Гармоникалық  орташа  шаманы  қолдануға  қойылатын  жалпы

104       I БӨЛІМ. Статистиканың жалпы теориясы

Бірінші  мысалда  жоспарды  нақты  орындау  жоспарды  оны  орындау 

дəрежесіне көбейтуді білдіреді. Екінші мысалда құн санды бағаға көбейту 

арқылы алынған. Үшінші мысалда тауар массасы айналым уақыты мен бір 

күндік айналымның көбейтіндісі болып табылады. 

Осы ережеден гармоникалық орташа шама шын мəнінде жиынтықтың 

белгісіз  саны  қолданылғанда  жəне  варианттарды  белгінің  көлемі  бойын-

ша  салмақтауға  тура  келетін  жағдайда  қолданылатын  түрлендірілген 

арифметикалық орташа шама екені белгілі болады. 

  Өлшем  ретінде  абсолюттік  шама  қолданылған  жағдайда  кез  келген 

аралық іс-əрекеттер экономикалық маңызды нəтиже беруі тиіс екенін атап 

өту  қажет.  Мысалы,  баға  тауардың  санына  көбейтіледі  жəне  нəтижесінде 

құн алынады. Экономикалық көзқарастан бағаны құнға көбейту ақылға сый-

майды. Бұл орташа шаманың нысанын таңдаудың дұрыстығының қосымша 

өлшемі ретінде болуы мүмкін. 

6.4.

Мода жəне медиана

Мода жəне медиананың анықтамасы. Мода жəне медиана вариация-

ланатын белгіні бөлудің қосымша сипаттамасы болып табылады. 

Мода  –  бөліну  қатарында  ең  жиі  кездесетін  жиілік  белгісінің 

(варианттың) шамасы. 

Медиана – бұл реттелген бөліну қатарының ортасында орналасқан ва-

риант. Медиана қатарды ортасынан бөледі, оның екі жағын да жиынтықтың 

саны бірдей бірлігі орналасады. 

Мода жиынтықтағы ең жиі кездесетін белгіні (ұйымда ең жиі таралған 

лауазым, ең жиі таралған аяқ киімнің мөлшері жəне т.б.) қолданады. Бас-

қаша айтқанда құбылыстың типті (үлгі) екенін (əдеттілігін) сипаттайды. 

Медиана  жиынтық  мүшелерінің  жартысына  жеткен  вариацияла-

натын  белгінің  мағынасының  сандық  шекарасын  көрсетеді.  Мысалы, 

жалпы  Қазақстан  экономикасы  бойынша  жалдамалы  қызметкерлердің 

еңбекақысы 19 754 теңгені  құрады,  сөйте  тұра  жұмыс  істейтіндердің 

жартысының еңбекақысы 13 505 теңгеден аспайды, яғни жалдамалы жұмыс 

істейтіндердің  жартысының  еңбекақысы  орташа  еңбекақыдан  бір  жарым 

еседен кем болған.

Бөлудің  екі  қатарының  кейбір  белгілерінің  орташа  шамасының  ша-

малы айырмашылығы, ал сонымен қатар медиандық мағынасы бірдей бо-

луы мүм кін. Сол себептен, мода сияқты, медиана да белгінің типтілігін 

көрсетеді. 

Сонымен  бірге  мода  мен  медиана  жиынтықтың  құрылымы  жөнінде 

түсінік береді, сондықтан олар құрылымдық орташа шама деп те аталады. 

6-тақырып. Орташа шамалар        105

Мода мен медианының дискреттік қатарда орналасуы. Бір елді ме-

кенде отбасылардың бала саны бойынша бөлінуін қарастырайық (6.5-кесте).

6.5. Отбасыларды бала саны бойынша бөлу қатары

Отбасылардың бала бойынша саны

Отбасы саны

0

10

1

30

2

75

3

45

4

20

5

15

6

6

Жиыны

201

Осы  мысалда  мода  ретінде  екі  баласы  бар  отбасы  болады,  өйткені 

отбасының көп саны варианттың осы мағынасымен үйлеседі (75).

