2 – апта. Арнайы бинарлық қатынастар
жүктеу/скачать 172,92 Kb.
|
2 лекция (2)
- Бұл бет үшін навигация:
- Теорема 1.25
| Анықтама. Егер реттік типі болатын толық реттелген жиын реттік типі болатын қандай да бір толық реттелген жиынның кесіндісіне изоморфты болса, онда реттік саны реттік санынан кіші () деп аталады.
– ординал сан болсын. Осы ординал саннан кіші барлық ординал сандардың жиынын W() арқылы белгілейік. Теорема 1.25 ординал санынан кіші барлық ординал сандардың жиыны W() жоғарыда келтірілген ординалдардың < реттік қатынасына қарағанда толық реттелген жиын болады. Дәлелдеуі. Анықтама бойынша W() жиыны мен реттік типі кез келген А жиынының хА элементтеріне сәйкес келетін Ах кесінділер жиынымен өзара әрмәнді сәйкестікте болады Ол сәйкестікті f: А→W() арқылы белгілейік. Осы сәйкестік кезінде х<x’ қатынасынан Ах кесіндісі Ах’ кесіндісінің бастапқы кесіндісі болады. Демек =f (x)<=f (x’). Бұл W() жиынында толық ретті анықтайды. Керісінше де дәл осылай, W() жиынындағы толық рет кесінділер жиынындағы толық ретті анықтайды. Анықтама. Сызықты реттелген Х жиынының екі ішкі жиынының пары (А,В) үшін АВ=Х; АВ=; Кез келген хА және уВ үшін х < у. шарттары орындалса, онда бұл пар Х жиынының қимасы деп аталады. Теорема 1.26 Кез келген екі ординал сандар және үшін келесі үш жағдайдың біреуі ғана міндетті түрде орындалады: <немесе = немесе >. Дәлелдеуі. және ординал сандары берілсін. Онда анықтамадан және жоғарыдағы тұжырымнан теореманының дұрыстығын дәлелдейміз. Яғни келесі үш қатынастың біреуі ғана міндетті түрде орындалатынын көрсетеміз: = , < , > . D арқылы W()W() жиынын белгілейік. Бұл жиын толық реттелген. Оның реттік типін арқылы белгілейік. Онда және болатынын дәлелдейміз. Олардың бірін дәлелдесек жеткілікті. Бірінші теңсіздікті дәлелдейік. DW() қатынасы орындалады. Егер D =W() болса, онда – W() жиынының реттік типі, яғни = . Енді DW() болсын. Онда W()=D(W()\D) бөліктеуі W() толық реттелген жиынының қимасы болады. Шынында хD, уW()\D болсын. W() сызықты реттелген болғандықтан х<y немесе у<х. Екінші теңсіздік орындалмайтынын көрсетелік. Өйткені хW() және хW() болғандықтан, х < және х<. Егер у<х болса, онда у< және у<, яғни уD. Қайшылық. Демек, кез келген х D және уW()\D үшін х<у теңсіздігі дұрыс. Демек, қиманың алдыңғы екі шартының орындалатыны айқын болғандықтан, (D,W()\D) пары W() жиынының қимасы болады. Енді < ординалы W()\D жиынының бірінші элементі болсын. Онда осы ординалға сәйкес W() жиынының кесінді D жиыны болады, яғни ординалы D жиынының реттік типі, онда = және <. Тура осылай, теңсіздігін дәлелдейміз. Бірақ, < және < теңсіздіктері бір мезгілде орындалмайды. Кері жағдайда, D қатынасы орын алар еді. Онда ординалы D жиынының бастапқы кесіндісінің реттік типі болады. Бұл ординалын анықтауымызға қайшы. Сонымен төменгі үш жағдайдың бірі ғана міндетті түрде орындалады: = , = . Демек, = ; = , < . Демек, < ; 3. < , = . Демек, < . жүктеу/скачать 172,92 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|