Э.А. Бакирова, Н.Р. Муналбаева

25 
 
механикалық  және  химиялық  құбылыстарды  математикалық  модельдеу  кезінде  үш 
нүктелі шеттік дифференциалдық теңдеулер үшін шеттік есептер пайда болады. Мысал 
ретінде  келесі  есептерді    қарастыруға  болады:  жинақталған  массалармен  жүктелген 
серіппенің  тербелістері  туралы  есеп,  шектің  тербелісі  туралы  есеп,  серпінді  жіпке 
ілінген жүктің бойлық қозғалысы туралы есеп, ұшына масса ілінген жіптің айналмалы 
тербелістері туралы есеп, жер сулары мен топырақ ылғалының деңгейін ұзақ мерзімді 
болжау және реттеу туралы есеп және т.б. 
Қазіргі  таңда,  үш  нүктелі  шеттік  дифференциалдық  теңдеулер  жүйесі  үшін 
шеттік  есептерді  зерттеу  дифференциалдық  теңдеулер  үшін  шеттік  есептер 
теориясының  маңызды  мәселелерінің  біріне  айналып  отыр,  оған  себеп  –  табиғат  пен 
қоршаған ортада болып жатқан кӛптеген құбылыстардың математикалық моделін құру 
кезінде аталған есептерді шешуді қажет етеді. Осыған байланысты, дифференциалдық 
теңдеулер үшін үш нүктелі шеттік есебі параметрлеу әдісімен зерттеледі. 
Нақты 
үдерістерді 
модельдеуге 
байланысты 
кӛптеген 
сұрақтар 
дифференциалдық  теңдеулер  үшін  үш  нүктелі  шеттік  есептерді  зерттеу  қажеттілігіне 
алып  келеді.  Тақырыптың  ӛзектілігі  бір  жағынан  ғылым  мен  техниканың  әр  түрлі 
мәселелерін  шешуде  дифференциалдық  теңдеулер  үшін  шеттік  есептер  теориясының 
практикалық 
қосымшаларының 
маңыздылығымен, 
ал 
екінші 
жағынан 
дифференциалдық  теңдеулер  үшін  үш  нүктелі  шеттік  есептерді  шешудің  жаңа  тиімді 
әдістерін құру қажеттілігімен байланысты анықталады. Дифференциалдық теңдеу үшін 
үш нүктелі шеттік есепті шешудің әдістемесі келесідей жүзеге асады. 
]
,
0
[ T  кесіндісінде  дифференциалдық  теңдеулер  жүйесі  үшін  үш  нүктелі  шеттік 
есеп қарастырылады 
),
(
)
(
)
(
)
(
2
0
t
f
x
t
K
x
t
A
dt
dx
i
i
i






  
),
,
0
( T
t

     
,
0
2
1
0
T







     
,
n
R
x

        (1) 
,
)
(
)
(
)
0
(
2
1
1
0
d
T
x
C
x
C
x
C




       
,
n
R
d

                                                     (2) 
мұндағы 
)
(
n
n

 -  ӛлшемді 
),
(t
A
 
)
(t
K
i
 матрицалары, 
2
,
0

i
 және 
n -  ӛлшемді 
)
(t
f
 
вектор-функциясы 
]
,
0
[ T  кесіндісінде  үзіліссіз, 
0
C , 
1
C , 
2
C  - 
)
(
n
n

 -  ӛлшемді  тұрақты 
матрицалар, 
,
max
,
1
i
n
i
x
x


,
)
(
max
)
(
1
,
1






n
j
ij
n
i
t
a
t
A
,
)
(
i
i
t
K


 
.
,
const
i



 
Нормасы   
)
(
max
]
,
0
[
1
t
x
x
T
t


 болатын  үзіліссіз  функциялар 
n
R
T
x

]
,
0
[
:
 кеңістігін 
)
],
,
0
([
n
R
T
C
 деп белгілейміз. 
(1),  (2)  есебінің  шешімі  деп  дифференциалдық  теңдеулер  жүйесін 
қанағаттандыратын  және 
0

t
,   
1


t
, 
T
t

 нүктелеріндегі  мәндері  үшін  (2)  теңдігі 
орындалатын 
]
,
0
[ T
 аралығында  үзіліссіз  дифференциалданатын 
)
(t
x
 вектор-
функциясын айтамыз.  
Дифференциалдық  теңдеулер  мен  оларға  қойылған  шеттік  есептер  [1,2] 
еңбектерінде қарастырылған. Бұрын [3] жұмысында жай дифференциалдық теңдеулер 
жүйесі  үшін  екі  нүктелі  шеттік  есепті  зерттеуге  және  оның  шешімдерін  табуға 
параметрлеу  әдісі  ұсынылған.  Бұл  әдіс  қарастырылған  есептің  бастапқы  терминінде 
бірмәнді  шешілімділігінің  критериін  алуға  және  шешімдерін  табудың  алгоритмін 
құруға  мүмкіндік  берді.  [4]  жұмысында  осы  әдіс  жүктелген  дифференциалдық 
теңдеулер  жүйесі  үшін  екі  нүктелі  шеттік  есепке  дамытылып  және  шешілімділік 
мәселелері зерттелді.  
[5]  жұмысында  (1),  (2)  есебі 
0
1

C
 және  соңғы  шеткі 
T
t

 нүктесі  жүктеу 
нүктесіне кіретін жағдайы  үшін параметрлеу әдісі кӛмегімен зерттелген болатын.  

26 
 
Ұсынылып  отырған  жұмыста    (1),  (2)  есебін  шешуге    арналған  параметрлеу 
әдісінің бір нұсқасы жасалынды және оның  шешімін табудың алгоритмі ұсынылды.  
(1),  (2)  есебіне  параметрлеу  әдісін  қолданайық. 
,
1



r
r
r
h


 
3
,
1

r
 делік. 
Берілген  ,
i

  
2
,
0

i
   жүктеу  нүктелері  бойынша   
]
,
0
[ T  кесіндісін  бӛліктерге  бӛлейік: 
,
)
,
[
)
,
0
[
3
1
1




r
r
r
t
t
T
 мұндағы 
,
0
0
0



t
 
,
1
1


t
  
,
2
2


t
 
T
t


3
3

 және  (1),  (2)  есебінің 
шешімі  болатын 
)
(t
x
   функциясының 
),
,
[
1
r
r
t
t

 
3
,
1

r
 аралығында  сығылуын 
)
(t
x
r
арқылы белгілейік, яғни 
)
(
)
(
t
x
t
x
r

, 
),
,
[
1
r
r
t
t

 
3
,
1

r
. Онда  (1), (2) есебі келесі  пара-пар 
шеттік есебіне келтіріледі 
),
(
)
(
)
(
)
(
1
2
0
t
f
x
t
K
x
t
A
dt
dx
i
i
i
i
r
r







       
)
,
(
1
r
r
t
t
t


,     
3
,
1

r
                 (3)  
  
,
)
(
lim
)
(
)
0
(
3
0
2
1
2
1
1
0
d
t
x
C
x
C
x
C
T
t






                                          (4) 
),
(
)
(
lim
1
2
1
0
1


x
t
x
t



                                                         (5) 
),
(
)
(
lim
2
3
2
0
2


x
t
x
t



                                                         (6) 
мұндағы  (5),  (6)  теңдіктері  ішкі  нүктелердегі  шешімнің  үзіліссіздік  шарты  болып 
табылады.   
Егер 
)
(t
x
 функциясы (1),(2) есебінің шешімі болса, онда 
))
(
),
(
),
(
(
]
[
3
2
1
t
x
t
x
t
x
t
x

 
осы функцияның сығылуларының жүйесі  - (3)-(6) есебінің шешімі болады. Керісінше, 
егер 
))
(
~
),
(
~
),
(
~
(
]
[
~
3
2
1
t
x
t
x
t
x
t
x

 функциялар  жүйесі  -  (3)-(6)  есебінің  шешімі  болса,  онда 
),
(
~
)
(
~
t
x
t
x
r

              
)
,
(
1
r
r
t
t
t


, 
3
,
1

r
, 
)
(
~
lim
)
(
~
3
0
t
x
T
x
T
t



 теңдіктерімен  анықталатын   
)
(
~ t
x
   
функциясы  бастапқы (1), (2) есебінің шешімі болады.  
)
(
1


r
r
r
t
x

, 
3
,
1

r
 белгілеуін  енгізіп  және  де  әрбір   
)
,
[
1
r
r
t
t

 аралықтарында  
,
)
(
)
(
r
r
r
t
x
t
u



 
3
,
1

r
 алмастыруларын  жасасақ,  онда  (3)-(6)  есебі  келесі    параметрі 
бар шеттік есебіне келтіріледі 
),
(
)
(
)
(
)
(
1
2
0
t
f
t
K
t
A
u
t
A
dt
du
i
i
i
r
r
r









    
),
,
(
1
r
r
t
t
t


                         (7) 
,
0
)
(
1


r
r
t
u
          
,
3
,
1

r
                                                             (8) 
       
,
)
(
lim
3
0
2
3
2
2
1
1
0
d
t
u
C
C
C
C
T
t









                                                (9) 
,
)
(
lim
2
1
0
1
1







t
u
t
                                                            (10) 
.
)
(
lim
3
2
0
2
2







t
u
t
                                                            (11) 
(1),  (2)  және  (7)-(11)  есептері  пара-пар  болады.  Егер 
)
(t
x
 функциясы  (1),(2) 
есебінің  шешімі  болса,  онда    келесі 
])
[
,
(
t
u

 жұбы,  мұндағы 
)
,
,
(
3
2
1





, 
)),
(
)
),
(
),
(
(
2
1
0




x
x
x

 
)),
(
),
(
),
(
(
]
[
3
2
1
t
u
t
u
t
u
t
u

 
))
(
)
(
),
(
)
(
),
(
)
(
(
]
[
2
1
0



x
t
x
x
t
x
x
t
x
t
u




 -  (7)  -  (11)  есебінің  шешімі  болады. 
Керісінше,  егер   
])
[
~
,
~
(
t
u

   жұбы,  мұндағы   
),
~
,
~
,
~
(
~
3
2
1





  
))
(
~
),
(
~
),
(
~
(
]
[
~
3
2
1
t
u
t
u
t
u
t
u

,  (7)-
(11)  есебінің  шешімі  болса,  онда 
),
(
~
~
)
(
~
t
u
t
x
r
r



 
),
,
[
1
r
r
t
t
t


 
,
3
,
1

r
  
)
(
~
lim
~
)
(
~
3
0
3
t
u
T
x
T
t





 теңдіктерімен  анықталатын   
)
(
~ t
x
     функциясы    бастапқы  (1),  (2) 
есебінің шешімі болады.  

27 
 
Параметрлерді  енгізу, 
))
(
),
(
),
(
(
]
[
3
2
1
t
u
t
u
t
u
t
u

 белгісіз  функциялар  жүйесінің 
компоненттері үшін  
,
0
)
(
1


r
r
t
u
3
,
1

r
  бастапқы шарттарын алуға мүмкіндік береді.  
(7),  (8)    Коши  есептері  келесі  Вольтерраның  екінші  текті  интегралдық 
теңдеулеріне эквивалентті болады: 















t
t
t
t
t
t
i
i
i
r
t
t
r
r
r
r
r
r
d
f
d
K
d
A
d
u
A
t
u
1
1
1
1
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
1
2
0











,     
).
,
[
1
r
r
t
t
t


    (12) 
Енді  интегралдардың  астындағы 
),
(

r
u
 функцияларының  орнына  (12) 
теңдеулерінің  сәйкес  оң  жақтарын  қойып,  бұл  үдерісті 
,...)
2
,
1
(



 рет  қайталасақ, 
онда 
)
(t
u
r
  функцияларының келесі кейіптемелерін аламыз   
 
),
(
)
,
(
)
(
)
(
)
(
1
2
0
t
F
t
u
G
t
H
t
D
t
u
r
r
i
i
i
r
r
r
r













        
),
,
[
1
r
r
t
t
t


      
,
3
,
1

r
                (13) 
мұндағы 
,
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
1
1
1
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
















d
d
A
A
d
d
A
A
d
A
t
D
t
t
t
t
t
t
t
t
r
r
r
r
r
r


















 











1
2
2
1
1
1
1
1
1
1
)
(
)
(
)
(
)
(








d
d
K
A
d
K
t
H
t
t
t
i
t
t
i
i
r
r
r
r
 
1
2
1
2
1
1
1
1
2
1
1
1
)
(
)
(
)
(
)
(















d
d
d
K
A
A
A
t
t
t
i
t
t
r
r
r
r














, 
,
)
(
)
(
)
(
)
(
)
,
(
1
1
1
1
1
1
2
1















d
d
u
A
A
A
t
u
G
t
t
r
t
t
r
r
r
r












    
.
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
1
1
1
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
















d
d
f
A
d
d
f
A
d
f
t
F
t
t
t
t
t
t
t
t
r
r
r
r
r
r


















 
(13)  теңдеуінен 
)
(
lim
0
t
u
r
t
t
r


, 
3
,
1

r
,  мәндерін  тауып  алып,  оларды  (9),(10),  (11) 
шарттарына      қойсақ  және  (9)  шартының  екі  жағын 
3
h  оң  санына  кӛбейтсек,  онда 
енгізілген 


3
2
1
,
,





 параметрлер үшін келесі теңдеулер жүйесін аламыз. 
)
(
)
,
(
)
(
)
(
3
2
3
3
2
3
3
1
2
0
3
2
3
3
3
2
3
3
2
3
2
1
3
1
0
3
T
F
C
h
T
u
G
C
h
d
h
T
H
C
h
T
D
C
h
C
h
C
h
C
h
i
i
i



















     (14) 
       
),
,
(
)
(
)
(
)]
(
[
1
1
1
1
2
2
0
1
1
1
1
1
1











u
G
F
H
D
I
i
i
i









                               (15) 
            
),
,
(
)
(
)
(
)]
(
[
2
2
2
2
3
1
2
2
0
2
2
2
2











u
G
F
H
D
I
i
i
i









                         (16) 
(14), (15), (16) сызықты теңдеулер жүйесінің сол жағына сәйкес келетін 
)
3
3
(
n
n

-ӛлшемді  матрицаны 
)
(


Q
 деп  белгілейміз.  Онда  (14),  (15),  (16)  сызықты  теңдеулер 
жүйесі келесі түрде жазылады 
),
,
(
)
(
)
(







u
G
F
Q



     
,
3n
R


 (17) 
мұнда, 
)),
(
),
(
),
(
(
)
(
2
2
1
1
3
3
2
3
3








F
F
F
C
h
d
h
F



           
  
))
,
(
),
,
(
),
(
(
)
,
(
2
2
1
1
3
3
2
3








u
G
u
G
G
C
h
u
G

. 
Сонымен,  белгісіз 
)
,
,
(
3
2
1





 параметрлерін  табу  үшін  (17)  сызықты 
алгебралық теңдеулер жүйесін алдық, ал  белгісіз 
))
(
),
(
),
(
(
]
[
3
2
1
t
u
t
u
t
u
t
u

 функцияларын 
(7),  (8)  Коши  есебінен  табамыз.  Енді  (6)  -  (9)  есебінің  шешімі  тӛмендегі  алгоритм 
арқылы  анықталатын 
]),
[
,
(
)
(
)
(
t
u
k
k

 

,
2
,
1
,
0

k
жұптар  тізбегінің  шегі  ретінде 
ізделінеді: 

28 
 

жүктеу/скачать 5,39 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: