Лекция №1 электростатика
жүктеу/скачать 1,34 Mb. Pdf көрінісі
|
- Бұл бет үшін навигация:
- 1.2. Закон Кулона
- 1.4. Теорема Гаусса для электростатического поля
- 1.5. Применение теоремы Гаусса к расчету некоторых электростатических полей в вакууме
| 3
1. ЭЛЕКТРОСТАТИКА 1.1. Закон сохранения электрического заряда
Еще в глубокой древности было известно, что янтарь, потертый о шерсть, притягивает легкие предметы. Английский ученый В.Гильберт (конец XVI в.) назвал тела, способные после натирания притягивать легкие предметы, на- электризованными. Сейчас мы говорим, что тела при этом приобретают электрические заряды. Несмотря на огромное разнообразие веществ в при- роде, существуют только два вида электрических зарядов: заряды, подоб- ные возникающим на стекле, потертом о кожу (их назвали положительны- ми), и заряды, подобные возникающим на эбоните, потертом о мех (их назва- ли отрицательными); одноименные заряды друг or друга отталкиваются, раз- ноименные – притягиваются. Опытным путем (1910-1914 гг.) американский физик Р.Милликен пока- зал, что электрический заряд дискретен, т.е. заряд любого тела составляет целое кратное от элементарного электрического заряда е (е=1,6-10 |9 Кл) элек- трон (m =9,11∙10 - 3 1
кг) и протон (m =1,67∙10 -27
кг) являются соответственно носителями элементарных отрицательного и положительного зарядов. Все тела в природе способны электризоваться, т.е. приобретать электри- ческий заряд. Электризация тел может осуществляться различными способа- ми, соприкосновением (трением), электростатической индукцией и др. Вся- кий процесс заряжения сводится к разделению зарядов, при котором на од- ном из тел (или части юла) появляется избыток положительного заряда, а на другом (или другой масти тела) - избыток отрицательного заряда. Общее ко- личество зарядов обоих знаков, содержащихся в телах, не изменяется: они только перераспределяются между телами. Из обобщения опытных данных был установлен фундаментальный за- кон природы, экспериментально подтвержденный в 1843 г. английским фи- зиком М.Фарадеем, - закон сохранения заряда: алгебраическая сумма элек- трических зарядов любой замкнутой системы остается неизменной, какие бы процессы не происходили внутри этой системы. В зависимости от концентрации свободных зарядов тела делятся на про- водники, диэлектрики и полупроводники. Проводники - тела, в которых элек- трический заряд может перемещаться по всему его объему. Проводники делятся на две группы: первого рода (металлы) - перенесение в них зарядов (свободных электронов) не сопровождается химическими превращениями; второго рода (например, расплавленные соли, растворы кислот) - пе- ренесение в них зарядов (положительных и отрицательных ионов) ведет к химическим изменениям. Диэлектрики (например, стекло, пластмассы) -тела, в которых практически отсутствуют свободные заряды. Полупроводники (например, германий, кремний) занимают про- межуточное положение между проводниками и диэлектриками. Указанное 4 деление тел является весьма условным, однако большое различие в них кон- центраций свободных зарядов обусловливает огромные качественные раз- личия в их поведении и оправдывает поэтому деление тел на проводники, диэлектрики и полупроводники. Единица электрического заряда (производная единица, так как определя- ется через единицу силы тока) - к у л о н (Кл) - электрический заряд, проходя- щий через поперечное сечение проводника при силе тока 1А за время I с. (см. Приложение).
Закон взаимодействия неподвижных точечных электрических зарядов ус- тановлен в 1785 г. Ш.Кулоном с помощью крутильных весов Точечным на- зывается заряд, сосредоточенный на теле, линейные размеры которого пре- небрежительно малы по сравнению с расстоянием до других заряженных тел, с ко- торыми он взаимодействует. Понятие точечного заряда, как и материальной точки, является физической абстракцией.
ными зарядами, находящимися в вакууме, пропорциональна зарядам Q 1 и Q
2 и об-
ратно пропорциональна квадрату расстояния r между ними: 2 2 1 r Q Q k F , где k - коэффициент пропорциональности, зависящий от выбора системы единиц. Сила F направлена по прямой, соединяющей взаимодействующие заряды, т.е. является центральной, и соответствует притяжению в случае разноимен- ных зарядов и отталкиванию в случае одноименных. Эта сила называется к у л о н о в с к о и. В векторной форме закон Кулона имеет вид r r
Q Q k F 12 2 2 1 12 , (1.1) где 12 F - сила, действующая на заряд Q 1 со стороны заряда Q 2 , r - радиус- вектор, соединяющий заряд Q 1 с зарядом Q 2 , 12 r r (рис. 1). На заряд Q 2 со сторо- ны заряда Q 1
12 21
F , т.е. взаимодействие электрических точеч- ных зарядов удовлетворяет третьему закону Ньютона.
Рис. 1
5 В СИ коэффициент пропорциональности равен 0 4 1 k .
Тогда закон Кулона запишется в окончательном виде 2 0 2 1 r 4 Q Q k F . (1.2) Величина ε 0 называется электрической постоянной; она относится к числу фундаментальных физических постоянных и равна ε 0 =8,85∙10 -12
Кл 2 /(Нм), или ε 0 = 8,85∙10 -12 Ф/м, где ф а р а д (Ф) - единица электрической емкости. То- гда 9
10 9 4 1 м/Ф.
ЛЕКЦИЯ №2 1.3. Электростатическое ноле. Напряженность электростатического поля Если в пространстве, окружающее электрический заряд, внести другой зaряд, то на него будет действовать кулоновская сила; значит, там существует
существует и наряду с веществом
является одной из форм существования ма- терии, посредством которой осуществляются определенные взаимодействия между макроскопическими телами или частицами, входящими в состав ве- щества. В данном случае говорят об электрическом поле - поле, посредст- вом которою взаимодействуют электрические заряды. Мы будем рассмат- ривать электрические поля, которые создаются неподвижными электриче- скими зарядами и называются электростатическими. Для обнаружения и опытного исследования электростатического поля используется пробный точечный положительный заряд, т.e. такой, который не искажает исследуемое моле (не вызывает перераспределения зарядов, соз- дающих поле). Если в поле, создаваемое зарядом Q, поместить пробный заряд Q o
гласно закону Кулона, пропорциональна пробному заряду Q o . Поэтому отно- шение 0 Q F не зависит от Q 0 и характеризует электрическое поле в той точке, где пробный заряд находится. Эта величина называется напряженностью и яв- ляется силовой характеристикой электростатического поля.
Напряженность электростатического поля в данной точке есть физическая величина, определяемая силой, действующей на единичный положительный за- ряд, помещенный в эту точку поля: 6 0 Q F E . (1.3) Как следует из формул (1.1) и (1.3), напряженность поля точечного заряда в вакууме r r r Q 4 1 E 2 0 , или в скалярной форме 2 0
Q 4 1 E . (1.4) Направление вектора E совпадает с направлением силы, действующей на положительный заряд. Если поле создается положительным зарядом, то вектор E
кивание пробной) положительного заряда); если поле создается отрицательным зарядом, то вектор E
Рис. 2
Из формулы (1.3) следует, что единица напряженности электростатиче- ского поля - ньютон на кулон (Н/Кл): 1 Н/Кл - напряженность такого поля, которое на точечный заряд 1 Кл действует с силой в 1 Н; 1 Н/Кл = 1 В/м, где В (вольт) -единица потенциала электростатического поля. Графически электростатическое поле изображают с помощью линий на-
направлением вектора E
1 Е1 2 Е2
Рис. 3 Линиям напряженности приписывают направление, совпадающее с на- правлением вектора напряженности. Так как в каждой данной точке про- 7 странства вектор напряженности имеет лишь одно направление, то линии на- пряженности никогда не пересекаются. Для однородного поля (когда вектор напряженности в любой точке постоянен по величине и направлению) линии напряженности параллельны вектору напряженности. Если поле создается точечным зарядом, то линии напряженности - радиальные прямые, выходя- щие из заряда, если он положителен (рис.4а), и входящие в него, если заряд отрицателен (рис. 4б). Вследствие большой наглядности графический способ представления электрического поля широко применяется в электротехнике.
а б Рис. 4 Чтобы с помощью линий напряженности можно было характеризовать не только направление, но и значение напряженности электростатического поля, условились проводить их с определенной густотой (см. рис.3): число линий на- пряженности, пронизывающих единицу площади поверхности, перпендикуляр- ную линиям напряженности, должно быть равно модулю вектора E
ло линий напряженности, пронизывающих элементарную площадку dS, нор- маль n которой образует угол α с вектором E
n dS, где E n -
проекция вектора E на нормаль n к площадке dS (рис. 5).
Рис. 5 Величина S d E dS E dФ n называ-
ется потоком вектора напряжен- ности через площадку dS. Здесь n dS S d - вектор, модуль которого равен dS, а направление совпадает с направлением нормали n
Единица потока вектора напряженности электростатического поля - 1 Вм. Для произвольной замкнутой поверхности S поток вектора E через эту по- верхность S d
dS E Ф S S n E , (1.5) где интеграл берется по замкнутой поверхности S. Поток вектора E
алгебраической величиной: зависит не только от конфигурации поля Ё, но и от выбора направления n. Для замкнутых поверхностей за положительное на- 8 правление нормали принимается внешняя нормаль, т.е. нормаль, направленная наружу области, охватываемой поверхностью.
Вычисление напряженности поля системы электрических зарядов с помощью принципа суперпозиции электростатических полей можно значительно упро- стить, используя выведенную немецким ученым К. Гауссом теорему, опре- деляющую поток вектора напряженности электрического поля через произ- вольную замкнутую поверхность В соответствии с формулой (1.5) поток вектора напряженности сквозь сфе- рическую поверхность радиуса r, охватывающую точечный заряд Q, находящийся в ее центре (рис 6), 0 2 2 0 S n E Q r 4 r 4 Q dS E Ф . Этот результат справедлив для замкнутой поверхности любой формы Действи- тельно, если окружить сферу (рис. 6) произвольной замкнутой поверхностью, то каждая линия напряженности, пронизывающая сферу, пройдет и сквозь эту по- верхность Q r
Рис. 6 Рис. 7
Если замкнутая поверхность произвольной формы охватывает заряд (рис. 7), то при пересечении любой выбранной линии напряженности с поверхностью она то входит в нее, то выходит из нее. Нечетное число пересечений при вы- числении потока в конечном счете сводится к одному пересечению, т.к. поток считается положительным, если линии напряженности выходят из поверхности, и отрицательным для линий, входящих в поверхность. Если замкнутая поверхность не охватывает заряда, то поток сквозь нее равен нулю, т.к. число линий напряженности, входящих в поверхность, равно числу линий напряженности, выходящих из нее. 9
Таким образом, для поверхности любой формы, если она замкнута и заключает в себя точечный заряд Q, поток вектора E
0 Q , т.е. 0 S
S E Q dS E S d E Ф . (1.6) Знак потока совпадает со знаком заряда Q. Рассмотрим общий случай произвольной поверхности, окружающей n зарядов. В соответствии с принципом суперпозиции напряженность E поля, создаваемого всеми зарядами, равна сумме напряженностей E
, создаваемых каждым зарядом в отдельности: i i
E . Поэтому i S
i S i i S E S d E S d ) E ( S d E Ф . Согласно (1.6), каждый из интегралов, стоящий под знаком суммы, равен 0 Q
Следовательно, n 1 i i 0 S n S Q 1 dS E S d E . (1.7) Формула (1.7) выражает теорему Гаусса для электростатического поля в вакууме: "поток вектора напряженности электростатического поля в вакууме сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри мой поверхности зарядов, деленной на ε 0 ". Эта теоре- ма выведена математически для векторного поля любой природы русским математиком М.В. Остроградским, а затем независимо от него применитель- но к электростатическому полю - К.Гауссом.
электростатических полей в вакууме S E Рис. 8 1. Поле равномерно заряженной
плоскость (рис.8) заряжена с посто- янной поверхностной плотностью +σ ( dS dQ – заряд, приходящийся на единицу поверхности).
10
Линии напряженности перпендикулярны рассматриваемой плоскости и направлены от нее в обе стороны. В качестве замкнутой поверхности мыс- ленно построим цилиндр, основания которого параллельны заряженной плоскости, а ось перпендикулярна ей. Так как образующие цилиндра параллельны линиям напряженности (cosα=0), то поток вектора напряженности сквозь боковую поверхность ц и- линдра равен нулю, а полный поток сквозь цилиндр равен сумме потоков сквозь его основания (площади оснований равны, и для основания E n сов-
падает с Е), т.е. 2ES. Заряд, заключенный внутри построенной цилиндриче- ской поверхности, равен σS. Согласно теореме Гаусса, 2ES= 0 S
Откуда 0 2 E . (1.8) Из формулы (1.8) вытекает, что Е не зависит от длины цилиндра, т.е. напря- женность поля на любых расстояниях одинакова по модулю, иными словами, поле равномерно заряженной плоскости однородно.
Рис. 9 2. Поле двух бесконечных параллель- ных разноименно заряженных плоско- стей (рис.9). В области между плоскостями Е= E
( E и E определяются по формуле (1.8)), поэтому результирующая напряженность 0 E . (1.9)
Таким образом, результирующая напряженность поля и области между плоскостями описывается формулой (1.9), а вне объема, ограниченного плоско- стями, равна нулю. 3. Поле равномерно заряженной сферической поверхности. Сферическая поверхность радиуса R с общим зарядом Q заряжена равномер- но с поверхностной плотностью σ+. Благодаря равномерному распределению заряда по поверхности поле, созда- ваемое им, обладает сферической симметрией. Поэтому линии напряженности направлены радиально (рис.10).
0
E 0
11
Рис. 10 Построим мысленно сферу радиу- сом r, имеющую общий центр с заря- женной сферой. Если r>R, то внутрь поверхности попадает весь заряд Q, создающий рассматриваемое поле, и, по теореме Гаусса, 0 2 Q r 4 E .
Откуда 2 0 r Q 4 1 E (r≥R). (1.10)
При r > R поле убывает с расстоянием r по такому же закону, как у точеч- ного заряда. График зависимости Е от r приведен на рис. 11.
Рис. 11 Если r < R, то замкнутая поверхность не содержит внутри зарядов, поэтому внутри равномерно заряженной сфериче- ской поверхности электростатическое по- ле отсутствует (Е=0).
4. Поле равномерно заряженного бесконечного цилиндра (нити). Бесконеч- ный цилиндр радиуса R (рис. 12) заряжен равномерно с линейной плотностью τ (
d dQ - заряд, приходящийся на единицу длины). Для расчета напряженности электростатического поля в точке, отстоящей на расстоянии r от оси цилиндра (см. рис.12) или нити, можно воспользоваться формулой (1.11). r 4
E 0 (r≥R). (1.11) Если r < R, то замкнутая поверхность зарядов внутри не содержит, поэто- му в этой области Е=0. Таким образом, напряженность поля вне равномерно заряженного бесконечного цилиндра определяется выражением (1.11), внутри же его поле отсутствует. ЛЕКЦИЯ №3 r r / 12
1.6. Циркуляция вектора напряженности электростатического поля Если в электростатическом поле точечного заряда Q из точки 1 в точку 2 вдоль произвольной траектории (рис.13) перемещается другой точечный за- ряд Q
0 , то сила, приложенная к заряду, совершает работу. Работа силы F
на элементарном перемещении d равна cos d r 4 1 d F dA 2 0 0 .
Так как d cosα=dr, то dr r 4 1 dA 2 0 0 . Работа при перемещении заряда Q из точки 1 в точку 2 2 0
0 0 r r 2 0 0 r r 12 r r 4 1 r dr 4 dA A 2 1 2 1 (1.12) не зависит от траектории перемещения, а определяется только положения- ми начальной 1 и конечной 2 точек.
точечного заряда является потенциал ь н ы м, а электростатические силы -
Из формулы (1.12) следует, что работа, со- вершаемая при перемещении электрического за- ряда во внешнем электростатическом поле по любому замкнутому пути L, равна нулю, т.е. Рис. 13 0 dA
. (1.13) Из формулы (1.12) следует, что работа, совершаемая при перемещении электри- ческого заряда во внешнем электростатическом поле по любому замкнутому пути L, равна нулю, т.е. 0 dA
. (1.13) Если в качестве заряда, переносимого в электростатическом поле, взять еди- ничный точечный положительный заряд, то элементарная работа сил поля на пу- ти
d равна
d E d E 1 , где Е 1 = Е cosα - проекция вектора E на направление элементарного перемещения. Тогда формулу (1.13) можно записать в виде 0 d E d E L . (1.14) 13
Интеграл L d E d E называется циркуляцией вектора напряженно- сти. Следовательно, циркуляция вектора напряженности электростатического поля вдоль любого замкнутого контура равна нулю. Силовое поле, обладающее свойст- вом (1.14), называется п о т е н ц и а л ь н ы м . Из обращения в нуль циркуляции векторе
E следует, что линии напряженности электростатического поля не могут быть замкнутыми, они начинаются и кончаются на зарядах (соответственно на по- ложительных или отрицательных) или же уходят в бесконечность.
жүктеу/скачать 1,34 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|