16. Интегрирование тригонометрических функции



бет1/9
Дата24.05.2022
өлшемі3,06 Mb.
#35450
  1   2   3   4   5   6   7   8   9

1 модуль Математический анализ

16. Интегрирование тригонометрических функции


Для интегрирования рациональных функций вида R(sin x, cos x) применяют подстановку , которая называется универсальной тригонометрической подстановкой. Тогда . Универсальная тригонометрическая подстановка часто приводит к большим вычислениям. Поэтому, по возможности, пользуются следующими подстановками.

  1. Если R(-sin(x),cosx) = -R(sin(x),cosx), то делают замену cos(x)=t и тогда sin(x)dx = -dt.

  2. При R(sin(x),-cosx) = - R(sin(x),cosx), полагают sin(x)=t при этом cos(x)dx=dt

  3. В случае R(-sin(x),-cosx) = R(sin(x),cosx) делают замену tg(x)=t, при которой x=arctg(t), , или замену ctg(x)=t, если это удобнее.

Интегрирование функций рационально зависящих от тригонометрических функций
1. Интегралы вида ∫sinnxdx∫cosnxdxn>0
a) Если n нечётное, то одну степень sinx (либо cosx) следует внести под знак дифференциала, а от оставшейся чётной степени следует перейти к противоположной функции.
б) Если n чётное, то пользуемся формулами понижения степени
2sin2x=1-cos2x2cos2x=1+cos2x.
2. Интегралы вида tgnxdx∫ctgnxdx, где n – целое.
Необходимо использовать формулы

3. Интегралы вида ∫sinnx·cosmx dx
а) Пусть m и n разной чётности. Применяем подстановку t=sin x, если n - нечётное либо t=cos x, если m – нечётное.
б) Если m и n чётные, то пользуемся формулами понижения степени
2sin2x=1-cos2x2cos2x=1+cos2x.
4. Интегралы вида 
Если числа m и n одинаковой чётности, то используем подстановку t=tg x. Часто бывает удобным применить приём тригонометрической единицы.
5. ∫sin(nx)·cos(mx)dx∫cos(mx)·cos(nx)dx∫sin(mx)·sin(nx)dx
Воспользуемся формулами преобразования произведения тригонометрических функций в их сумму:

  • sin α·cos β = ½(sin(α+β)+sin(α-β))

  • cos α·cos β = ½(cos(α+β)+cos(α-β))

  • sin α·sin β = ½(cos(α-β)-cos(α+β)




Достарыңызбен бөлісу:
  1   2   3   4   5   6   7   8   9




©emirsaba.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет