Сабақтың тақырыбы Дифференциалдық теңдеулерді Пикара әдісімен, Эйлер әдісімен шешу. Педагог

Бөлім меңгерушісі : Унеров Б.

Педагог: Жакупова Ұ.

Дифференциалдық теңдеулерді Пикара әдісімен, Эйлер әдісімен шешу.

Қарапайым дифференциалдық теңдеулер үшін қойылған шектік есепті шешудің жалпы 2 әдісі бар:

1. 
   Дифференциалдық теңдеудің ақырлы – айырымдық немесе шектік – айырымдық түрін қолдану – сандық әдіс.
   
2. 
   Шектік есепті бірнеше Коши есебін шешуге келтіру аналитикалық әдіс.
   

Бұл әдістің негізгі идеясы - шектік есепті шешуді алгебралық теңдеулер жүйесін шешуге келтіру.

Берілген аралықты бірнеше бөлікке бөлу арқылы бірдей қашықтықта орналасқан түйіндер жүйесін құрамыз: x₀=a, x_n=b, x_i=x₀+ih (i=1,2,…,n-1), қадамы h=b-a/n және p_i=p(x_i), q_i=q(x_i), f_i=f(x_i) болсын.

x_i түйіндерінде ізделінді функцияның жуық мәнін y(x) және y ^/(x) ,y ^//(x) туындыларын сәйкесінше y_i ,y_i^/ ,y_i ^// деп белгілейік. Құрылған түйіндер жүйесінің әрбір ішкі түйінінде y_i^/(x_i), y_i^//(x_i) туындыларын сәйкес ақырлы – айырымдық қатынастарымен алмастырамыз:

Шекаралық шарттар үшін: (5^!)

қатынастарын қолданылады.

2. Қуалау әдісі.

(3)-(4)-шектік есептерді ақырлы-айырымдық қатынастармен алмастырған соң алынған есепті келесі түрде қарастырайық:

Мұндағы

Y_i+1=c_i (d_i-y_i+2) (i=0,1,2,…,n-2) (17)

с_i,d_i сандары i=0 болғанда

(18) i=1,2,…,n-2 болғанда біртіндеп c_i=1/(m_i-k_ic_i-1) d_i=f_ih²-k_ic_i-1d_i-1 (19)

формулалармен есептеледі.

Есептеу этаптары:

Тура жол. (16)-формуламен m_i,k_i мәндерін табамыз. Сосын (18)-формуламен c₀, d₀ –дарды және (19)-формуламен i=1,2,…,n-2 үшін біртіндеп c_i, d_i мәндерін табамыз.

Кері жол. (17)-формуламен i=n-2 болғанда және (3)-(4)-теңдеулер жүйесінің соңғы теңдеуінен

Y_n-1=c_n-2(d_n-2-y_n)

Алдын ала табылған c_n-2, d_n-2 мәндерін қолданып y_n мәнін табамыз. Сосын біртіндеп (i=n-1,…,1) үшін (17)- формуланы қолданып y_i мәндерін есептейміз:

(21)

Сонымен, барлық есептеулер екі рет қуаланып шығады. Тура жолда i индексінің өсу ретімен көмекші c_i, d_i сандары алынады. Бұл арада c₀, d₀ сандарын есептеу үшін интегралдау аралығының сол жақ шетіндегі шекаралық шарт қолданылады. Сосын кері жолдың алғашқы қадамында есептелген c_n-2, d_n-2 сандарының интегралдау аралығының оң жақ шетіндегі шекаралық шартпен үйлестірілуін қадағалайды. Осыдан барып I индексінің кему ретінмен біртіндеп y_i ізделінді мәндер есептеледі.

Коши есебін шешудің бұл әдісі бірінші ретті дифференциалдық теңдеуді интегралдауға мүмкіндік береді. Бұл әдістің дәлдігі төмен. Сондықтан практикада көп қолданылмайды. Бірақ бұл әдістің негізінде басқа тиімді, бірақ күрделі әдістерді меңгеру жеңілдейді. (6.1)-(6.2) Коши есебі берілсін.

Геометриялық мағынасы: һ қадам таңдап алып берілген аралықта бірдей қадаммен нүктелер жиынын құраймыз:

M₀(x₀,y₀) нүктесінен өтетін ізделінді y=y(x) интегралдық қисықты төбелері M_i (x_i,y_i) (i=0,1,2,…) болатын Эйлер сынықтарымен M₀M₁M₂… алмастырылады:

Әрбір M_iM_i+1 сынықтары бағыты M_i нүктелерінен өтетін (6.1)-теңдеумен берілген интегралдық қисықтың бағытымен беттеседі.

Сонда есептеу формуласы келесі түрде жазылады:

Y_i+1=y_i+y_i, (6.6) y_i=hf(x_i,y_i) (i=0,1,2,…)

Әдіс теңдеулер жүйесіне де қолданылады. Ол 2-мысалмен келтірілген.

1-Мысал:

Эйлер әдісін қолданып [0,1] аралығында h=0,2 қадаммен теңдеуін және

у(0)=1 бастапқы шартты қанағаттандыратын мәндер кестесін құру керек болсын.

x_i=x₀+ih (i=0,1,2,…). (6.4)

Есептеу нәтижелері 1-кестеде келтірілген. Кестенің толтырылуы:

Бірінші жолға i=0 болғанда бастапқы мәндер жазылады: x₀=0; y₀=1,0000. Үтірден кейін мәнді цифрларды жоғалтпау үшін 4 орын сақтап отырайық. Осы мәндер және (6)- формула бойынша f(x₀,y₀)=1, сосын , у₁=1+0,2=1,2 мәндері есептеледі.

Кестенің ең соңғы бағанында салыстыру үшін теңдеудің дәл шешімінің мәндері келтірілген. Кестеден абсолютті қателіктің мәні е=0,0917, салыстырмалы қателігінің 5% екендігі көрінеді. 1-кесте . теңдеуін есептеу алгоритмі.