№6 Дәріс Үлестiрiм параметрлерiн статистикалық бағалау

Анықтама. Шартты орташа у _х
деп Х= х мәнiне сәйкес У шамасының

бақыланған мәндерiнiң арифметикалық орта мәнi аталады.

Осы сияқты х _у
шартты орташасы деп У=у мәнiне сәйкес Х шамасының

бақыланған мәндерiнiң арифметикалық орта мәнi аталады.
у _х шартты орташасы Х шамасының бақыланған мәндерiнен тәуелдi, яғни

у _х х-тiң функциясы. Оны
f (x)
деп белгiлесек мына теңдеудi аламыз:

у _х =
f (x)
(1)

Анықтама.

у _х =
f (x)
түрiндегi теңдеу У-тiң Х-ке регрессиясының таңдамалық

теңдеуi деп аталады, ал
f (x)
функциясы У-тiң Х-ке регрессиясының

таңдамалық функциясы деп аталады.
Регрессияның таңдамалық функциясының графигi регрессияның таңдамалық сызығы деп аталады.
Регрессияның сызықтық функциясын қарастыралық.
Сандық белгiлердiң жүйесi (Х,У) зерттелсiн, мұнда Х –факторлық белгi (тәуелсiз кездейсоқ шама), У – қорытындылық белгi (тәуелдi кездейсоқ шама). n тәуелсiз тәжiрибелер нәтижесiнде n сандар жұбы (х₁, у₁), (х₂, у₂), . . . ,(х _n, у_n )

алынды. У-тiң Х-ке регрессиясының теңдеуiн

у _х =
kx  b
түрiнде iздеймiз. У-

тiң Х-ке түзу сызықты регрессиясының бұрыштық коэффициентi У-тiң Х-ке

регрессиясының таңдамалық коэффициентi деп аталады және
^ ух
деп

белгiленедi. Сонымен У-тiң Х-ке түзу сызықты регрессиясының таңдамалық теңдеуi мына түрде болады:

Теңдеудiң


^ ух

^{у х =}  _ух ^{x + b (2)}
және b параметрлерiн «ең кiшi квадраттар принципiн»

қолданып табамыз, оның мағынасы мынада: (2) теңдеу бойынша табылған У

шамасының у_i
мәндерiнiң бақыланған
y_i ^{мәндерiнен ауытқуының квадратының}

қосындысы ең аз (минимум) болуы қажет. Соның қорытындысында мыналарды аламыз:

_{ } ху  х у

, b =



х² у  х  ху _{, мұнда}

n
_x 2
х ²  (х) ²
n
 ^x<sub>i

х </sub> i 1 _,
n
n
x y
х² (х)²
n
 ^y<sub>i

y </sub> i 1 _,
n

^ i ^ i i

_x 2 _ i 1
n
және
xy  ^i1 - орташа мәндер.
n

Осылайша Х-тiң У-ке түзу сызықты регрессиясының таңдамалық теңдеуiн табуға болады:

^{х у = }х у
х  С

Бақылау саны көп болғанда Х- тiң немесе У- тiң бiрдей мәндерi және (х,у) мәндерiнiң жұбы бiрнеше рет бақылануы мүмкiн. х мәнi n_x рет, у мәнi n_y рет, ал (х,у) жұбы n_xy рет бақылансын. Мұндай жағдайда бақылау мәлiметтерiн топтайды және кесте түрiнде жазады да оны корреляциялық деп атайды.
Х және У кездейсоқ шамаларының арасындағы байланыс тығыздығын корреляциялық момент және корреляция коэффициентi көмегiмен сипаттайды.

^{Анықтама. Х және У екi кездейсоқ шамасының корреляциялық моментi}  _ху
деп

осы шамалардың өз математикалық үмiттерiнен ауытқуларының көбейтiндiсiнiң математикалық үмiтi аталады.
 _ху ^{= М{[X – M(У)] [У – М(У)]}}
Анықтама. Х және У екi кездейсоқ шамасының корреляциялық коэффициентi

^rxy
деп корреляциялық моменттiң осы шамалардың орта квадраттық

ауытқуларының көбейтiндiсiне қатынасы аталады.
_{r } ^ xy

xy _{ 
}
Корреляция коэффициентiнiң шамасы кездейсоқ шамалардың өлшем бiрлiктерiн таңдаудан тәуелсiз.
Корреляция коэффициентiнiң абсолют шамасы бiрден артпайтынын көрсетуге болады:
r_xy ^{ 1}

Егер
r_xy  0
болса, онда Х және У кездейсоқ шамалары тәуелсiз болады.

Егер
^rxy
= 1 болса, онда олардың арасындағы байланыс функциональды.

^rxy
коэффициентiнiң басқа мәндерiнде байланыс корреляциялық болады.
Байланыс тығыздығын сапалық бағалау үшiн Чеддок шкаласы

қолданылады:

корреляция коэффициентi таңдамалық корреляция коэффициентi ^r_Т
аталады.
деп

Х және У арасындағы байланыс түзу сызықты болғанда таңдамалық корреляция коэффициентi мына формуламен анықталады:

r_B 


xy  x y

_ xy  x y
 _x  _y

№8 Практикалық жұмыс

Мысал 1. Жұмысшылар саны бірдей болатын бес біртипті фирмада ағымдық жұмыс күшінің және жалақының өзара әсер етуінің талдауы мақсатымен бір жылда У жұмысшылар жұмыстан босатылған саны және Х айлық жалақысының өлшемі өткізілді:

Х	100	150	200	250	300
У	60	35	20	20	15

У-тің Х-ке сызықты регрессиясын және корреляцияның таңдамалық коэффициентін тап.
Шешуі: Есептеу кестесін құрамыз:

і	xi	yi	xi2	xi yi	yi2
1	100	60	10000	6000	3600
2	150	35	22500	5250	1225
3	200	20	40000	4000	400
4	250	20	62500	5000	400
5	300	15	90000	4500	225
	1000	150	225000	24750	5850

ρ және β параметрлерін анықтаймыз:
ρ=[(5·24,75- 150) · 10³]/(5·22,5·10⁴-10⁶)=-0,21;
β= (22,5·10⁴·150-10³·24,75·10³)/(5·22,5·10⁴-10⁶)=72.
Регрессияның таңдамалық теңдеуі мына түрде болады:
y_x  0,21x  72

Есептеу кестесінен



_ x_i y_i  nxy
x  1000 / 5  200 ,
y  150 / 5  30.

^ _ i1
xy _n
формуласы бойынша



 

xy

2
^  (24750-5·200·30)/5=-1050.

^DxT
 x²  (x)² ,
^DyT
 y²  ( y)²
формулалары бойынша
^DxT xT

^DyT
² мәндерін табамыз:

 

YT
^DxT
 22,5 10⁴ / 5  200^{2
 5000} ,
^DyT
 5850 / 5  30²  270

Бұдан
^DxT
 70,7 _,
^DyT

16,4.

Сонда
r_T 
 1050

70,7 16,4

 0,91
болады.

Мысал 2. 50 бір типтес кәсіпорындар үшін тәуліктік өнім шығарылымының У (тонна) негізгі өндірістік қорлардан Х (млн.теңге) тәуелділігін қарастырайық.

Х У	9	10	13	15	n1
10	8	10		18
12	5	5	13	20
20			7	5 12
n і	15	15	20	5	n=50

Ү пен Х арасында сызықты корреляциялық байланыс бар деп жорамал- дап, таңдамалық регрессия теңдеулерін құрыңыз.

Шешуі: барлық шамаларды анықтаймыз.
_{х } 9 10  10 15  13  20  15  5 _{ 11,5}
50


_{у } 10 18  12  20  20 12 _{ 13,2}
50


_{ху } 9  10  18  9  12  2  10  10  10  10  12  5  13  12  13  13  20 7  15  20  5 _{ 157 ,68}
50


_{ 2 } 81 10  100 15  169  20  225  5 _{ 11,52  16,05}

^х _{50
 2 } 100 18  144  20  400 12 _{ 13,22  15,36}

у
^bух
^bху
50


_ 157,68  11,5 13,2 _{ 0,366}
16,05


_ 157,68  11,5 13,2 _{ 0,382}
15,36

r_Т  0,366 
 0,374