Лекция №11 Доғаның ұзындығы мен дифференциалы. Көлемдерді есептеу. Доғаның ұзындығы мен дифференциалы
жүктеу/скачать 245 Kb.
|
1 2
- Бұл бет үшін навигация:
- Теорема.
|
Лекция №11 Доғаның ұзындығы мен дифференциалы. Көлемдерді есептеу. Доғаның ұзындығы мен дифференциалы. Элементарлық геометрияның әдісерін қолданып, шеңберлердің ұзындығын табуға болатыны белгілі. Біз бұл параграфта интегралдық есептеу теориясын қолданып, жазықтықта орналасқан кез келген қисық доғасының ұзындығын табу әдісін баяндамақпыз. Бұл мақсатта координаталары (1) теңдеулерімен берілген жазықтықта нүктелердің жиынын аламыз (бұндағы мен кесіндісінде үзіліссіз функциялар). Осылайша берілген нүктелер жиынын ж а з ы қ қ и с ы қ деп атайды. қисық бас нүктесін ақырлы нүктесін деп белгілейік. шартын қанағатандыратын өз қалауымызша алынған нүктелерінің жәрдемімен кесіндісін түріндегі, ұзындығы болатын элементарлық кесінділерге бөліктейміз. нүкте болсын. Сонан кейін: нүктелерін түзу кесінділермен қосалық. Бұның нәтижесінде АВ доғасына іштей эвоноларының ұзындығы периметрі болатын с ы н ы қ сызылады. Егер ақырлы шек Бар болса, берілген АВ қисығы - т ү з у л е н е т і н қ и с ы қ, - ол қ и с ы қ- т ы ң ұ з ы н д ы ғ ы деп аталады. Қисықтың түзуленгіштігі мен ұзындығының анықтамасын бергеннен кейін декарттық координаталар системасында, параметрлік түрде және полярлық координаталарда берілген қисықтар доғасының ұзындығын есептеп шығару формулаларын қорытуға көшеміз. І. Егер қисық теңдеуімен беріліп, кейбір кесіндісінде үзіліссіз болсын. деп белгілейік. Теорема. Егер функциясының кесіндісінде үзіліссіз туындысы бар болса, АВ доғасы т ү з у л е н е д і, ал оның ұзындығы (2) формуласы бойынша есептеледі. Дәлелдеу. Қалауымызша алынған және шартын қанағаттандыратын нүктелерінің жәрдемімен кесіндісін түріндегі элементарлық кесінділерге бөліктейміз де, және деп белгілейміз. Сонан кейін нүктелерінің жәрдемімен АВ қисығын іштей сынық сызық сызамыз. Сынықтың әрбір эвеносының ұзындығы формуласымен анықталады да, периметрі -ға тең болады. Дәлелдемекші теореманың шартына сәйкес функциясы Лагранждың ақырлы өсімшелер туралы теоремасының барлық шарттарын түгел қанағаттандырады. Ендеше (бұнда: ). Сондықтан: (3) функциясы кесіндісінде үзіліссіз делінген, сол себепті (4) функциясы да сол кесіндіде үзіліссіз. Демек, (3) теңдіктің оң жағындағы өрнек (4) формуладағы үзіліссіз функция үшін интегралдық қосынды болып табылады. Олай болса, -да (3) теңдіктің ақырлы шегі болады, яғни АВ доғасы түзуленеді де, ұзындығы формуласы бойынша анықталады; дәлелдеу керегі де осы еді. Егер айнымалы нүктесін алсақ, айнымалы доға АN-нің ұзындығы формуласымен өрнектеледі. Соңғы теңдікті дифференциалдасақ, ал онан (5) болады. екенін ескеріп, (5)-ті былай жазуға болады: (5´) Демек, (5) немесе (5´) доғаның дифференциалының формуласы болып табылады. ІІ. Енді АВ доғасы параметрлік түрде теңдеулерімен берілсін (бұндағы мен функцияларының кесіндісінде үзіліссіз туындылары пен бар делік). Бұл жағдайда (5´) формуласына сәйкес: ал онан (6) болып шығады. ІІІ. Ақырында АВ доғасы полярлық координаталар системасында теңдеуімен беріліп, функциясының кесіндісіндегі туындысы үзіліссіз болсын. Доғаның шеттерін және деп белгілейік. Полярлық және декарттық координаталар системаларының мынадай байланыс формулалары бойынша өрнектелетіні белгілі. Сондықтан -ны параметр деп есептеп, АВ доғасының теңдеуін параметрлік түрде былай жаза аламыз: Бұдан: Демек, (7) Ақырында, егер екенін ескермек, (8) (бұндағы және дегеніміз шамасының А және В нүктелеріне сәйкес келетін мәндері). Е с к е р т у. Жазықтағы қисықтардың доғасының ұзындығын есептеп шығару үшін жоғарыда берілген формулаларға қосымша үшінші координата (апликата) енгізгеннен кйін кеңістіктік қисықтар доғасының ұзындығын есептеуге де қолданылады. М ы с а л д а р. 1. Кардиоида -ның доғасының ұзындығын табу керек. Ш е ш у. 166-суреттен кардиоиданың полюске симметриялы орналасқанын көру оңай. Сол себепті ізделіп отырған ұзындық былай анықталады: 2. шеңберінің ұзындығын табу керек. Ш е ш у. 168-суреттен ізделіп отырған ұзындықты табу үшін шеңбердің тек шамасы 0-ден -ге дейін өзгеруіне сәйкес келетін бөлігін тауып, шыққан нәтижені 4 еселесек болатынын көреміз, яғни: Сөйтіп, шеңбер ұзындығының элементарлық геометриядан белгілі формуласының дұрыстығын бекіндіре түстік деуге болады. Астроида -нің доғасының ұзындығын табу керек. Ш е ш у. Астроиданың теңдеуіне сай сызып шықсақ, оның координаталар осьтерінің қай-қайсысына да симметриялы орналасқанын байқаймыз, сондықтан әуелі ізделіп отырған ұзындықтың төрттен бірін тауып алып, сонан жүктеу/скачать 245 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|
1 2