Определение  массы  и  конституентной  массы  мезонов  состоящих  из  одинаковых

 
 
79
 
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
.
0
4
2
3
2
1
6
1
2
3
2
1
12
1
2
3
2
1
18
2
3
2
2
16
2
2
2
3
=
−
+
Γ
+
Γ
⋅
+
−
−
+
Γ
+
Γ
⋅
+
−
+
Γ
+
Γ
⋅
−
+
Γ
+
+
Γ
⋅
−
S
S
q
S
S
S
t
t
Z
u
m
u
u
σ
ρ
ρ
ρ
ρ
α
ρ
ρ
ρ
ρ
α
ρ
ρ
ρ
ρ
α
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
 (34) 
Параметры 
S
Z  и 
t
Z  определяются из системы уравнения (28) и равны 
 
(
)
(
)
(
) ( )
,
6
/
2
2
2
4
4
;
2
4
4
2
2
2
2
2
t
t
t
t
S
s
S
W
u
u
Z
W
u
Z
l
l
l
l
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
+
Γ
+
+
Γ
=
+
Γ
=
 (35) 
где использованы следующие обозначения: 
 
(
)
(
)
(
)
(
) (
)
(
)
(
)
(
)
(
) (
)
(
)
(
) (
)
.
2
1
2
3
1
2
1
1
2
1
3
2
2
2
3
16
2
2
;
2
1
1
2
1
2
2
2
3
16
2
2
2
2
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
ρ
ρ
α
ρ
ρ
α
ρ
ρ
α
ρ
ρ
ρ
α
ρ
ρ
ρ
ρ
α
ρ
ρ
α
ρ
ρ
ρ
α
ρ
ρ
+
Γ
+
+
+
+
Γ
+
+
+
+
Γ
+
+
Γ
−
+
+
Γ
=
+
Γ
+
+
+
Γ
−
−
+
Γ
−
+
+
Γ
=
t
S
t
S
t
S
t
S
t
S
S
S
S
S
S
S
u
u
u
u
W
u
u
u
W
 (36) 
Уравнения  представленные  в (33) и (34) вычисляются  элементарно,  и  мы  сможем, 
определит  массу  и  конституентную  массу  составляющих  частиц.  В  этом  случае, 
учитывая выражение для энергетического спектра из (4) определяем массу мезонов.  
Вклад диаграммы собственной энергии в массу мезонов 
Взаимодействие 
составляющих 
частиц, 
осуществляется 
обменом 
калибровочных  полей,  т.е.  потенциал  взаимодействия  в  нашем  подходе  определяется 
всевозможными  типами  диаграмм  Фейнмана.  Существует  два  типа  взаимодействий: 
первое – взаимодействие  составляющих  частиц  посредством  калибровочного  поля, 
вклад  которого  определяется  обменными  диаграммами,  второе – взаимодействие 
составляющих  частиц  самих  с  собой,  т.е.  диаграмма  собственной  энергии.  В 
нерелятивистском  пределе  обычно  вклад  обменной  диаграммы  соответствует 
потенциальному  взаимодействию,  а  вклад  диаграммы  собственной  энергии 
соответствует  непотенциальному  взаимодействию,  которые  определяют  вклад 
перенормировки  массы  частиц.  Детали  определения  вклада  диаграммы  собственной 
энергии изложены в работе [25] и записывается в виде 
 
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
−
=
Δ
2
1
1
1
6
μ
μ
π
σ
SE
H
, (37) 
где 
1
μ  и 
2
μ  – конституентные массы составляющих частиц, и σ  – натяжение струны. 
Тогда  масса  связанного  состояния,  с  учетом  вклада  диаграммы  собственной  энергии 
записывается в виде: 
 
μπ
σ
σ
σ
σ
μ
σ
μ
σ
6
2
1
−
+
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
+
=
E
E
x
x
M
. (38) 
Численные результаты наших вычислений представлены в табл.1 и 2. При определении 
массы,  энергетического  спектра  и  конституентой  массы  кварков  использовались 
следующие  значения  для 
c
  кварка  константа  связи 
2
.
0
=
S
α
  и  натяжение  струны 
2
26
.
0
GeV
=
σ
.  Токовая  масса 
c
  кварка  экспериментально [26] установлена  более 
менее  точно  и  равна 
GeV
m
C
11
.
0
07
.
0
27
.
1
−
+
=
:  При  определении  спектра  мезонов 

 
 
80
состоящих из 
b
 кварков использовал следующие значения константы связи 16
.
0
=
S
α
 
и натяжение струны 
2
26
.
0
GeV
=
σ
. 
Токовая масса 
b
 кварка экспериментально [26] установлена более менее точно и 
равна 
GeV
m
C
11
.
0
17
.
0
6
.
4
−
+
=
:  Полученные  численные  результаты  при  различных 
значениях орбитального квантового числа представлены в табл.1.  
 
Таблица 1.
 Энергетический и массовый спектры мезонов состоящих из 
( )
c
c
 кварков с 
орбитальным  возбуждением.  Энергетический  спектр  и  массы  определены  в  единицах 
GeV
 при значении 
2
.
0
=
S
α
, 
2
26
.
0
GeV
=
σ
. 
 
l
 
0 1 2 3 
0
=
S
 
S
ρ
 
0.764 0.608 0.585 0.585 
 
S
u
 
0.7624 1.196 1.3486 1.416 
 
S
E
 
0.6342 1.0764 1.3999 1.6759 
 
S
x
 
1.4727 1.5318 1.5851 1.6346 
 
S
z
 
1.9317 1.2808 1.1753 1.1543 
 
qs
μ
 
1.5018 1.5621 1.6164  1.661 
 
sp
M
 
2.983 3.413 3.8035 4.106 
1
=
S
 
t
ρ
 
0.554 0.574 0.576 0.576 
 
t
u
 
1.2522 1.321 1.3917 1.4549 
 
t
E
 
0.6893 1.0899 1.4042 1.6706 
 
t
x
 
1.4946 1.5358  1.583  1.6291 
 
t
z
 
1.1935 1.1626 1.1375 1.1197 
 
qt
μ
 
1.5242 1.5662 1.6143 1.6613 
 
pt
M
 
3.089 3.508 3.8067 4.1033 
Из табл.1 видно, что конституентная масса 
c
 кварка больше токовой массы и с 
возрастанием орбитального квантового числа эта разность увеличивается. Также видно, 
что  конституентная  масса  синглетного  и  триплетного  состояния  между  собой 
отличаются, т.е. триплетная масса больше синглетного состояния, а с возрастанием 
l
 
орбитального квантового числа эта разность уменьшается. 
 
Таблица 2.
 Энергетический и массовый спектры мезонов состоящих из 
( )
b
b  кварков с 
орбитальным  возбуждением.  Энергетический  спектр  и  масса  определены  в  единицах 
GeV
 при значении 16
.
0
=
S
α
, 
2
26
.
0
GeV
=
σ
 
 
l
 
0 1 2 3 
0
=
S
 
S
ρ
 
0.74 0.623  0.6  0.59 
 
S
u
 
1.6305 2.5738 2.6275 2.7946 
 
S
E
 
0.3457 0.6916 0.9365 1.1450 
 
S
x
 
4.6468 4.6681 4.6983  4.728 
 
S
z
 
2.85 1.9802 1.7881 1.6918 

 
 
81
 
qs
μ
 
4.7389 4.7605 4.7914 4.8211 
 
sp
M
 
9.445 9.7927 10.1405 
10.2522 
1
=
S
 
t
ρ
 
0.631 0.61 0.593 0.575 
 
t
u
 
2.1053 2.4543 2.6871 2.8209 
 
t
E
 
0.3682 0.69695 0.9388  1.1459 
 
t
x
 
4.6512 4.6698 4.6987 4.7277 
 
t
z
 
2.2093 1.9027 1.7487 1.6759 
 
qt
μ
 
4.7434 4.7623 4.7018 4.8213 
 
pt
M
 
9.4678 9.873 10.043 10.253 
Для  мезонов  состоящих  из 
( )
b
b   и 
( )
c
c
  кварков  зависимость  конституентных 
масс кварков от орбитального и спинового квантовых чисел являются аналогичными.  
 