Варианттар бірдей жиі кездесетін бөлу біркелкі болса, онда қатар мода-

сыз, əйтпесе барлық варианттар бірдей модальдық деп айтады. 

Екі вариантта бірдей жиі болатын жағдайлар да кездеседі. Бұл жағдай-

да бөлу модальді емес деп айтады. 

Медиананы  табу  үшін  жиіліктің  сомасын  жартыға  бөліп,  алынған 

нəтижеге 0,5-ті қосу қажет. Біздің жағдайда бұл 101 вариант (201/2 + 0,5) 

болады. Осы вариант екі балалы отбасылар бар топта болады, яғни медиана 

екі баласы бар отбасы болады. 

Егер қатарда жиіліктің тақ саны (мысалы, 200) болса, онда медиандық 

варианттың нөмірі бөлшекті болады (200 үшін 200,5 болады). Біздің жағ дайда 

медиана 100 жəне 101-варианттың арасында болады, ал оның мағынасы осы 

екі варианттың мағынасының орташа шамасына тең болады. 

Аралық  вариацияланатын  қатардағы  моданы  есептеу.  Мода  мен 

медианада жеке ауытқулар өтелмейді. Ол əр кезде белгіленген вариантпен 

үйлеседі. Егер белгінің барлық мағыналары болса, онда мода мен медиана-

ны анықтау үшін есеп жасау қажет емес. Алайда аралық вариацияланатын 

қатарда мода мен медиананың белгіленген аралық шектеріндегі болжамды 

мағынасын табу үшін есеп жасау қажет. 

Жұмысшыларды еңбекақы бойынша бөлудің бұрын келтірілген мыса-

лын қарастырайық (6.6-кесте).

6.6. Жұмысшыларды еңбекақы мөлшері бойынша бөлу қатары 

Жұмысшылардың еңбекақы бойынша тобы, теңге

Жұмысшылардың саны

26000–28000

10

28000–30000

50

30000–32000

100

32000–34000

115

34000–36000

180

36000–38000

45

Жиыны

500

106       I БӨЛІМ. Статистиканың жалпы теориясы

Модальдық аралық деп бұл жерде варианты 34-36 мың теңге шектерін-

де  болатын  аралық  аталады,  өйткені  жұмысшылардың  ең  көп  санының 

еңбекақысы осы шектерде. Осы аралықтағы белгінің модальдық мөлшері-

нің белгіленген шамасын есептеу үшін келесі формула қолданылады: 

Mo = x

Mo

 + i

Mo

 × (f

Mo

 – f

Mo-1

) / [(f

Mo

 – f

Mo-1

) + (f

Mo

 – f

Mo+1

)],

мұнда: x

Mo

 – модальдық аралықтың ең төменгі шекарасы (мысалда – 34000);

i

Mo

 – модальдық аралықтың мөлшері (2000);

f

Mo-1

 – модальдықтың алдындағы аралық (115);

f

Mo

 – модальдық аралықтың жиілігі (180);

f

Mo+1

 – модальдықтан кейінгі аралықтың жиілігі (45).

Біздің мысал үшін моданың мағынасын есептейік: 

Mo = 34000 + 2000 × (180 – 115) / [(180 – 115) + (180 – 45)] = 

=34000 +2000 × 65/200 = 34000 + 2000 × 0,325 = 34650 теңге.

Формулада модальдық аралықтың оның ең аз шекарасына қосу қажет 

бөлігінің мөлшері өткен жəне кейінгі аралықтардың жиілігінің мөлшеріне 

байланысты  анықталады.  Бұл  жағдайда 34000-ға 650-ді,  яғни  аралықтың 

жартысынан  аз (2000) қосамыз,  сондықтан  өткен  аралықтың  жиілігі 

(115) өткен аралықтың жиілігінен (45) көп.

Аралық вариацияланатын қатардағы медиананы есептеу. Медиа-

наны есептеу үшін ол орналасқан аралықты (медиандық аралықты) анықтау 

қажет.  Бұл  аралықтың  кумулятивтік  жиілігі  жиіліктің  сомасының  жарты-

сынан  асады.  Біздің  жағдайда  жиіліктің  жартысы 250 (500 / 2) тең  бола-

ды. Қатардағы жиіліктерді бірте-бірте қосып, біз төртінші аралықта жиілік 

сомасының ортасынан асып кетеміз (10 + 50 + 100 + 115 = 275), яғни 32000–

34000  теңге  аралығы  медиандық  болады.  Бұған  дейін  жиілік  сомасының 

аралығы 160-қа  тең  болды.  Медиананы  алу  үшін  тағы  да 90 бірлік  қосу 

(250 – 160) қажет. 

Медиананы  анықтағанда  аралық  шектеріндегі  бірліктердің  мағынасы 

біркелкі бөлінеді деп қарастырылады. Демек, егер осы аралықта орналасқан 

115 бірлік 2000-ға тең аралықта біркелкі орналасса, онда 90 бірлікке оның 

келесі мөлшері сəйкес келеді: 

2000 × 90 / 115 = 1560.

Алынған  мөлшерді  медиандық  аралықтың  ең  аз  шекарасына  қосып 

медиананың ізделіп отырған шамасын аламыз. 

Me = 32000 + 1560 =33560 теңге.

Аралық  өзгермелі  қатардың  медианасын  есептеуге  арналған  фор-

муланың түрі мынадай болады: 

6-тақырып. Орташа шамалар        107

Me = x

Me

 + i

Me

 × (Σf/2 – S

Me-1

) / f

Me

,

мұнда: x

Me

 – медиандық аралықтың бастапқы мағынасы; 

i

Me

 – медиандық аралықтың мөлшері; 

Σf – қатардың жиілігінің сомасы (қатардың саны);

S

Me-1

 – медиандықтың алдындағы аралықта жинақталған жиіліктердің 

сомасы; 

f

Me

 – медиандық аралықтың жиілігі. 

Біздің мысалдағы медиананы есептейік: 

Me = 32000 + 2000 × (500/2 – 160)/115 = 33560 теңге.

Сөйтіп,  біздің  мысалымыз  үшін  арифметикалық  орташа  шама 33160, 

мода – 34650, медиана – 33560 теңгеге  тең  болады.  Осы  шамалардың 

арақатынасы бөлу ассиметриясының бағыты мен дəрежесін көрсетеді (ке-

лесі тақырыпта қарастырылатын болады).

Квартильдер  мен  децильдер.  Вариацияланатын  бөлу  қатарының 

құрылы мын  сипаттау  үшін  медианаға  қосымша  қатарды  жиіліктің  сома-

сы бойынша 4 тең бөлікке бөлетін квартиль жəне қатарды жиілік сомасы 

бойынша 10 тең бөлікке бөлетін дециль есептеледі. 

Екінші  квартиль  медианаға  тең  болады,  ал  бірінші  мен  үшінші  квар-

тиль медианаға ұқсас есептеледі, тек медиандық аралықтың орнына бірін-

ші квартиль үшін жиіліктің ј санын кесетін варианты орналасқан аралық, 

ал үшінші квартиль үшін жиіліктің ѕ кесетін варианты орналасқан аралық 

алынады. Біздің мысалымыз үшін бірінші жəне үшінші квартильдерді есеп-

тейік: 

Q

1

 = x

Q1

 + i

 Q1

 × (Σf/4 – S

 Q1-1

) / f

 Q1 

= 30000 + 2000 × (125 – 60) / 100 =

= 31300 теңге.

Жиіліктің  төртінші  бөлігі 125 (500/4) құрайды  жəне  ол 30000–32000 

аралығында орналасады. Демек, x

Q1

 = 30000. Осы аралыққа дейін жинақтал-

ған жиіліктің сомасы 60 (S

Q1-1

) тең, осы аралықтың жиілігі – 100 (f

Q1

) болады. 

Бірінші  квартильдің  алынған  мағынасы  жұмысшылардың  төрттен  үшінің 

еңбекақысы 31300 теңге жəне одан жоғары (немесе жұмысшылардың үштен 

бірінің еңбекақысы 31300 теңгеден аспайтынын) екенін білдіреді. 

Үшінші квартильді есептейік: 

Q

3

 = x

Q3

 + i

 Q3

 × (Σ3f/4 – S

 Q3-1

) / f

 Q3 

= 34000 + 2000 × (375 – 275) / 100 =

=35110 теңге.

Демек, əрбір төртінші жұмысшының еңбекақысы 35110 теңгеден аса-

ды  (немесе  жұмысшылардың  төрттен  үшінің  еңбекақысы 35110 теңгеден 

аспайтынын) білдіреді. 

108       I БӨЛІМ. Статистиканың жалпы теориясы

6.5.

Статистикада орташа шаманы 

қолданудың негізгі ережелері

Жалпы  талаптар.  Орташа  шама  сол  бір  түрдегі  құбылысқа  жатуы 

жəне фактілерді жалпы жинақтап қорытуға негізделуі тиіс. Тек қана сон-

да  орташа  шама  құбылыстың  мəнін  көрсетеді  жəне  олардың  мағынасына 

кездейсоқ факторлар ықпал етпейді. Статистикада осы талап орташа шама-

ны көп сандар заңымен байланыстырады. 

Статистикада орташа шамаға жиынтықтың сапасының біркелкі болуына 

екінші талап ретінде қойылады. Осыған байланысты жекелеген бөліктері ор-

таланатын белгі қатысында əр түрлі даму заңдарына бағынатын жиынтыққа 

орташа шаманы қолдануға болмайды. Сапасы біркелкі жиынтықтар топтас-

тыру əдісімен жеке бөлінеді. 

Жалпы жəне топтық орташа шамалар. Тіпті біртектес жиынтық шек-

терінде де сапа ерекшеліктері кездейсоқ емес жүйелі түрде кездесуі мүмкін. 

Сондықтан бүкіл жиынтықтың жалпы орташа шамасымен қатар топтық ор-

таша шама есептеледі. 

Мысалы,  ауыл  шаруашылығы  дақылының  түсім  динамикасы  оның 

төмендеу  үрдісін  көрсетуі  мүмкін.  Алайда  түсім  əр  түрлі  өңірлердегі 

топырақ  пен  ауа  райының  жəне  басқа  да  жағдайлардың  ерекшеліктеріне 

байланысты да болады. Елдің аудандарын осы белгілер бойынша топтас-

тырып, жекелеген аудандарда орташа түсімнің динамикасы өзгермейтінін 

немесе  ұлғаятынын,  ал  жалпы  орташа  шаманың  кемуі  ел  бойынша  осы 

ауыл  шаруашылығы  дақылы  түсімінің  жалпы  көлемі  бұдан  да  төмен 

аудандардың  өзіндік  салмағының  артуына  байланысты  екенін  анықтауға 

болады.  Яғни,  топтық  орташа  шаманың  динамикасы  түсімнің  өзгеруінің 

заңдылығын  толық  білдіреді,  ал  жалпы  орташа  шама  оның  тек  жалпы 

нəтижесін көрсетеді екен. 

Орташа  шама  жəне  бөлу  қатары.  Бөлу  қатарымен  толықтырылған 

орташа шама əдісі заңдылықтарды талдау үшін айтарлықтай толық. 

Статистикада орташа шаманы топтастыру əдісінің негізінде жəне оны 

біртұтас қолдану қажет. Топтастыру əдісі орташа сипаттамаларды қолдану 

үшін  сапасы  біркелкі  жиынтықтарды  шектеуге,  сондай-ақ  жалпы  орташа 

шаманы топтық орташа шамалармен толықтыруға жəне орташа сипаттама-

ларды бөлу қатарларымен толықтыруға мүмкіндік береді. 

Көбінесе  біршама  қолайлы  орташа  шама  ретінде  жекелеген  кəсіп-

орындардың нашар жұмысының көрсеткіштері, халықтың жекелеген əлеу-

меттік-демографиялық топтарының ауыр жағдайы жасырылады, сондай-ақ 

оң нəтижелер де көрінбейді. Сондықтан орташа шама топтық орташа ша-

мамен толықтырылады, ал топтық орташа шама топтағы ең аз жəне ең көп 

көрсеткіштермен толықтырылады, яғни жеке мөлшерлер де зерттелуі тиіс. 

6-тақырып. Орташа шамалар        109

Алайда статистикадағы орташа шаманың рөлін асырып айтпаса да бо-

лады. Көп жағдайда А. Кетлеге сүйеніп статистиканы орташа шама туралы 

ғылым деп атайды. Бірқатар ғалымдар орташа шаманың тегін, оның сапасы 

мен мазмұнын зерттеуге күш салмай, енжарлық танытады. 

Орташа  шаманы  есептеуде  қайсы  бір  сапа  шектеуінің  болмауы  сал-

дарынан  олар  көбінесе  құбылыстың  мəнінен  алшақ  есептеледі.  Мəселен, 

халықтың орташа табысы артуы мүмкін. Сонымен бірге табысты бөлудегі 

теңсіздік  те  ұлғайып,  ал  табысы  күнкөріс  мөлшерінен  төмен  кедейлердің 

санының азаймайтынын да айту керек. 

Жоғарыда  айтылғандай,  статистикада  орташа  шаманы  топтастыру 

əдісінің негізінде жəне оны біртұтас қолдану қажет. Топтастыру əдісі ор-

таша  сипаттамаларды  пайдалану  үшін  сапасы  біркелкі  жиынтықтарды 

шектеуге  мүмкіндік  береді.  Топтастыру  арқылы  жалған  орташа  шаманы 

қолдануға  жол  бермеуге  жəне  топтық  орташа  шаманың  көмегімен  терең 

талдауға мүмкін болады. 

Сөйтіп,  біз  статистикадағы  орташа  шаманың  көрсеткіштерін,  оның 

ішінде  арифметикалық  орташа  шаманы  жəне  гармоникалық  орташа  ша-

маны  есептеу  əдістерін,  сондай-ақ  орташа  шаманы  толықтыратын  (егер 

олар  да  бір келкі  жəне  жаппай  болса)  жəне  бөлудің  типтік  сипаттамала-

ры  тəн  мода  мен  медиананы  қарастырдық.  Бөлудің  екі  қатарының  кей-

бір  белгілерінің  шамалы  айырмашылықтары  жəне  олардың  медиандық 

мағыналары  да  бірдей  болуы  мүмкін,  яғни  медиана  белгінің  типтілігін 

(тəн екенін) білдіреді. 

Жекелеген белгілердің орташа шамасымен салыстырғанда модальдық 

жəне  медиандық  мағыналар  жүйемен  ұштаспайды.  Мəселен,  сағаттық 

өнімділіктің  медиандық  мағынасының,  жұмыс  күні  мен  жұмыс  айының 

ұзақтылығының  негізінде  жұмысшының  айлық  өнімділігінің  медиандық 

мағынасын есептеуге болмайды.

Келесі тақырып өзгеру көрсеткіштеріне – орташа шамадан ауытқуды 

сипаттайтын көрсеткіштерге арналған. Олардың қатары, атап айтқанда дис-

персия мен орташа квадраттық ауытқудың қасиеттері арифметика лық ор-

таша  шама  сияқты  ұқсас  жəне  есептеу  техникасы  да  ұқсайды.  Олар  бөлу 

қатарларын талдаудың мүмкіндіктерін айтарлықтай арттырады. 

Өзін-өзі тексеруге арналған 

сұрақтар

1.  Орташа  шамаға  анықтама  беріңіз.  Статистикадағы  орташа 

шаманың мағынасы қандай? 

2.  Көп сандар заңының орташа шамаға қандай қатынасы бар? 

110       I БӨЛІМ. Статистиканың жалпы теориясы

3.  Статистикада орташа шаманың қандай түрлері бар? 

4.  Арфиметикалық  жай  орташа  шама  қалай  есептеледі  жəне  ол 

қандай жағдайда қолданылады? 

5.  Арифметикалық  орташа  шама  қалай  есептеледі  жəне  ол  қандай 

жағдайларда қолданылады? 

6.  Аралық  қатардың  арифметикалық  орташа  шамасы  қалай  анық-

талады? 

7.  Моменттік  (мезеттік)  тəсілмен  орташа  шаманы  есептеу  үшін 

арифметикалық  орташа  шаманың  қай  қасиеттері  пайдаланыла-

ды? 

8.  Гармоникалық орташа шама қандай жағдайларда қолданылады? 

9.  Мода жəне медиана деп не аталады? Дискреттік өзгермелі қатарда 

мода мен медиана қалай есептеледі? 

10.  Аралық вариацияланатын қатарда мода қалай анықталады? 

11.  Аралық вариацияланатын қатарда медиана қалай есептеледі? 

12.  Квартильдер мен децильдерге анықтама беріңіз. Олар қалай есеп-

теледі? 

13.  Жалпы жəне топтық орташа шамалар қалай есептеледі? 

Ұсынылатын əдебиет

1.  Авров А.П. Аврова Ю.А. Общая теория статистики. Основы курса: Учеб-

ное пособие. 2-ое изд. доп. – Алматы, 2004. – 112с.

2.  Сиденко А.В., Попов Г.Ю., Матвеева В.М. Статистика: Учебник.– М.: 

Дело и сервис, 2000. – 464 с.

3.  Елисеева  И.И.,  Юзбашев  М.М.  Общая  теория  статистики:  Учебник. – 

3-е изд. / Под ред. чл.-корр. РАН И.И. Елисеевой. – М.: Финансы и статис-

тика, 1998. –368 с.: ил.

4.  Теория  статистики:  Учеб.  для  вузов / Под  ред.  Р.А.  Шмойловой. – 

М.: Финансы и статистика, 1996.

5.  Ефимова М.Р., Петрова Е.В., Румянцев В.Н. Общая теория статистики: 

Учебник для вузов. – М.: ИНФРА-М, 1998.

6.  Статистика: Курс лекций для вузов / Под ред. В.Г. Ионина. – М.: ИНФ-

РА-М, 1996.

7.  Гусаров В.М. Теория статистики: Учебное пособие для вузов. – М.: Ау-

дит, ЮНИТИ, 1998.

8.  Гусаров В.М. Теория статистики: Учебное пособие. – М.: ИННТИ, 2000.

9.  Ряузов Н.Н. Общая теория статистики: Учебник для студ. экон. спец. вузов. 

– 4-е изд., перераб. и доп. – М.: Финансы и статистика, 1984. – 343 с.: ил.

10.  Общая теория статистики: Учебник / Т.В. Рябушкин, М.Р. Ефимова и 

др. – М.: Финансы и статистика, 1981.

11.  Общая  теория  статистики:  Учебник / Г.С.  Кильдишев,  В.Е.  Освиенко, 

П.М. Рабинович, Т.В. Рябушкин. – М.: Статистика, 1980. 

12.  Статистический словарь / Гл. ред. М.А. Королев. – 2-е изд., перераб. и 

доп. – М.: Финансы и статистика, 1989.

6-тақырып. Орташа шамалар        111

6.6.

Практикум

6.6.1. Ізденуге арналған сұрақтар

1.  Статистикадағы орташа шаманың мəні мен түрлерін сипаттаңыз. Орташа 

шаманы есептеу үшін көп сан заңының мағынасына тоқталыңыз. 

2.  Арифметикалық орташа шаманы əр түрлі формулалар бойынша есептеудің 

нұсқаларын жəне олар қолданылатын жағдайларды сипаттаңыз. 

3.  Арифметикалық орташа шаманың негізгі қасиеттерін жəне орташа шама-

ны моменттік (мезеттік) тəсілмен есептеуді келтіріңіз. 

4.  Гармоникалық орташа шаманың мазмұнын, оны қолдану жағдайлары мен 

формулаларын сипаттаңыз. 

5.  Статистикадағы  мода  деген  ұғымның  мазмұнын  ашыңыз.  Дискреттік 

жəне аралық вариацияланатын қатарда моданы анықтау тəртібі мен фор-

муласын жазыңыз. 

6.  Статистикада  медиана  ұғымының  мазмұнын  ашыңыз.  Дискреттік  жəне 

аралық вариацияланатын қатарда медиананы анықтау тəртібі мен форму-

ласын жазыңыз. 

7. «Квартильдер»  мен  «децильдер»  деген  ұғымға  анықтама  беріңіз  жəне 

нақты мысалда олардың есебін көрсетіңіз. 

6.6.2. Типтік есептерді шешу мысалдары

1 - м ы с а л .  Жұмысшының ауысымдағы шығарған біркелкі өнімінің өнімді-

лігі былайша бөлінеді: 

Өнімділік, дана

40

42

45

46

48

50

Жұмысшылардың саны, адам

25

50

100

125

150

50

Бір  жұмысшының  ауысымдағы  орташа  өнімділігін,  мода  мен  медиананы 

есептеңіз. 

Ш е ш у і. Белгінің дискреттік мағына қатары болып жəне олар жиі кездескен 

жағдайда, белгінің орташа шамасы келесі арифметикалық орташа шама формула-

сымен есептеледі: 

х =(Σxf) /Σf = (40 

×

 25 + 42 

×

 50 + 45 

×

 100 + 46 

×

 125 +48 

×

 150 + 50 

×

 50) /

/ (25 +50 + 100 + 125 + 150 + 50) = (1000 + 2100 + 4500 + 5750 + 7200 + 2500) /

/ 500 = 23050 / 500 = 46,1.

Біздің  жағдайда  мода 48-ге  тең  болады,  өйткені  осы  вариантқа  жиі  кезде-

сетін өнімділік сəйкес келеді (150 жұмысшы ауысым ішінде бөлшектің осы санын 

шығарады). 

Медиандық варианттың нөмірі 500/2 + 0,5 = 250,5-ке тең, өйткені медиана 

250 жəне 251-варианттардың арасында орналасқан. Жиілікті жинақтап, медиана 

төртінші топта (25 + 50 + 100 + 125 = 300) жəне 46 бөлшекке тең екенін аламыз. 

112       I БӨЛІМ. Статистиканың жалпы теориясы

2 - м ы с а л .   Екі  кəсіпорын  есепті  кезеңде  іс  жүзінде  əрқайсысы 10 млн 

теңгенің өнімін шығарды. Мұның өзінде бір кəсіпорын өндіріс жоспарын – 112%-

ға, ал екіншісі 105%-ға орындады. Осы екі кəсіпорында өнім өндіру жоспары бірге 

орташа қанша пайызға орындалғанын есептеңіз. 

Ш е ш у і .   Осы  мысалда  екі  кəсіпорын  бойынша  жоспарлы  тапсырма-

ны  орындаудың  орташа  мағынасын  арифметикалық  орташа  шама  формуласы 

бойынша есептеу үшін өлшем ретінде пайдалануға болатын жоспарланған өндіру 

жоспарының мағыналары келтірілмеген. Алайда жоспарланған өндіріс көлемі мен 

өндірістің өсу қарқынының көбейтіндісін білдіретін шығарылған өндіріс көлемінің 

мағыналары бар. 

Сондықтан  жоспарлы  тапсырманы  орындаудың  орташа  шамасын  табу  үшін 

гармоникалық орташа шаманың келесі формуласын қолдану қажет: 

х = (Σw /Σw 

×

 1/x).

Гармоникалық  салмақталған  орташа  шаманы  есептеу  үшін  мына  амалды 

орындау қажет: 

а) салмақты тиісті варианттарға бөлу: 

10 / 1,12 = 8,929, 10 /1,05 = 9,524.

ə) салмақтың сомасын бірінші бөлуден алынған бөліндінің сомасына бөлу: 

20 / (8,929 + 9,524) = 20 / 18,453 = 1,084.

Сөйтіп, екі кəсіпорында өнім өндірісінің жоспары орташа 108,4%-ға орындал-

ды. 

жүктеу/скачать 2,85 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: