XIX ғ. ортасына дейін ДТ-лердің жалпы шешімдерін квадратуралау арқылы табу
әдістеріне көңіл бөлінді. Алайда, Риккати теңдеуі үшін осылайша интегралдаудың мүмкін
еместігі дәлелденгеннен кейін (Лиувилль) бұл көзқарастың мүмкіндігінің шектеулі
болатындығы анықталды. С.Ли үздіксіз группалар теориясын құрды. Бұл қарапайым ДТ-
лердің сәйкес түрлендірулер орындалатын кластары мен оларды интегралдау әдістеріне
сипаттама беруге мүмкіндік туғызды. Бірақ, осындай мазмұнды теория құру ДТ-лердің
кейбір жеке кластары үшін ғана мүмкін болды (Пикар, Вессио).
Сызықтық ДТ-лерді қатарлар арқылы шешу трансценденттік функциялардың
енгізілуіне алып келді, шешімдердің сызықтық тәуелсіздігі туралы мәселе айқындалды
(Кристоффель), ДТ-лердің алгебралық теңдеулермен ұқсастығы зерттеліп, символикалық
шешу әдістері жасалды (Грегори, Булль), ғасыр соңында операциялық есептеулердің
негізі салынды (Хевисайд).
Математикалық физика есептері параметрге тәуелді коэффициенттері бар
сызықтық теңдеулер үшін шеттік есептерді зерттеу қажеттігін тудырды: шеттік есептер
Штурм-Луивилль теориясының басты нысанына айналды; Штурм-Луивилль теориясын
негіздеумен және функцияларды Штурм-Луивилль есебінің меншікті функциялары
бойынша қатарларға жіктеудің қатаң теориясын құрумен байланысты зерттеулер
жүргізілді. Бұл XX ғ. асимптотикалық әдістер мен спектрлік теорияның дамуына әсер етті.
ДТ-лердің аналитикалық теориясын құрудың негізі салынып (Коши), оның
дамуында жаңа кезең басталды: барлық интегралдары тек регуляр ерекше нүктелерге ие
болатын сызықтық ДТ-лердің маңызды кластарының аналитикалық теориясы жасалды
(Фукс); автоморфты функциялар ашылды (Пуанкаре); жылжымайтын тармақталу
нүктелері бар сызықтық емес теңдеулерді зерттеуде іргелі нәтижелер алынды (Фукс,
Пуанкаре, Пенлеве); ДТ-лердің сапалы теориясы пайда болды (Пуанкаре, т.б.), т.б.
XIX ғ. дербес туындылы ДТ-лер теориясы, әсіресе, потенциал теориясы дамыды
(Гаусс, Фурье, Пуассон, Коши, Дирихле, Грин, т.б.). Ғасыр соңына қарай дербес
туындылы ДТ-лер теориясы жаңа түрге ие болды. Коши, Вейерштрасс, Ковалевскаялар
негізін салған аналитикалық теория өзінің мәнін жоғалтпағанымен, кейінгі орынға
ысырылды. Себебі, оның шеттік есептерді шешу барысында шекаралық шарттарды
жуықтап біле отырып, шешімді жуықтап таба алу мүмкіндігін қамтамасыз етпейтіндігі
анықталды. Бірақ жағдай әлдеқайда күрделі болып шықты: ДТ-лердің әртүрлі типтері
үшін «қисынды» түрде қойылуға тиісті шеттік есептердің мейлінше әралуан болатындығы
анықталды. Теңдеулердің әрбір типіне арналған шеттік есептерді таңдап алу үшін сәйкес
физикалық түсінікке жүгінуге тура келді. Осыған байланысты ДТДТ теориясы
математикалық физика теңдеулерінің теориясына айнала бастады (Дирихле, Риман,
Пуанкаре, Пикар, Адамар, Томсон, Нейман, Гильберт, т.б.).
ДТ-лерді шешудің сандық әдістері жасалды (Адамс әдісі, Рунге әдісі, біртіндеп
жуықтау әдісі, дербес туындылы теңдеулер үшін Либманның айырмалық әдісі).
Гильберт 1900 ж. XX ғ. математикасының дамуына әсер ететін проблемалар
арасында қатысты екі есепті атап көрсету арқылы ДТ теориясының даму перспективасын
анықтап берді.
5.
XIX ғ. ортасына дейін еселі интегралдар экстремумының қажетті шарттарын
және әлсіз экстремумның жеткілікті шарттарын іздеуге күш салынды, қисық сызықты
және беттік интегралдар теориясы дамыды (Гаусс, Грин, Пуассон, т.б.). Вариациялық
есептеулерде мынадай нәтижелер алынды:
(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑦
Достарыңызбен бөлісу: