15-дәріс. Аналитикалық функцияның жоғарғы ретті туындылары
жүктеу/скачать 130,57 Kb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Кілт сөздер
|
8апта 15–дәріс. Аналитикалық функцияның жоғарғы ретті туындылары. Аннотация: Дәрісте аналитикалық функцияның жоғарғы ретті туындылары қарастырылады. Кілт сөздер: Аналитикалық функция; жоғарғы ретті туынды. Жоспар: 1. Аналитикалық функцияның жоғарғы ретті туындылары. Дәріс тезистері С кейбір құрама-сыптығыр қисығы және бұл қисықта жатқан үзіліссіз функция берілген болсын. интегралдың түрі, мұндағы z — С қисығында жатпайтын кез келген нүктесі, Коши типтегі интеграл деп аталады. Теорема 2.9. функциясы Коши типімен анықталған С қисықта жатпайтын z кез келген ақырлы нүктесінде аналитикалық болады. Бұл функцияда барлық ретті туындылары табылады: (2.7) Дәлелдеуі. жағдайын ғана қарастырайық, яғни — аналитикалық функциясы болатынын және дәлелдейік. Ол үшін келесі айырымын бағалаймыз: , ds — қисық доғаның ұзындығының дифференциалы. 2d арқылы z және t нүктелер арасындағы қашықтықтың минимумын белгілейік және деп санаймыз. Сонда С қисықтың барлық нүктелер үшін , . Енді үзіліссіз болғандықтан шығады, , L — С қисықтың ұзындығы. Осыдан ұмтылғанда ұмтылады, яғни . Математикалық индукция әдісін қолданып (2.7) формуланы кез келген n үшін дәлелдеуге болады. Салдар. тұйық облыста жатқан кез келген аналитикалық функция берілген облысының ішіндегі туындыларының барлық реті болады және де бұл туындылар келесі формуламен жазуға болады: , (2.8) мұндағы С — D облысының шекарасы. Шынында да, Коши формула бойынша . Оң жағында Коши типтегі интегралдың дербес жағдайы болады тұр, ал барлық туындыларының табылуы және (2.8) формуланың дұрыстығы 2.9 теоремадан шығады. Мысал 2.7. интегралын есептеңіз. Шешуі. (2.8) формула бойынша , үшін табамыз. Мысал 2.8. интегралын есептеңіз, мұндағы С — нүктені ішінде жатқан кез келген контуры. Шешуі. . Мысал 2.9. Интегралын есептеңіз: . Шешуі. және нүктелер шеңбер ішінде жатыр. Көпбайланысты облысы үшін Коши теорема бойынша , мұндағы С1 және С2 шеңбер ішінде жатқан контурлары. С1 контурымен шектелген облысында функция аналитикалық болады, ал С2 контурымен — функция аналитикалық болады. (2.6) және (2.8) формулалар бойынша . жүктеу/скачать 130,57 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|