15 апта: Каноникалық теңдеулер. Гамильтон теңдеуі. Гамильтон-Якоби теңдеуі
жүктеу/скачать 0,84 Mb.
|
Кл мех 15 лек
- Бұл бет үшін навигация:
- Гамильтон теңдеуі.
- Гамильтон функциясы немесе механикалық жүйенің гамильтонианы
|
15 апта: Каноникалық теңдеулер.
2. Гамильтон-Якоби теңдеуі 3. Адиабаталық инварианттар Математикадан белгілі, кез келген s екінші ретті дифференциалдық теңдеулер жүйесін оған пара-пар 2s бірінші ретті тендеулер жүйесімен алмастыруға болады. Бірінші ретті дифференциалдық теңдеулер түрінде жазылған, механикалық жүйенің қозғалыс теңдеулерін, қозғалыстың конондық теңдеуі деп, немесе Гамильтон теңдеулері деп атайды. Механикалық жүйе қозғалыстарын Лагранж әдісімен (Лагранж теңдеулері арқылы) қарастырғанда, t уақытты және жүйе нүктелерінің qα жалпыланған координаттарын тәуелсіз айнымалылар деп қарастырды, ал жалпыланған жылдамдықтарды Лагранж функциясына және Лагранж теңдеулеріне тікелей кіретіндігіне қарамастан оларды тәуелді айнымалылар деп есептеді. Гамильтон әдісінде тәуелсіз айнымалылар ретінде жүйенің s жалпыанған координаттары q1,q2,...,qs және s жалпыланған импульстары p1,p2,…,ps алынады.
Біздің қарастырып отырған жағдайымызда Лежандр түрлендіруін, Лагранж әдісінде қолданылатын qα және айнымалылардан, qα және рα айнымалыларға көшу үшін былай пайдалануға болады. Жүйе нүктелерінің qα жалпыланған координаттарына, жалпыланған жылдамдықтарына және t уақытқа тәуелді жүйе Лагранжианынан толық дифференциал алайық,
Қарастырылып отырған жүйеге тек қана жалпыланған потенциалды (немесе потенциалды) күш әсер етеді деп есептеп, мынандай алмастырулар жасасақ, (1)–теңдік мынандай түрге келеді, (2)
(1) Мына теңдікті ескерсек онда (2)–теңдікті былай жазуға болады, немесе
(3) Осы теңдіктің оң жағында dqα, dрα және dt дифференциалдарының болуы, сол жақтағы дифференциал белгісінің астында тұрған мүше, жүйе нүктелерінің жалпыланған координаттарына, жалпыланған импульстарына және уақытқа тәуелді функция екендігін көрсетеді, яғни (4) Осы функцияны Гамильтон функциясы немесе механикалық жүйенің гамильтонианы деп атайды. Егер жүйенің лагранжианы уақытқа тікелей тәуелді болмаса, Гамильтон функциясын жүйенің толық энергиясы деп атауға болады, бұл Гамильтон функциясының физикалық мағынасы, Н = Е=тұр. Гамильтон функциясының толық дифференциалын табайық, Осы шыққан өрнекті (3)-өрнекпен салыстырсақ, онда мынандай теңдеудер аламыз; (5)
және (6)
(5)–теңдеулер Гамильтон теңдеулері немесе қозғалыстың конондық теңдеулері деп аталады. Гамильтон теңдеулері арқылы механикалық жүйелердің қозғалысын qα жалпыланған координаттармен рα жалпыланған импульстардың өзгерісіне байланысты анықтауға болады. Гамильтон теңдеулері 2s белгісіз функциялар qα(t) және рα(t) табу үшін арналған бірінші ретті 2s дифференциалдық теңдеулер жүйесі болып табылады. (6)–теңдеу, механикалық жүйенің гамильтонианымен лагранжианының уақытқа тәуелді болуы немесе тәуелді болмауы бір мезетте болатындығын көрсетеді. Жүйе гамильтонианының уақытқа тікелей тәуелсіздігінен жүйенің толық энергиясының сақталатындығын дәлелдейік. Ол үшін Гамильтон функциясынан уақыт бойынша толық туынды алайық, (7)
осы теңдеудегі және айнымалыларды (5)–қозғалыстың конондық теңдеулеріне сәйкес мәндерімен алмастырсақ, онда теңдеудің оң жағындағы қосынды нольге тең болады, сондықтан
(8) Осыдан, егер Гамильтон функциясы уақытқа тікелей тәуелді болмаса , онда ол жүйенің Е толық энергиясына тең болады
(9) жүктеу/скачать 0,84 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|