Анықталған және анықталмаған интеграл


Айнымалыларды ауыстыру арқылы интегралдау әдісі



бет4/8
Дата11.09.2022
өлшемі160.22 Kb.
#38815
1   2   3   4   5   6   7   8
1.3.2 Айнымалыларды ауыстыру арқылы интегралдау әдісі
Кейде интегралдағы х айнымалысының орнына жаңа t айнымалысын енгізіп, берілген ∫f(x)dx интегралын тікелей интегралданатын кестелік интегралдың біріне келтіруге болады. Бұл интегралдау әдісін айнымалыларды ауыстыру әдісі деп атайды Бұл әдістің негізі күрделі функциялардың дифференциалдау формуласы болып табылады.
Теорема. Анықталмаған ∫f(x)dx интегралындағы х айнымалысының орнына x=φ(t) формуласы бойынша жаңа t айнымалысын енгізсек, берілген анықталмаған интеграл үшін
∫ f(x)dx=∫f[φ(t)]φ/(t)dt (1)
теңдігі орындалады.
Бұл әдісті қолдану берілген айнымалыны қандай формула бойынша ауыстыруға байланысты.
Мысалдар:

  1. ∫ х√х-3dx

Квадрат түбірден құтылу үшін √х-3=t деп жаңа t айнымалысын енгіземіз. Сонда x=t²+3және dx=2t dt. Ауыстыруды енгізген соң, аламыз:
∫ x√x-3xdx= ∫ (t²+3)t2tdt= ∫ (2t⁴+6t²)dt= 5/2+2 (x-3)3/2+C



  1. ∫ √sinxcosxdx= |t=sinx, dt=cosxdx|=∫√tdt=∫ t1/2dt=t2/3+C=sin3/2x+C

  2. ∫ x(x²+1)3/2dx

  3. ∫ esinxcosxdx

Интеграл астындағы өрнек екі көбейткіштен тұрады, түбірден құтылатындай жаңа айнымалы енгіземіз:
t=sinx , x=arcsint dx=, cosx= √1-sin²x=√1-t²
∫esinxcosxdx= ∫et√1-t²= ∫etdt= et+C=esinx+C

  1. ∫ √a²-x²dx

1.3.3 Бөліктепинтегралдауәдісі
Бұл әдіс көбейтіндінің туындысы формуласына негізделген:
(uv)/=u/*v+v/*u
мұндағы u=u(x) және v=v(x)-дифференциалдары үзіліссіз х-ке байланысты функциялар. Дифференциалдық түрде былай жазуға болады:
d(uv)= udv+vdu
Бұл теңдіктің екі жағын да интегралдасақ: ∫ d(uv)= ∫ udv+ ∫ vdu Анықталмаған интегралдың келтірілген қасиеттеріне байланысты шығатыны:
uv=∫udv+∫ vdu немесе ∫ udv= uv-∫ vdu (2)
(2) формула бөліктеп интегралдау формуласы деп аталады. Бұл әдісті қолданғанда интеграл астындағы өрнекті екі көбейткіштің (u және dv) кһбейтіндісі түрінде қарастырады. Сол себепті бөліктеп интегралдау әдісінің тиімділігі u және dv көбейткіштерін дұрыс таңдап алуға байланысты болады.
Мысалдар:

  1. ∫ x²sinxdx

  2. ∫e2xcosxdx

  3. ∫ (x-7)sin5xdx= ||= - (x-7)cos5x+∫ cos5xdx=- (x-7)cos5x+sin5x+C

  4. ∫dx




Достарыңызбен бөлісу:
1   2   3   4   5   6   7   8




©emirsaba.org 2022
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет