Бет туралы түсінік. Біртегіс беттер Көпжақты беттер туралы түсінік, олардың түрлері

ТЕОРЕМА. L – С³ - жүйелі қисық, L қисықтың доға ұзындығы - s, негізгі триэдрдің векторлары , L қисықтың қисықтығы мен ширатылуы - болсын. Сонда келесі теңдіктер дұрыс болады:

Бұл қатынастар Френе формуласы деп аталады .

3-ші формуласы 6 теореманы дәлелдеу кезінде дәлелденген.

2. 
   Беттің М нүктесіндегі нормаль қисықтық d бағыты бойынша алынғанда бас қисықтықтар мен келесі формуламен анықталады мұндағы -бұрышы d бағытымен нүктедегі бірінші басты бағыттың арасындағы бұрыш.
   

Егер бет қарапайым бет болса, онда ол бір жазықтықта жатады. Бұл жағдайда болғандықтан , демек L=M=N=0 осыдан қарапайым беттерде H=K=0, яғни жазықтықтың немесе оның бөлігінің әр нүктесіндегі орташа және толық қисықтықтары нольге тең болады. Егер беттің әрбір нүктесінде H=0 онда бетті минимальдық бет деп атаймыз.

1. 
   Скаляр аргументті векторлық функциялар. Қасиеттері
   
2. 
   Изометриялық беттер. Беттердің майысуы.
   
3. 
   Беттің нүктедегі жанама жазықтығының теңдеуін жазыңыз
   

1. 
   – үш өлшемді векторлық кеңістік болсын, ал I R сандар аралығы берілсін Егер әрбір сан t I үшін белгілі бір заң немесе ереже бойынша қандайда вектор ﴾ t ﴿ сәйкес келтірілсе онда I жиынында скаляр аргументті векторлық функция берілген деп айтамыз
   

Сол сияқты одан да жоғары ретті туындылар анықталады.

2. 
   Ғ және беттері изотермиялық беттер деп аталады. Егер қандайда бір биективтік бейнелеуі бар болып кез келген бір тегіс доғасының ұзындығы сақталатын болса. f бейнелеуін изотермия деп атаймыз. Егер Ғ және беттері изотермиялық беттер болып изотермиясындағы М нүктесі нүктесіне бейнеленсе, онда бұл нүктелер бір түрдегі нүктелер болады, яғни екеуі де эллинтикалық, параболалық немесе гиперболалық.
   

Майысатын беттер келесідей қасиеттерге ие болады:

1. 
   Беттегі кез келген бір тегіс сызықтың доғасының ұзындығы сақталады;
   
2. 
   Беттегі екі сызықтың арасындағы бұрыш сақталады;
   
3. 
   Беттегі сәйкес сызықтармен қоршалған облыстардың аудандары сақталады;
   
4. 
   Беттің толық қисықтығы сақталады;
   
5. 
   Кез келген бір тегіс сызықтың геодезиялық қисықтылығы сақталады.
   

Билет №10

1. 
   Көпбейнеліктер. Көпбейнеліктер үшін Эйлер характеристикасы
   
2. 
   Беттің бірінші квадраттық формасы. Екі сызықтың арасындағы бұрыш.
   
3. 
   Беттің бірінші квадраттық формасын табыңдар.
   

1. 
   ﴾ Х , Г ﴿ топологиялық кеңістігінде k өлшемді координаттар жүйесі анықталған дейміз , егер U Ϲ Х жиынының кеңістігіндегі ашық жиынға бейнелейтін Ψ гомеоморфизмы бар болса ﴾ U , Ψ ﴿ жұптығын U жиынында анықталған k - өлшемді карта деп атаймыз , ал U жиынын осы картаның координаттық аймағы дейміз.k өлшемді көпбейнелік немесе ﴾k өлшемді топологиялық қеңістік ﴿ деп біз ажыратылатын ﴾ Х , Г ﴿ топологиялық кеңістігін айтамыз , егер осы кеңістікті k өлшемді координаттық аймақтардан тұратын карталармен жабылатын болса . Көпбейнеліктің өлшемі k инвариант ﴾ өзгермейтін шама болады
   

1) бұл клеткалар F көпбейнелігін толық жабатын болса ;

2) кез келген екі клетканың (i j ) қиылысуы бос жиын болады немесе ортақ төбесі болады немесе ортақ қабырғасы болады

F көпбейнелігінің k клеткалық жіктелуі берілсін.

F жиыны компактылы немесе шеті бар компактылы болсын - K -клеткалық жіктелуінің төбесі деп аталады егер ол ең болмағанда бір клетканың төбесі болса , Ϫ F сызығы K клеткалық жіктелудің қабырғасы , егер ол ең болмағанда бір клетканың қабырғасы болса. Келесідей белгілеулер ендіреміз :

– төбелерінің саны; – қабырғаларының саны; - K жіктелуіндегі клеткалар саны .

X(F) - + саны F копбейнелігі үшін Эйлер характеристикасы деп аталады. Эйлер характеристикасы копбейнеліктің клеткаларға қалай жіктелуіне тәуелді емес екен , яғни топологиялық инварианты болады ( өзгермейтін шама( Клетканың төбелерін реті бойынша айналып өтуді клетканың бағыты деп атаймыз. Айналып өту сағат стрелкасының айналуы бойынша немесе кері болуы мүмкін. Сағат стрелкасының айналу бағытына қарсы бағытты оң бағыт деп аламыз.