Анықталған және анықталмаған интеграл
Айнымалыларды ауыстыру арқылы интегралдау әдісі
жүктеу/скачать 160,22 Kb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Бөліктепинтегралдауәдісі
| 1.3.2 Айнымалыларды ауыстыру арқылы интегралдау әдісі
Кейде интегралдағы х айнымалысының орнына жаңа t айнымалысын енгізіп, берілген ∫f(x)dx интегралын тікелей интегралданатын кестелік интегралдың біріне келтіруге болады. Бұл интегралдау әдісін айнымалыларды ауыстыру әдісі деп атайды Бұл әдістің негізі күрделі функциялардың дифференциалдау формуласы болып табылады. Теорема. Анықталмаған ∫f(x)dx интегралындағы х айнымалысының орнына x=φ(t) формуласы бойынша жаңа t айнымалысын енгізсек, берілген анықталмаған интеграл үшін ∫ f(x)dx=∫f[φ(t)]φ/(t)dt (1) теңдігі орындалады. Бұл әдісті қолдану берілген айнымалыны қандай формула бойынша ауыстыруға байланысты. Мысалдар: ∫ х√х-3dx Квадрат түбірден құтылу үшін √х-3=t деп жаңа t айнымалысын енгіземіз. Сонда x=t²+3және dx=2t dt. Ауыстыруды енгізген соң, аламыз: ∫ x√x-3xdx= ∫ (t²+3)t2tdt= ∫ (2t⁴+6t²)dt= 5/2+2 (x-3)3/2+C ∫ ∫ √sinxcosxdx= |t=sinx, dt=cosxdx|=∫√tdt=∫ t1/2dt=t2/3+C=sin3/2x+C ∫ x(x²+1)3/2dx ∫ esinxcosxdx Интеграл астындағы өрнек екі көбейткіштен тұрады, түбірден құтылатындай жаңа айнымалы енгіземіз: t=sinx , x=arcsint dx=, cosx= √1-sin²x=√1-t² ∫esinxcosxdx= ∫et√1-t²= ∫etdt= et+C=esinx+C ∫ √a²-x²dx 1.3.3 Бөліктепинтегралдауәдісі Бұл әдіс көбейтіндінің туындысы формуласына негізделген: (uv)/=u/*v+v/*u мұндағы u=u(x) және v=v(x)-дифференциалдары үзіліссіз х-ке байланысты функциялар. Дифференциалдық түрде былай жазуға болады: d(uv)= udv+vdu Бұл теңдіктің екі жағын да интегралдасақ: ∫ d(uv)= ∫ udv+ ∫ vdu Анықталмаған интегралдың келтірілген қасиеттеріне байланысты шығатыны: uv=∫udv+∫ vdu немесе ∫ udv= uv-∫ vdu (2) (2) формула бөліктеп интегралдау формуласы деп аталады. Бұл әдісті қолданғанда интеграл астындағы өрнекті екі көбейткіштің (u және dv) кһбейтіндісі түрінде қарастырады. Сол себепті бөліктеп интегралдау әдісінің тиімділігі u және dv көбейткіштерін дұрыс таңдап алуға байланысты болады. Мысалдар: ∫ x²sinxdx ∫e2xcosxdx ∫ (x-7)sin5xdx= ||= - (x-7)cos5x+∫ cos5xdx=- (x-7)cos5x+sin5x+C ∫dx жүктеу/скачать 160,22 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|