№1 дәріс. Кіріспе. Математика ғылымының бұлақ-бастаулары Қарастырылатын мәселелер
жүктеу/скачать 1,77 Mb. Pdf көрінісі
|
4. Математика тарихы. Дәріс тезистері 2
| 3.
Қазіргі күні «топология» термині математиканың екі бөліміне қатысты қолданылады. Бастауында Пуанкаре тұрған бір топология комбинаторлық топология, ал Кантордың зерттеулерінен бастау алатын екіншісі теориялық-жиындық топология деп аталады. Топология XX ғ. негізінен, осы екі бағытта дамыды. Бұл теориялар көпөлшемді дифференциалдық геометрияның, әсіресе, римандық және псевдоримандық геометриялардың дамуына үлкен әсерін тигізді. 1-бағыт бойынша топологияның «комбинаторикалық», «гомологиялық» және «гомотопикалық» әдістерін жасау жүзеге асырылды (Брауэр, Веблен, Александер, Лефшетц, Хопф). Ал, екінші бағыт жалпы топологиялық кеңістіктердің жүйелі теориясын құруға алып келді (Фреше, Хаусдорф, Урысон, т.б.). Кейінірек, топологияның осы екі бағытын біріктіру жүзеге асырылды (Александров, Понтрягин). Топологиялық әдістерді анализде қолдану мәселелерінде айтарлықтай нәтижелер алынды (Биркгоф, Морс, Шаудер, т.б.). Осылайша, топология қарқынды дамып, математиканың әралуан салаларында қолданыла бастады. Әсіресе, Мандельброт ашқан фракталдар теориясы ғалымдардың жаппай қызығушылығын тудырды. XX ғ. басында метрикалық кеңістік (Фреше), топологиялық кеңістік (Хаусдорф) ұғымдары қалыптасты, өлшемділік теориясы пайда болды, үздіксіз бейнелеулер туралы теоремалар дәлелденді (Лебег, Брауэр), полиэдрлер енгізілді (Пуанкаре), т.б. XX ғ. алғашқы ширегінде: өлшемділіктің жалпы теориясының негіздері салынды (Лебег, Брауэр, Менгер, Урысон); топологиялық кеңістіктердің аксиоматикасы қазіргі түрге келтірілді (Александров, Куратовский, т.б.); компактілі кеңістіктер теориясы құрылды (Александров, Урысон, Тихонов); кеңістіктің өлшемділігінің қажетті және жеткілікті шарттары анықталды (Александров, Урысон); гомологиялардың жалпы теориясының негізі салынды (Тихонов, т.б.). XX ғ. екінші ширегінде: жете регуляр кеңістік және максимал компактіліктің (стоун-чек) кеңейтілуі енгізілді (Стоун, Чек); кеңістіктер гомологияларының группасы анықталып, когомологиялар группаларында көбейту енгізілді, когомологиялар сақинасы құрылды және гомотопиялар теориясы дамыды (Хопф, Понтрягин); гомотопиялық группалар анықталды (Гуревич, т.б.), гомологиялар мен когомологиялар группаларының аксиомалары тұжырымдалды, қабатсыздандырулар теориясы пайда болды, торлық кеңістіктер енгізілді, топологиялық әдістерді анализде қолдану мәселелері зерттелді (Биркгоф, Морс, Шаудер, Люстерник, т.б.). XX ғ. ортасынан кейін өлшемділік теориясы, метрлендіру проблемасы, бикомпактілік кеңейтілу теориясы, үздіксіз бейнелеулер теориясы, кардинал таңбалы инварианттар теориясы бойынша ғылыми-зерттеу жұмыстары жүргізілді. АҚШ, Ұлыбритания, т.б. елдерде алгебралық топологияның ірі орталықтары ашылды, геометриялық топологияға деген қызығушылық артты, векторлық қабатсыздандыру мен К-функтор теориясы пайда болды. 4. Математикалық анализдің иррационал сандардың қатаң арифметикалық теориясы мен жиындар теориясының негізінде жүйелі түрде құрылуы барысында XIX ғ. соңына қарай нақты айнымалылар функциясының теориясы пайда болып, мына сияқты нәтижелер алынды: Риман интегралын, әртүрлі туындыларды енгізу және зерттеу, жалпы тригонометриялық қатарлар мен ортогональ функциялар бойынша жіктелулерді зерттеу, нүктелік жиындар теориясын жасау (Риман, Дарбу, Дюбуа-Рейман, Кантор, т.б.). Бірақ, XIX ғ. функциялар теориясының кейбір мәселелері классикалық анализ саласындағы материалдармен тығыз бірлікте баяндалып келді. Борельдің, Бэрдің және Лебегтің еңбектерінде нақты айнымалылар функциясының теориясы n өлшемді евклидтік кеңістіктегі нүктелік жиындар теориясына негізделген ерекше математикалық пән ретінде дербес даму жолына түсіп, мынадай бағыттардағы нәтижелерге қол жеткізілді: Лебег, Данжуа, Перрон және т.б. интегралдарын, әсіресе, Стилтьес типіндегі интегралды енгізу және зерттеу; дифференциалдау бойынша зерттеулерді тереңдету; қатарларды қосындылау әдістерін жасау; функциялардың аса маңызды кластарын, әсіресе жиындардың функцияларын бөліп алу; т.б. ХХ ғ. басында: өлшем мен интегралдау теориясы құрылды (Лебег); функциялар теориясын классикалық көзқарастар тұрғысынан зерттеу жұмыстары жүргізіліп, функциялардың конструктивтік теориясының негізі салынды (Бернштейн); жиындардың дескриптивтік теориясының негізі қаланды (Борель, Лебег, Бэр). ХХ ғ. функциялар теориясында Лузин және оның мектебі (Александров, Урысон, Меньшов, Бари, т.б.) және Серпинский іргелі ғылыми нәтижелерге қол жеткізді. Қазіргі күні функциялар теориясы негізінен, мынадай үш бағытта дамуда: 1) метрикалық функциялар теориясы; 2) дескриптивтік функциялар теориясы; 3)конструктивтік функциялар теориясы. жүктеу/скачать 1,77 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|