9 лекция тақырыбы. Аналитикалық геометрияның пайда болуы және дамуы
жүктеу/скачать 68,38 Kb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Декарттың аналитикалық геометриясы.
|
№9 лекция тақырыбы. Аналитикалық геометрияның пайда болуы және дамуы Геометрия сұрақтарының сипатталған алгебралық травтовкасы аналитикалық геометриясының іргетасын құруды дайындайды. Координаттар ежелде пайда болып, және де бір-бірімен тікелей байланысты емес әр түрлі формада болды. Бір жағынан, бұл ұзақтылық және ендік деп аталатын географиялық координаталар мен байланысты, және де тіктөртбұрыш түрінде бейнеленген жер беті пункттерінің орны жұп сандарымен сипатталады. Аспан сферасында шырақ орнын анықтау үшін қызмет ететін астрономиялық координаталар ұқсас болды. Екінші түрі осы қисықтардың қасиеттерін анықтайтын, симптомдар деп аталатын, арасындағы тәуелді кесінділер ьолды. Бұл жағдайда мәселе бойынша меридиана және параллельдерден есептеуімен кез-келген нүктенің сандық координаталар туралы емес, қарастырылған фигураның нүктемен байланысты диаметрлердің және хордалардың кесінділері жайында. Ежелгі грек геометриясының координаттық кесінділері араб шығармалары бойынша европада белгілі болған, бірақ басты түрде Архимед және әсіресе Аполлоний еңбектері бойынша. Кейбір диаметрге аударса, түйіндескен параллель хордалар және жарты хордаларды Аполлоний, егер грекшеден “жүргізілген сызықтардың реті бойынша” ал осы диаметрдің ұштарынан хордаларға дейінгі кесінділерді-“диаметрде реті бойынша жүргізілген (сызықтармен) қиылған” деп атаған. XVIII ғасырдың ортасында “ордината” сөзі геометрия жазықтығындағы “аппликата”-сөзін ығыстыра бастады. Екі координатада алғашында белгісіз шамалар деп аталды. Фермадағы сияқты, немесе белгісіздер де біраз уақыт; Декарттағы сияқты. Координаттар сөзін 1692 жылы Лейбниц енгізді. Кейіннен бұл координаталар туралы ұғымдар жазықтықтың диаметрлер және хордалар кесіндісімен байланысты болды. Декарттың аналитикалық геометриясы. Ұлы ойшыл, энциклопедист ғалым Рене Декарт (1596-1650) Францияда шағын дворян семьясында дүниеге келеді. Ол сегіз жасында иеуизиттік мектепке оқуға түседі. Мектепте тоғыз жыл оқып грек, латын сияқты ескі тілдерді меңгереді. Ол, әсіресе математика мен философияны жете үйренеді. Математикалық шындықтардың шүбәсіз дұрыс, айқын, ақиқат болатынына ерте назар аударады. Декарт - заманындағы асқан ойшыл философ. Ол философиялық көзқарасы бойынша дуалист, яғни дүниенің негізі бір-біріне бағынбайтын тәуелсіз тең құқылы екі негізден, нәрседен- рухтан және материядан тұрады деген принципті басшылыққа алады. Декарттың ғылыми-философиялық еңбектерінің ең биік шоқтығы-оның 1637ж. жарық көрген еңбегі “Әдіс туралы ой-пікірлер” деп аталады. Бұл шығармада жаратылыстану ғылыми-зерттеу әдістеріне жалпы мінездеме беріп қана қоймай,ол әдістің қолданылу жолдары нақты баяндалады. Бұл еңбектің “Геометрия” деп аталынған төртінші бөлімі математика тарихында өшпес із қалдырды. Мұнда Декарт ашқан математикалық жаңа пән аналитикалық геометрияның негіздері баяндалады. Декарттың әмбебап математикасы үшін әріп алгебрасымен қисықтар геометриясы арасындағы өзара байланысты тағайындау қажет. Бұл байланыс нақты сандар мен түзулер кесінділері, өрістері арасындағы изоморфизмділіктің салдары. Былайша айтқанда, кесінділерді есептеу (гректердің геометриялық алгебрасы) нақты сандарға жүргізілетін есептеулермен ауыстырылады. Декарттың бұл “Геометриясының” негізінде екі идея жатыр: айнымалы шаманы енгізу және тік бұрышты (декарттық) координаттарды пайдалану. Бұл айнымалы шама екі түрде- қисық бойымен қозғалатын нүктенің ағымдағы координаты және берілген координаттық кесіндінің нүктелеріне сәйкес сандар жиынының айнымалы элементі түрінде қарастырылады. “Геометрия” үш кітаптан тұрады. “Тек қана дөңгелектер мен түзулерді пайдаланып салуға болатын есептер туралы” деп аталатын бірінші кітабында аналитикалық геометрияның жалпы принциптері баяндалады. Сонан кейін геометриялық қисықтардың теңдеулерін құру ережелері келтіріледі. Қандай да бір геометриялық есепті шешу үшін оны ең әуелі шешілген деп санап, берілген сызықты да, сондай- ақ ізделініп отырған сызықты да әріптермен белгілеп алады. Сонан кейін ол сызықтардың арасындағы тәуелділікті тағайындайды. Осыдан барып есепті шешуге мүмкіндік беретін теңдеу пайда болады. Циркуль мен сызғыш арқылы шешуге болатын барлық геометриялық есептер дәрежесі екіден үлкен болмайтын теңдеуге келетінін дәлелдейді. Өзінің аналитикалық геометриясының жалпы ережелерін жалпы түрде толық келтірмейді, оны тек қана қиын есептер шешу арқылы көрсетеді. Декарттың “Геометриясының” екінші кітабы “Қисық сызықтардың табиғаты” деп аталады. Ол әр түрлі дәрежелі қисықтарды қарастыруға, оларды жіктеуге, қасиеттерін анықтауға арналған. Декарт қолда бар құралдар арқылы зерттелу мүмкіндігіне қарай барлық қисықтарды екі топқа бөледі. Циркуль мен сызғыш арқылы, яғни үздіксіз қозғалыс арқылы сызылатын қисықтарға математика төрінен орын берген. Одан басқа қисықтарды механикалық деп, кейін Лейбниц оны трансцендентті қисықтар деп атаған, оларды аналитикалық жолмен жүйелі түрде зерттеуге болмайтыны айтылады. Бұл кітаптың соңында өзінің әдісін өзара перпендикуляр екі жазықтыққа проекциялау арқылы кеңістік қисықтарын зерттеуге қолдануға болатынын айта келіп, Декарт “Мен енді қисық сызықтарды зерттеп білуге қажетті түбегейлі нәрселердің барлық мәселелерін қамтыдым-ау деп ойлаймын”,- деп аяқтайды. Аналитикалық геометрияны қазіргіге жақын түрге келтіруші XVIII ғасырдағы данышпан математик Л. Эйлер (1707-1783) болды. Бұл жаңа математика саласына XVIII ғ, аяғында француз математигі академик С. Ф. Лакруа (1764- 1848) “Аналитикалық геометрия” деп айдар тақты. Аналитикалық геометрияның пайда болуы символикалық (әріптік) алгебраны әр қырынан дамытуды талап етті. Сондықтан да Декарт өзінің “Геометриясында” алгебра мәселелерін жан- жақты да терең қарастырады. Бұл еңбектің “Денелік немесе өлшемі одан асып түсетін есептерді салу туралы” деп аталатын үшінші кітабында теңдеулерді шешудің жалпы теориясы баяналады. Декарттың алгебралық символикасының қазіргі қолданылып жүрген символикадан айтарлықтай айырмашылығы жоқ. Ол әрбір теңдеуді түрінде келтіруге тырысады, мұндағы -белгісіз x кемімелі дәрежесі бойынша орналасқан бүтін коэффициентті полином. -тің x-a екі мүшелігіне (a-теңдеудің түбірі) бөлінгіштік проблемасын қарастыра келіп, Декарт теңдеу түбірлерінің саны x-тің ең үлкен дәреже көрсеткішіне тең болатыны туралы нақты қорытынды жасайды. Мұнда ол нақты (оң), жалған (теріс) және қиялдауға болатын (жорамал және комплекс) түбірлердің бәрін есепке алады. Алайда бұл қорытындыны ол дәлелдей алмайды. Декарттан кейін де көп математиктер дәлелін келтіруге тырысқан, тек 1797 ж. ғана 20 жастағы Гаусс дәлелдеп шығады (алгебраның негізгі теоремасы). Декарт теңдеудің коэффициенттері қатарында қанша таңба ауысса, сонша оң түбірі болатынын, таңба қанша қайталанса, сонша теріс түбірі болатынын көрсетеді. Бұл тұжырым қазіргі кездегі жоғары алгебрада Декарт теоремасы деп аталып жүр. жүктеу/скачать 68,38 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|