлген ерекшелiктерi бойынша топтастырылуын айтамыз. Сонымен бірге, жиын ешбір негізге сүйенбей топтастырылған нысандардан да құрастырылуы ешбір қарсылық туғызбауы керек. Жиындарды үлкен латын әрiптерi арқылы белгiлеймiз: A, B, X, P, T және т.б. Жиынды құрайтын нысандар осы жиынның элементтерi деп аталады. Жиын элементтерi кiшi латын әрiптерiмен белгiленедi: a, b, c, x, u, v және т. б. Қажет болған жағдайда, төменгi немесе жоғарғы индекстер еркiн қолданылады.

Егер x – A жиынының элементi болса, бұл жағдай xÎA белгiсiмен таңбаланады және “ x элементi А жиынына тиiстi ” деп оқылады.

Егер x элементі А жиынынан тыс болса, оны xÏA арқылы белгiлеп, “ x элементi А жиынына тиiстi емес” деп оқимыз.

Қоршаған орта мен ғылым пәндерiнiң қай-қайсысы болса да жиын ұғымына қажеттi мысалдардың кез келген түрiн бере алады. Айталық, өсiмдiктер түрлерi, кiтаптар, жай сандар, жазықтықтағы түзулер – жиын ұғымының мысалдары. Алғашқы екеуi ақырлы жиындар мысалдарын берсе, соңғы екеуi ақырсыз жиындардың мысалдары болады.

Жиындарды олардың элементтерiнiң тiзiмiн немесе олардың элементерiне ортақ қасиеттердi көрсету жолымен беруге болады. Мысалы, тізімдеп А={a1, a2, …, am} немесе элементердің ортақ қасиеті бойынша B={x:xÎN, x— тақ сан} түрінде. Ақырсыз жиындар негізінен екінші тәртiппен анықталады.

Бiздiң келешек баяндауларымыз үшiн төмендегi сандық жиындар кеңiнен қолданылады.

N = {0, 1, 2, 3, 4, … } — натурал сандар жиыны,

Z = {, ±1, ±2, ±3, … } — бүтiн сандар жиыны,

Q =- рационал сандар жиыны (Бұндағы бөлшектерді қысқармайтын бөлшектер деп есептеуімізге болады ),

R — нақты сандар жиыны. Бұл жиын рационал және иррационал сандардың бірігуінен тұрады.

Жиындар арасындағы байланыстар – жиындарға қолданылатын төмендегi амалдарды анықтайды.

Егер А жиынының барлық элементтерi B жиынына тиiстi болса, онда А жиынын B жиынының iшкi жиыны деп атаймыз. Ал B жиыны А жиынын қамтушы жиын деп аталады. Жиындар арасындағы бұл қатынас АÍB белгiсiмен көрсетiледi. Оны символдық түрде жазар болсақ:

АÍВ Û кез келген xÎА үшiн xÎВ.

Ешбiр элементi болмайтын жиынды бос жиын деп атаймыз. Æ – бос жиын белгiсi. Анықтауымыз бойынша бос жиын кез келген жиынның ішкі жиыны болады. Яғни кез келген X жиыны үшiн Æ Í X. Мысалы .

Егер AÍB және BÍA қатынастары орындалса, бұл жиындардың бiрiнiң элементтерi екiншiсiне тиiстi, ендеше ол жиындар тең болады. Тең жиындарды A=B арқылы таңбалайды.

Егер AÍB және A¹B болса, A жиынын B жиынының меншiктi iшкi жиыны деп атаймыз. Бұл қатынас AÌB арқылыбелгiленедi.

А және В жиындарына ортақ элементтерден ғана тұратын жиынды А және В жиындарының қиылысуы деп атап, ол жиынды АÇВ арқылы белгiлеймiз.

Белгілеуі: АÇВ={ x :| xÎА және xÎВ}

Егер АÇВ = Æ болса, онда А және В жиындарын қиылыспайтын жиындардеп атаймыз.

А және В жиындарының ең болмағанда бiреуiне тиiстi элементтерден тұратын жиынды – А және В жиындарының бiрiгуi деп атаймыз. Оны АÈВ таңбасы арқылы белгiлеймiз. Сонымен АÈВ ={ x : xÎА немесе xÎВ}. Демек А және В жиындары АÈВ жиынының iшкi жиындары болады, яғни AÍАÈВ және BÍАÈВ қатынастары орындалады.

А жиынына тиiстi, ал В жиынына тиiстi емес элементтерден тұратын жиын А жиыны мен В жиынының айырмасы (А минус В) деп аталып, А\В арқылы белгiленедi.

Белгiлеуi: А\В={x : xÎА және xÏВ}.

Ал А жиынына тиiстi емес және А жиынын қамтушы қандай да бiр жиынның элементтерiнен тұратын жиынды А жиынының аталған қамтушы жиындағы толықтаушы жиыны деп атаймыз. Белгiлеуi: .

Енді осы келтірілген анықтамаларды пайдаланып, төмендегі жиындар арасындағы тепе-теңдікті дәлелдейік.Эйлер-Венн диаграммалары көрнектiлiгiмен бiрге, кейбiр жиындар арасындағықарапайым тепе-теңдiктердi дәлелдеуге де қолданылады.

Лемма 1.1. Егер , ал олардыңжиынындағы толықтауыш жиындары болса, онда

Дәлелдеуі. Кез келген xÎ элементі үшін i, 1£i£n нөмірі табылып, xÎ болады, онда xÏ немесе xÏ. Яғни xÎ. Сонымен біз Í қатынасыныңорындалатынын дәлелдедік.

Кері теңсіздікті дәлелдеу үшін бар болғаны – келтірілген дәлелдеудің соңынан басына қарай жүріп өтсек жеткілікті. Шындығында да, егер xÎ болса, онда xÏ, яғни қандай да бір i£n нөмірі үшін xÏ немесе xÎ. Онда xÎнемесе Í. Лемма дәлелденді.

Ендi екi жиын элементтерiнiң өзара байланысынан өзге, шартты түрде айтқанда, осы жиындардың элементтерiнiң сандарын салыстыратын функция (бейнелеу деп те аталады) ұғымын енгiзейiк.

Анықтама. А және В жиындары берiлсiн. Егер А және В жиындарының арасындағы f сәйкестiгi бойынша А жиынының әрбiр элементiне В жиынының бiр ғана элементi сәйкес қойылса, f сәйкестiгiн А жиынынан В жиынына бейнелеу деп атаймыз. Белгiлеуi: f: A®B.

Егер bÎВ элементi f бейнелеуi бойынша аÎА элементiнiң бейнесi болса, оны f(a)=b теңдiгi арқылы жазамыз. Мұндағы а элементi f бейнелеуі бойынша b элементiнiң алғашқы бейнесi, ал b элементi а элементiнiң бейнесi деп аталады.

В жиынының алғашқы бейнесі бар элементтерінен тұратын ішкі жиынын

Imf=f(A)={y : yÎB үшiн f(x) = у болатындай xÎА табылады} арқылы белгiлеймiз. Бұл жиынды f бейнелеуi бойынша А жиынының В жиынындағы бейнесi деп атаймыз.

Ендi бейнелеулердiң арнайы түрлерiне тоқталайық.

Анықтама. А және В жиындары берiлсiн. Егер f: A®B бейнелеуi үшiн ImfÍВ жиынының кез келген элементiнiң бiр ғана алғашқы бейнесi болса, яғни кез келген x1,x2ÎA элементтерi үшiн

f(x1) = f(x2) теңдігінен x1 = x2 болатыны шығады.

Егер жоғарыдағы шарты орындалса, онда f бейнелеуiн әрмәнді (инъективтi) бейнелеу деп атаймыз.

Анықтама. Егер f: A®B бейнелеуi кезiнде В жиынының әрбiр элементiнiң алғашқы бейнесi болса, яғни кез келген bÎВ үшiн аÎА табылып, f(a) = b теңдiгi орындалса, онда f бейнелеуiн А жиынының В жиынына тұтас (съюрективтi) бейнелеу деп атаймыз.

Анықтама. Егер f: A®B бейнелеуi әрмәнді (инъективтi) және тұтас (съюрективтi) бейнелеу болса, онда f бейнелеуi бірге—бір сәйкестiк (биекция) немесе бірге—бір бейнелеу деп аталады.

Сонымен, қысқарта жазсақ:

f – биекция болады сонда тек сонда ғана, егер

«x,yÎA үшiн

Кез келген үшiн 1A(a)=a теңдiгi орындалатын 1A:A®A функциясы бiрлiк функция деп аталады.

Егер f: A®B және бейнелеулері үшінсәйкестігінүшіншартымен анықтасақ, бұл сәйкестік бейнелеу болады және оныжәнебейнелеулерінің композициясы (бернесі) деп айтамыз.

Белгілеуі: .

Егер f: A®B,жәнеберілсе, олардың композициясы үшін әруақытта келесі

терімділік:

қасиеті орындалады.

Егер f: A®B бейнелеуі үшінбейнелеуі табылып,теңдігі орындалса, яғни кез келгенүшінболса, ондабейнелеуі f бейнелеуіне кері бейнелеу деп аталып, олтүрінде белгіленеді.

Оқушыға өз бетінше төмендегі қасиеттерді дәлелдеуді ұсынамыз.

Қасиеттері.

Әрбір f биекциясына кері бейнелеу табылады және .

А жиыны мен оны қамтитынжиыны үшiн,жиынында анықталған

функциясы A жиынының U жиынындағы мiнездемелiк функциясы депаталады.

Енді осы мінездемелік функцияның қарапайым қасиеттерін төмендегі леммаға біріктірейік.

Лемма 1.2. Егербос емес жиын жәнеоның ішкі жиындары болса, онда кез келген uÎ үшін

Дәлелдеуі. Лемманың 1-ші және 2-ші пункттері мінездемелік функцияның анықтамасының тікелей салдарлары, ал (3) пункті жоғарыдағы 1.1-ші пеммадағы (1) тепе-теңдікке мінездемелік функцияны қолдану жолымен дәлелдейміз. Біз теңдіктің бір жағын ғана көрсетейік.болсын. Онда . Осы қатынасқа мінездемелік функцияны қолдансақ, . Кері теңсіздік тура осылай дәлелденеді.

Лемма 1.3. Егерақырлы жиын болса, онда.

Дәлелдеуі. Мінездемелік функцияның анықтамасы бойынша егерболса, онда оң жақтағы қосындыдағы мінездемелік функцияның осы элементтегі мәні 1-ге тең, ал кері жағдайда нөлге тең болғандықтан, оң жақтағы қосындыжиынының элементтерінің санын береді.