Результаты и обсуждения 
В последнее время для определения массового спектра и других характеристик 
чармоний  и  боттомоний  интенсивно  ведутся  экспериментальные  и  теоретические 
исследования.  В  частности,  работал  и  работает  международные  совместные 
экспериментальные программы: BES, CLEO,KEDR, BaBar,Belle и другие (детали см. 
в [27]).  Для  описания  последних  экспериментальных  данных  требуются  учет 
релятивистских  поправок.  Известно,  что  если  масса  составляющих  частиц  тяжела,  то 
соответствующие  релятивистские  поправки  малы  и  в  этом  случае  можем  применить 
методы  теории  возмущения.  Однако,  при учете  релятивистских  поправок  связанные с 
спиновым  взаимодействием  и  кинетической  энергией  и  другими  характеристиками 
взаимодействия  требует  отдельного  рассмотрения.  При  учете  спин-спиновых  и  спин-
орбитальных 
взаимодействий 
потенциала 
взаимодействия 
становится 
пропорциональным  по  ~
3
/
1 r   и  соответствующая  амплитуда  рассеяния  имеет 
рассходимость  и  требует  провести  перенормировку  константы  связи  и  волновой 
функции.  С  другой  стороны,  при  изучении  возбужденных  состояний  требуется 
дополнительные  параметры  или  изменение  некоторых  параметров  в  частности  массы 
составляющих  кварков,  т.е.  конституентная  масса  кварков.  В  большинство 
теоретических  подходов  конституентные  массы  кварков  рассматриваются  как 
дополнительные свободные параметры. В частности, для описания массовых спектров 
чармоний  и  боттомоний  с  орбитальными  и  радиальными  возбуждениями  требуется 
увеличение  конституентной  массы  кварков.  В  нашем  подходе  некоторые  недостатки 
потенциальных подходов устранены. В частности, для описания связанного состояния 
УШ  записывается  с  конституентной  массой.  Таким  образом,  энергетический  спектр 
связанного  состояния  зависит  от  конституентной  массы  кварков.  С  другой  стороны 
наши  результаты  показали,  что  (см.  табл.1  и 2) конституентные  массы  кварков  для 
орбитально  возбужденных  состояний  увеличивается.  Мы  учитываем  поправки 
связанные 
с 
непертурбативным 
характером 
взаимодействия. 
Потенциал 
взаимодействия  определяется  всевозможным  типом  диаграмм  Фейнмана,  в  частности 
диаграммы  собственной  энергии.  Известно,  что  феноменологические  потенциальные 
модели  более  менее  хорошо  описывают  массовые  спектры  чармоний  и  боттомоний. 
Однако в этих феноменологических потенциальных моделях "искусственно" вводится 
новый параметр [14]: 
(
)
{
}
,
577215665
.
0
,
2
/
1
exp
2
0
=
−
−
⋅
−
=
γ
γ
λ
V
 

 
 
82
который  позволяет  обеспечить  идеальное  согласие  с  экспериментальными  данными. 
Этот параметр может быть связан с непотенциальным характером взаимодействия, т.е. 
с 
перенормировкой 
собственной 
энергии. 
В 
работе [28], исходя 
из 
квазипотенциального  формализма  построена  релятивистская  кварковая  модель  и 
результаты  приведены  в  табл.3  и 4. Однако,  для  массы  кварков  авторы  в  выше 
указанной работе выбрали следующие значения: 
GeV
m
C
55
.
1
=
, 
GeV
m
b
88
.
4
=
 и для 
константы взаимодействия 
2
18
.
0
GeV
=
σ
, и для свободного параметра 
GeV
B
16
−
=
 
соответственно.  Также  выбрали  параметр  обрезания  константы  кварк-глюонного 
взаимодействия.  С  другой  стороны  экспериментально [26] массы 
c
  и 
b
  кварков 
определены и равны: 
(
)
GeV
m
C
11
.
0
07
.
0
27
.
1
−
+
+
=
 и 
(
)
GeV
m
b
07
.
0
17
.
0
68
.
4
−
+
+
=
. 
 
Таблица 3.
 Массовый спектр чармоний с орбитальным возбуждением для синглетного 
и триплетного состояний. В таблице также приведены результаты экспериментальных 
[26] и теоретических данных полученных в работах [28, 29] и [14] в единицах 
GeV
П. 
 
l
 
[ ]
14
 
[ ]
28
 
[ ]
29
 
[ ]
26
Exp
 
Our
 
0
=
S
 
0 
2.979 
2.979 
2.9879 
2.9798 ± 0.0018 
2.983 
 
1 
3.415 
3.424 
3.415 
3.4150 ± 0.0008 
3.413 
 
2 
 
3.811 
 
3.840 ± 0.02 
3.8035 
 3      
4.090 
4.106 
1
=
S
 
0 
3.097 
3.096 
3.0969 
3.09687 ± 0.00004 
3.089 
 
1 
3.511 
3.510 
3.51113 
3.5105 ± 0.00012 
3.508 
 2  3.510 
3.819 
 
3.8067 
 3      
4.090 
4.1033 
В  работе [29], исходя  из  квантовохромодинамических  потенциальных  моделей 
при  значении  массы  кварков 
GeV
m
C
375
.
2
=
, 
GeV
m
b
453
.
5
=
  определены  массовые 
спектры чармоний и боттомоний и эти результаты представлены в табл.3 и 4. 
 
Таблица 4.
  Массовый  спектр  боттомоний  с  орбитальными  возбуждениями  для 
синглетного  и  триплетного  состояний.  В  таблице  также  приведены  результаты 
экспериментальных [26] и теоретических данных полученных в работах [28, 29] и [14] в 
единицах 
GeV
. 
 
l
 
[ ]
14
 
[ ]
28
 
[ ]
29
 
[ ]
26
Exp
 
Our
 
0
=
S
 
0 
9.402 
9.400 
9.4076 
9.300 ± 0.02 
9.445 
 
1 
9.847 
9.863 
9.8619 
9.8598 ± 0.0013 
9.7927 
 2  10.153 
 
10.161  10.1405 
 3      
 
10.2522 
1
=
S
 
0 
9.465 
9.460 
9.4603 
9.4603 ± 0.00021 
9.4678 
 
1 
9.876 
9.892 
9.8934 
9.8919 ± 0.7 
9.873 
 2 
10.138 
10.158 
 
 
10.043 
 3      
10.2325  10.253 
 
На основании полученных результатов можно заключить: 
•  Вычислены  массовые  спектры  чармоний  и  боттомоний.  Определена  зависимость 
конституентной массы от орбитального квантового числа. Наши результаты показали, 
что  с  возрастанием  орбитального  квантового  числа  конституетная  масса  кварка 
увеличивается. 

 
 
83
•  В  нашем  подходе  масса  кварка  не  является  свободным  параметром.  Для  токовых 
масс  кварков  использованы  данные,  полученные  в  эксперименте.  Наши  результаты 
показали,  что  конституентная  масса  кварков  больше  токовой  массы  данного  кварка. 
Определен  расщепление  конституентной  массы  кварка  для  спинового  синглетного  и 
спинового триплетного состояний. 
•  В  нашем  подходе  два  свободного  параметра: 
S
α
–  константа  кварк-глюонного 
взаимодействия и 
σ – натяжение струны. Наши результаты показали, что учет вклада 
непотенциального  взаимодействия,  т.е.  вклада  собственной  энергии  дает  хорошее 
согласие с экспериментальными и другими теоретическими данными авторов. 
 
 
1. Боголюбов  Н.  Н.,  Ширков  Д.В.;  Введение  в  теорию  квантованных  полей 
"Наука"(1976). 
2. Weinberg S. ; The quantum theory of fields, Cambridge University Press, Cambridge (1995). 
3. Itzykson C., and Zuber J.B.; Quantum field theory, McGraw-Hill, New York(1980). 
4. Eides M.I., et al.,// Phys. Repor.,2001. V.342, P.61. 
5. Amsler C. , et al., Review of Particle Physics,// Phys. Lett.2008,V. B667, P.1. 
6. Greiner W., Reinhard J. ; Quantum Electrodynamics, Springer, Berlin (1992). 
7. Wick G.C.// Phys. Rev. 1954. V.96. P.1124; 
 
Cutkosky R.E.// Phys. Rev. 1954. V.96. P.1135; 
 
Efimov G.V.// Few-Body Systems 2003. V.33. P.199. 
8. Logunov A.A., Tavkhelidze A.N.,// Nuovo Cimento. 1963.V.29.P.380; 
 
Faustov R.N., Galkin V.O. and Mishurov A.Yu.// Phys.Lett. B.1995. V.356. P.516; Phys. 
Rev. D. 1996. V.53. P.6302. 
9. Berestetskii V.B., Lifshitz E.M., Pitaevskii L.P.,Quantum Electrodynamics, 2nd Edition, 
Pergamon Press, Oxford, 1982. 
10. Caswell W.E. and Lepage G.P.// Phys. Let. B. 1986. V.167. P.437. 
11. Kinoshita T. and Nio M.// Phys. Rev. D. 1996. V.53. P.4909. 
12. Quigg C. and Rosner J.L.// Phys. Rev. 1990.V. 56.P.167 
13. Быков А.А. , Дремин И.М., Леонидов А.В.// УФН. 1984. V.143. P.3. 
14. Godfrey S. and Isgur N.// Phys. Rev. D. 1985.V.32. P.189; Isgur N. and Wise M.// Phys. 
Lett. B. 1984.V. 232.P. 113; Phys. Lett. B. 1990. V. 237.P.527. 
15. Dineykhan M, Zhaugasheva S A, Toinbaeva N Sh and Jakhanshir A. //J. Phys. B: 
At.Mol.Opt. Phys. 2009. V.42. P. 145001; 
  Динейхан M., Жаугашева C.A., Кожамкулов T.A. // ЯФ. 2005. V.68. C.340-350; 
  Dineykhan M., Zhaugasheva S.A., Kozhamkulov T.A., Petrov Ye. // Few-Body Systems. 
2005. V.37. P.49-69. 
16. Feynman R.P. and Hibbs A.P., Quantum Mechanics and Path Integrals (Me Graw-Hill, 
New York, 1963). 
17. Dineykhan M., S. A. Zhaugasheva S.A., Toinbaeva N.SH. //Jour. Phys.B: At.Mol.Opt. 
Phys. 2010. V.43. P.015003(7pp); 
  Динейхан M., Жаугашева C.A.//ЭЧАЯ ,V.42, Вып.3 (в печати). 
18. Lucha W., Schoberl F.F., Gromes D. //Phys. Rep. 1991. V. 200. P.127. 
19. Eichten E., Feinberg F. // Phys. Rev. 1981. V. D23. P.2724. 
20. Badalian A.M. and Bakker B.L.G. // Phys. Rev. 2002. V. D66. P.034025. 
21. Badalian A.M., Bakker B.L.G. and Simonov Yu.A.// Phys. Rev.D. 2002. V.66. P.034026. 
22. Dineykhan M., Efimov G.V., Ganbold G. and . Nedelko S.N., Oscillator representation in 
quantum physics, (Lecture Notes in Physics, Springer-Verlag, Berlin, 1995), V. 26. 
23. Fock V.A.: Principles of quantum mechanics. Moscow: Nauka 1976 
24. Dineykhan M., Efimov G. V. // Rep. Math. Phys. 1995. V.36, P.287; //Yad. Fiz. 1996. V.59, 
862; Dineykhan M.// Z. Phys. 1997. V. D41. P.77; Dineykhan M., Nazmitdinov R. G.// 

 
 
84
Yad. Fiz. 1999. V. 62. P.143; Dineykhan M, Zhaugasheva, S. A., Nazmitdinov, R. G.// 
JETP. 2001. V.119. P.1210. 
25. Simonov Yu.A.// Phys. Lett.B. 2001 .V.515. P.137. 
26. Amsler C., et al. Particle Data Group.// Phys. Lett.B. 2008. V.667. P.1-1340. 
27. Brambilla N., et al., Heavy Quarkonium Physics, CERN- 2005-005, Geneva(2005). 
28. Ebert D., Faustov R.N., and Galkin V.O., Phys. Rev.D. 2003.V.67.p.014027. 
29. Gupta S.N. and Johnson J.M., Phys. Rev.D. 1996.V.53.p.312. 

жүктеу/скачать 5,32 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: