№1 дәріс. Кіріспе. Математика ғылымының бұлақ-бастаулары Қарастырылатын мәселелер

арасында келіспеушілік орын алған болатын. Якоби оны да шешті, бірақ, ол әлсіз 
экстремумдарды ғана зерттеген еді. Ғасырдың 2-жартысында: Якоби шарттарының 
қажеттілігі дәлелденді (Эрдман); Лагранж есебі үшін Лежандр шарты анықталды (Клебш); 
әлді және әлсіз экстремумдар арасындағы айырмашылық анықталды (Тодгентер), т.б.
XIX ғ. Ньютонның сұйық ішінде қозғалу барысында ең аз кедергіге ұшырайтын 
дененің формасы туралы есебіне байланысты пікірталас орын алды. Ньютон есепті шешіп 
көрсеткенімен, өзінің бұл шешімге қалай келгендігіне ешқандай түсініктеме бермеген еді. 
Сондықтан оның шешіміне күмәндану жағы басым болды. Ньютон есебі үшін Эйлер, 
Лежандр 
және 
Якоби 
шарттарының 
орындалатындығы, 
бірақ 
минимумның 
алынбайтындығы анықталды. Бұл жағдай «парадокс» болып есептеліп, оған мән 
берілмеді. Вейерштрасс Эйлер, Лежандр және Якоби шарттары орындалуының Ньютон 
есебінде экстремумның бар болуын қамтамасыз етпейтіндігін анықтады және 
вариациялық теорияны кеңейту қажет деп есептеп, әлді экстремумдар теориясын жасады. 
Ол: 1) осы арқылы қарапайым вариациялық есепті параметрлік формада толығымен 
зерттеді; 2) Вейерштрасс-Эрдман шартын тапты; 3) осы саладағы зерттеулердің стилін 
түбегейлі өзгертті.
XIX ғ. басында «Лагранждың көбейткіштер ережесінің» алғашқы дәлелдемесі 
ұсынылды (Лагранж). Бірақ, оның пайымдауларында қателік бар екендігі анықталды. 
Сондықтан оны математикалық тұрғыда негіздеу қажет болды. Оны Майер дәлелдеді. 
Шеффер көбейткіштер ережесін мынадай екі типті шектеуі бар есеп үшін дәлелдеді: 1) 
m
интегралдар берілген мәндерді қабылдайды; 2) шартты теңдеулер фазалық шектелуге ие 
болады (1885). Руксма оның тағы бір дәлелдемесін жариялады.
XIX ғ. 2-жартысында шектеулері жоқ вариациялық есептерге қатысты зерттеулерде
(Эрдман, Дюбуа-Реймон, Шеффер, т.б.). Вейерштрасстың әлді экстремумдар теориясына 
сілтемелер жасалмады. Вейерштрасс идеялары дамытылған зерттеулер ғасыр соңында 
жарияланды. Оларда алынған аса маңызды нәтиже –экстремальдар өрісі теориясының 
пайда болуы (Кнезер, Гильберт). Экстремальдар өрісі теориясы осыған дейінгі алынған 
ғылыми нәтижелерді жалпы вариациялық есептерге көшірудің тиімді құралына айналды.
6. 
ХІХ ғасырда шекті айырмаларды есептеудің дамуы негізінен, мына бағыттарда 
жүрді: 1) инфинитезимальдық операциялардың заңдылығын негіздеу; 2) әртүрлі шекті-
айырымдық құрылымдарды жалпылау; 3) шекті айырмаларды есептеудің жаңа әдістерін 
жасау.
 
ХІХ ғ. интерполяциялық көпмүшеліктің әртүрлі жалпылануы қарастырылып, 
тригонометриялық көпмүшеліктермен (Лагранж, Гаусс, т.б.) және көрсеткіштік 
функциялармен (Прони, Гаусс, т.б.) интерполяциялау мәселелері зерттелді; әртүрлі 
интерполяциялық қатарлар алынды (Лаплас, Абель, т.б.); базистік функциялары 
көпмүшеліктерден өзгеше болатын интерполяциялық схемалар ұсынылып, Лагранждың 
интерполяциялық формуласындағы қалдық мүшені бағалау жүзеге асырылды (Ампер, 
Коши); қалдық мүшені қорытып шығару әдістері ұсынылды (Эрмит, Дженокки, Лоран, 
Стилтьес); интерполяциялық қатарларды аналитикалық әдіспен зерттеу қолға алынды 
(Коши, Фробениус, Эрмит, Бендиксон).
ХІХ ғ. дейін Эйлер – Маклореннің қосындылау формуласы ешқандай 
негіздеулерсіз қолданылып келді. Бұл кейде парадокстардың туындауына әкеліп 
соқтырды, өйткені Эйлер-Маклорен қатары жинақсыз қатар болып табылады. Бұл 
формуланың интегралдарды жуықтап есептеуде, қосындыларды бағалауда және жай 
жинақталатын қатарлардың қосындыларын тез есептеуде қолданылу мүмкіндігі осы 
формулаға және жалпы, жинақсыз қатарларға деген қызығушылықты арттырды (Гаусс, 
Лежандр, т.б.). Эйлер-Маклорен қатары қатаң түрде қорытып шығарылып, оның 
асимптоталық қатар болып табылатындығы дәлелденді (Пуассон, Якоби, Абель). Осы 
және жинақсыз қатарларды талдауға арналған басқа да зерттеулер асимптоталық қатарлар 
теориясының пайда болуына (Пуанкаре, Стилтьес) әкеліп соқтырды.

Шекті-айырмалы теңдеулер теориясында Лапластың айнымалы коэффициентті 
сызықтық теңдеулерді шешудегі туындатқыш функциялар әдісі мен интегралдық 
түрлендірулерінің және Пуанкаренің шешімдердің асимптоталық тәртібі туралы алған 
ғылыми нәтижелерінің маңызы зор болды. Бұл шешімдердің асимптоталық анализінің 
қалыптасуының бастамасы болды.
Жалпы алғанда, интерполяция теориясы ғасыр соңында екі бағытта дамыды: 1) 
интерполяцияның үшбұрышты кесте беретін түйіндері кесіндіде тығыз жинақталатын 
жағдай үшін интерполяциялық процестің жинақталуын зерттеу; 2) интерполяциялық 
қатарлардың жинақтылығын, функциялардың мәні өрнектелетіндей немесе ең болмағанда, 
өздерінің мәндерімен жалғыз жолмен анықталатындай кластарын зерттеу. 1-бағыт 
негізінен, ХХ ғ. шешілді. Екінші бағыт бойынша жасалған контурлық интегралдар 
аппараты іргелі жаңалықтар ашуға мүмкіндік жасады (Фробениус, Эрмит, Бендиксон, 
Борель, т.б.).
7. 
XIX ғ. математикалық анализдің негіздемесін жасау қолға алынды. Коши 
анализдің негізгі ұғымдарын шектер теориясы негізінде анықтауға тырысты. Бірақ онда 
бірқатар қателіктер орын алды. Дегенмен, ол алғаш рет шектер мен қатарлар теориясының 
қатаң түрдегі баяндалуын, функцияның үздіксіздігі ұғымының анықтамасын беруді, 
анализдің шектер теориясына негізделген баяндалуын жүзеге асырды. Мұнда 
математикадан дерексіз шексіз аз шама ұғымы және жинақсыз қатарлармен жүргізілетін 
сенімсіз амалдар алынып тасталды. Функцияның айқын түрдегі анықтамасы 
тұжырымдалды (Лобачевский, Дирихле), максимумдары мен минимумдарының саны 
шектеулі кез келген функцияның Фурье қатарымен өрнектелуі дәлелденді (Дирихле), 
Фурье қатарларының жинақтылық шарттары анықталды (Лобачевский), иррационал 
сандардың қатаң теориясы құрылды (Дедекинд, Вейерштрасс).
Математикалық теориялардың логикалық қатаңдығына қойылатын талаптар 
стандарты қалыптаса бастады. Бұл стандарт кез келген математикалық теория 
құрылымының теориялық-жиындық концепциясына негізделді.
Кантор жиындар туралы жаңа ілімнің негізін салды, шексіз жиындар және 
трансфиниттік сандар теорияларын құрды, нақты сандар жиынының саналымсыздығын 
дәлелдеді, эквивалентті жиындардың болатындығын тағайындады, жиынның қуаты 
ұғымын енгізді, жиындардың қуаттарын салыстыру принциптерін дамытты, т.б. Кантор 
идеялары үлкен қолдау тауып, жиындар теориясы бүкіл математиканың негізі ретінде 
қарастырылды. Осылайша, математиканы теориялық-жиындық тұрғыда негіздеу мәселесі 
қолға алынды. 
Теориялық-жиындық концепция математикалық теорияларды жүйелеуге қолайлы 
жағдай туғызды. Таза алгебра саны шектеулі операциялар берілген объектілер жүйесі 
туралы ғылым ретінде анықталды. Ол анализ бен геометриядан осы ерекшелігімен 
ажыратылды, ал анализ бен геометрия саны шексіз объектілерді байланыстыратын шектік 
қатынастарды енгізуді талап етеді.
Жалпы алғанда, барлық математикалық теориялардың қай-қайсысында болмасын 
теориялық-жиындық көзқарас белгілі дәрежеде өзін-өзі ақтады. Бірақ, соған қарамастан, 
ол ғасыр cоңында-ақ айтарлықтай қиындықтарға ұшырады (шексіз жиын ұғымына 
жалпылама мағына берілуі, ең үлкен жиынның - «жиындардың жиынының» 
қарастырылуы, т.б.). Кейіннен бұлардан басқа да қарама-қайшылықтар жиі кездесе берді ( 
«антиномиялар»). Бұл әртүрлі пікірлердің орын алуына әкеліп соқтырды. Мысалы, 
Пуанкаре алғашқыда жиындар теориясын қолдап, оны өзінің зерттеулерінде 
қолданғанымен, кейіннен одан бас тартып, жиындар теориясын «математиканың ауруы» 
деп атады. Расселл, Гильберт, Адамар, т.б. «канторизмге» қолдау көрсету жағында болды. 
Бұл жағдай «таңдау аксиомаларының» ашылуына (Цермело, 1904) байланысты тіптен 
ушығып, жаңа антиномиялардың туындауына алып келді (Банах-Тарский парадоксы, 
т.б.).

жүктеу/скачать 1,77 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: