Абай атындағы

29 
 
2. Абдуллаев 
В.М.,  Айда-заде  К.Р.  О  численном  решении  нагруженных 
дифференциальных  уравнений  //  Журнал  вычислительной  математики  и 
математической физики. 2004. Т. 44. № 9. С. 1585-1595.  
3. Джумабаев Д.С. Признаки однозначной разрешимости линейной краевой задачи для 
обыкновенного  дифференциального  уравнения  //  Журнал  вычислительной 
математики и математической физики.  1989. Т. 29. № 1. С. 50-66.    
4. Бакирова Э.А. О признаке однозначной разрешимости двухточечной краевой задачи 
для  системы  нагруженных  дифференциальных  уравнений  //  Известия  НАН  РК. 
Серия физико-математическая. 2005. № 1. С. 95-102. 
5.  Бакирова  Э.А.,  Кисикова  Г.С.  Дифференциалдық  теңдеулер  үшін  шеттік  есептің 
шешімін табу алгоритмдері  //Ізденіс. № 1. 2010.  
6.  Усманов  К.И.  Критерий  однозначной  разрешимости  краевой  задачи  для  систем 
интегро-дифференциальных  уравнений  с  нагружениями.  Матем.  журнал.  Алматы. 
2009. Т.5. №4.  С.34-43. 
7.  Бакирова  Э.А.,  Муналбаева  Н.Р.  Жүктелген  дифференциалдық  теңдеулер  үшін 
Үшнүктелі шеттік есептің бірмәнді шешілімділігі туралы// VI Халықаралық ғылыми 
конференция . Ақтӛбе қ.- 2013. 18-22 бб. 
 
 
 
 
ӘОЖ 378.1:53:51(574) 
М.Т. Бекжігітова 
 
АНЫҚТАЛҒАН ИНТЕГРАЛ ЖӘНЕ ОНЫҢ ҚОЛДАНЫЛУЫ 
 
(Алматы қ., Абай атындағы ҚазҰПУ) 
 
Мақалада интегралдардың шығу тарихына шолу жасалған. Анықталған интегралға 
оның  физикалық  мағынасы  тұрғысынан  анықтама  берілген.  Интегралдардың 
механикада қолданылуы қарастырылған. Қолданбалылық мәні бар есептерге мысалдар 
келтірілген.  Қолданбалылық  сипаттағы  есептерді  шешудегі  пәнаралық  білімнің  рӛлі 
ашылған. 
В статье сделан исторический обзор возникновения интегралов. Дано определение 
определенного  интеграла  с  точки  зрения  физического  содержания.  Рассмотрено 
применение интегралов в механике. Приведены примеры задач прикладного значения. 
Раскрыта роль межпредметного знания в решении задач прикладного характера. 
The article provides a historical survey of appearance of integrals. There is a definition of 
the  definite  integral  with  relation  to  its  physical  meaning.  Application  of  integrals  to 
Mechanics  is  considered.  Some  examples  of  applied  problems  are  given.  The  function  of 
interdisciplinary knowledge in solving applied problems is discovered. 
 
Түйін  сөздер:  интеграл,  анықталған  интеграл,  қисық  сызықты  трапеция,  пирамида, 
алғашқы функция. 
Ключевые слова: интеграл, определенный интеграл, криволинейная трапеция, пирамида, 
первообразная функции. 
Keywords: integral, definite integral, curvilinear trapezoid,  pyramid, primitive of a function. 
 
Интегралдық  есептеулердің  тарихына  кӛз  жүгіртсек,  оның  адамзат  қоғамындағы 
түрлі  практикалық  қажеттіліктіліктерді  қанағаттандыруға  байланысты  шыққанын 
түсінуге  болады,  яғни  интегралдық  есептеулер  практикалық  мұқтаждықтан  пайда 
болған  екен.  Атап  айтсақ,  интегралдық  есептеулер  кез  келген  жазық  фигуралардың 
ауданын,  сондай-ақ  кез  келген  дене  бетінің  ауданын  және  кӛлемін  есептеу 

30 
 
қажеттілігінен,  сондай-ақ  механиканың  математикалық  аппараты  ретінде  пайда 
болды 


1 3

.  
«

»  символын  Лейбниц  енгізген  (1675ж.).  Бұл  таңба  латынның  S  әрпінің 
ӛзгерген түрі. Интеграл сӛзін Я. Бернулли (1690ж.) алғаш қолданған (мағынасы-integro 
бұрынғы қалпына түсіру). 
 
b
a
f x dx

 анықталған  интегралының  белгілеуін  енгізген  К.  Фурье  (1768-1830). 
Интегралдық  есептеулер  жӛнінен  кӛптеген  идеяларды  Архимед  болжап  білген.  Он 
жетінші ғасыр математиктері қисық сызықты трапецияны (1-сурет) ұзындығы 
 
f x
-ке 
тең вертикаль кесінділерден тұрады деп түсініп, кесінділердің ауданы ақырсыз аз шама 
 
f x
dx  ауданына  тең  деп    бағалаған.  Сонда  ізделінді  аудан  сол  аудандардың 
қосындысына тең болады деп есептеген: 
 
a x b
S
f x dx
 


. 
 
 
Сурет 1. Қисық сызықты трапеция 
 
Анықталған  интегралдың  қолданбалылық  мәнін  ашу  үшін  әртүрлі  әдістемелік 
әдебиеттерді  пайдаланып,  анықталған  интегралдың  физикада,  құрылыста,  т.б. 
қолданылуына берілген есептерді қарастырайық 


4
6

.  
Алдымен анықталған интегралдың механикада қолданылуын қарастырайық. 
Түзу  бойымен  қозғалыстағы  дененің  уақыттың  барлық  мезетіндегі  қозғалыс 
жылдамдығы берілсін  (мысалы автомобильдің спидометрінің кӛрсетуі). Уақыттың кез 
келген сәтіндегі дененің координатасын білу керек. Яғни, 


1
2
,
t
t t

 уақыт аралығының 
әрбір сәтіндегі 
 
/
х t  белгілі, енді 
 
х t  -н табу талап етіледі.  
   
/
х t
v t

 екені  белгілі.  Мұндағы 
 
х t  функциясы 
 
v t
 функциясының 
анықталмаған интегралы немесе алғашқы образы деп аталады.  
Егер 
 
х t  функциясының  орнына 
 
,
х t
С С const


 функциясын  жазсақ, 
   
/
х t
v t

 теңдігі  ӛзгермейді.  Мұның  мағынасы  мынада:  қозғалысты  кез  келген 
нүктеден бастауға болады. 
Анықталған  интегралды  қарастырайық.  Айталық 
 
v t  қозғалыс  жылдамдығы 


1
2
,
t
t t

 уақыт  кесіндісінде  қарастырылсын.  Дененің  t
a

 нүктесінен  t
в

 нүктесіне 
дейінгі  орын  ауыстыруы 
 
v t  функциясының 
 
,
a в  кесіндісіндегі  интегралы  (немесе 
анықталған  интегралы)  деп  аталады  және 
 
в
а
v t dt

 түрінде  белгіленеді.  Егер 
 
х t  
функциясы 
 
v t  -ң алғашқы функциясы болса, орын ауыстырудың 
   
х в
х а

 -не тең 

31 
 
болатыны  түсінікті,  осыдан 
 
   
в
а
v t dt
х в
х а



 формуласы  шығады.  Бұл  формула 
Ньютон-Лейбниц формуласы деп аталады. Есептер қарастырайық. 
№1.  Дененің  жылдамдығы 
1
v
t


 м/с  формуласымен  берілген.  Дененің 
қозғалыс басталғаннан кейін 10 с ӛткендегі жүріп ӛткен жолын табыңыздар. 
Шешуі:  s  дененің  t мезетте  жүріп  ӛткен  жолы  болсын.  Түзу  сызықты  қозғалыс 
үшін  t  уақыт мезетіндегі 
v
 жылдамдығы деп 
t

 нӛлге ұмтылғандағы 


,
t t
t
 
 уақыт 
аралығындағы 
ор
v
 жылдамдығын айтады: 
0
0
lim
lim
,
,
ор
t
t
s
ds
ds
v
v
v
ds
vdt
s
vdt
t
dt
dt
 
 






 


, демек, 














10
3
10
10
2
3
3
3
0
0
0
3
2 1
2
2
1
1
1 10
1 0
3
3
3
2
2
11
1
11 11 1
23, 7, 23, 7
3
3
t
s
tdt
t
м












 
 

 
Жауабы: 23,7 м. 
Анықталған  интегралдар  құрылыста,  сәулет  ӛнерінде  қолданылады.  Мысал 
келтірейік. 
№3.  Хеопс  пирамидасының  ӛлшемдері:  биіктігі  140  м,  табанының  (квадрат) 
қабырғасы  200  м.  Тастың  меншікті  массасы 
3
2, 5
г
см


.  Құрылыс  материалдарын 
жоғары  кӛтеру  үшін  ауырлық  күшін  жеңетін  жұмыс  істеу  керек.  Осы  жұмысты 
табыңыздар. 
Шешуі 
 
Сурет 2. №3 есепке 
 
Белгілеу енгіземіз (2 сурет): 
,
,
i
ОА Н АВ Н CD a



 
1) 


,
О Н  аралығын  (у  айнымалысының  ӛзгеру  аралығы)  элементар  қабаттарға 
бӛлеміз: 

 
 



1
1
2
1
1
0,
,
,
,...
,
, ...
,
i
i
n
у
у у
у у
у
H


.  Пирамиданың  элементар  қабатының 
биіктігі 
1
i
i
i
у
y
y

 

 болсын.  Осы  қабатты  табанының  ауданы 
i
S
,  биіктігі 
i
у

 

32 
 
болатын  тік  призма  деп  есептейміз.  Бӛліну  нүктелері  арқылы  пирамиданың  табанына 
параллель  жазықтықтар  жүргіземіз.  Осы  қабаттардың  бірін  толтыратын  тасты 
i
у  
биіктікке  кӛтеру  үшін  істелетін  жұмыстың  жуық  түрде  жазылған  ӛрнегін  табу  керек. 
Алдымен  пирамиданы  элементар  қабаттарға  бӛліп,  олардың  бірін  толтыратын  тастың 
массасын  табайық:
i
i
S y


.  Енді  тасты 
i
у  биіктікке  кӛтеру  үшін  істелетін  жұмысты 
табайық: 
i
i
i
i
А
S y y

 

                                                        (1) 
Егер  пирамиданы  табанына  параллель  жазықтықпен  қиятын  болсақ  қима  мен 
табанының 
аудандары 
олардың 
пирамида 
тӛбесінен 
қашықтықтарының 
квадраттарының қатынасындай қатынаста болады. 
2
2
,
i
i
таб
S
H
S
H

 мұндағы 
2
,
таб
i
i
S
а H
H
y



 .  
Сонда, 




2
2
2
2
2
2
i
i
i
i
H
y
a
H
y
S
S
a
H
H



 
                      (2) 
(2) 

(1): 


2
2
2
i
i
i
a
А
H
y
y
H

 


. 
Ізделінді шаманы оның элементтерінің қосындысынан шек ала отырып табамыз:  


2
2
2
3
4
2
4
4
4
2
2
2
2
2
2
2
0
0
6
8
3
2
2
3
4
12
12
H
H
a
a
y
y
y
a
H
H
H
a H
А
y H y dy
H
H
H
H
H






















Сонда, 
2
4
2
2
11
11
25 10
4 10 14 10
1, 63 10 , 1, 63 10
12
A
Дж

 






 
Электр саласында анықталған интегралдың қолданылуына мысалдар келтірейік. 
№4.  Ток  күші 
 
I
I t

 үзіліссіз  функциясымен  берілген.  Ӛткізгіштің  кӛлденең 
қимасы  арқылы  тәжірибе  басталғаннан  бастап  санағанда  ӛтетін  Q  электр  мӛлшерін 
қалай анықтауға болады? 
Шешуі:  Тәжірибе 
 
0, t
 аралығында  ӛтсін.  Осы  уақыт  аралығын  (кесінді)  n 
бӛліктерге  бӛлеміз.  Бӛліну  нүктелерінің  абсциссалары 
1 2
1
. ...,
n
t t
t

,  ал  бӛлінген 
кесінділердің  ұзындықтарын 
1
k
k
k
t
t
t

  
 (
1, 2,...,
k
n

)  түрінде  белгілейміз. 
Кесінділердің ұзындықтары бірдей болмауы мүмкін. Кесінділердің бойынан еркімізше 
k

 (
1, 2,...,
k
n

) уақытын таңдап аламыз. 
k
t

 уақыт мезетіндегі ток күші 
k

 мезетіндегі 
ток күшіндей болады деп есептейміз. Яғни, 


1
,
k
k
t
t

 уақыт аралығы үшін 
 
k
I

 тұрақты 
болып есептеледі. Тұрақты ток үшін ӛткізгіштің кӛлденең қимасы арқылы ӛтетін электр 
мӛлшері  ток  күшінің  осы  токтың  ӛтетін  уақытына  кӛбейтіндісіне  тең.  Осыдан 
k
t

 
мезетінде  жуықтап 
 
k
k
I
t


(
1, 2,...,
k
n

)  электр  мӛлшері  ӛтеді.  Сонда, 
 
0, t
 кесіндісі 
арқылы  ӛтетін  электр  мӛлшері 
 
 
 
1
1
2
2
...
n
n
Q
I
t
I
t
I
t




 
  

 қосындысы 
арқылы  анықталады.  Бұл 
 
I t
 функциясы  үшін 
 
0, t
 кесіндісіндегі  интегралдық 
қосынды  болып  табылады.  Сонымен, 
 
1
n
k
k
k
Q
I
t





.  max
k
t

 нӛлге  ұмтылғанда 

33 
 
кесінділер  саны  шексіз  ӛседі:  n
 
.  Яғни, 


 
max
0
1
lim
k
n
k
k
t
k
n
Q
I
t

 





.  Сонда, 
 
0, t
 
аралығындағы электр мӛлшері 
 
0
t
Q
I t dt


 формуласымен анықталады. 
№4.  Ток  күші 
2
2
3
2
I
t
t

 
 үзіліссіз  функциясымен  берілген.  Ӛткізгіштің 
кӛлденең қимасы арқылы 10 с-та ӛтетін электр мӛлшерін табыңыздар. 
Шешуі: 


10
10
2
3
2
0
0
2
3
2
2
3
2
2
536
3
2
3
Q
t
t
dt
t
t
t



 









, 
2
536
3
Кл
 
  №5. 
е

 нүктелік  зарядының  электр  ӛрісінде 
1
е

 нүктелік  заряды  қозғалып 
келеді. Кулон заңы бойынша кеңістіктегі екі нүктелік зарядтардың ӛзара әсерлесу күші 
1
2
e e
F
r

 формуласы  бойынша  анықталады.  А  және  В  нүктелері  +е  арқылы  ӛтетін 
түзудің бойында орналасқан (3 сурет). 
Шешуі: 
 
Сурет 3. №4 есепке 
 
dr
-ге 
орын 
ауыстырғандағы 
элементар 
жұмысты 
қарастырайық: 
1
2
e e
dA
Fdr
dr
r


. Ал, толық жұмыс : 
2
2
1
1
1
1
1
1
2
2
1
1
2
1
1
1
r
r
r
r
e e
e
e
A
dr
e e
e e
e
r
r
r
r
r
r



























, 
мұндағы 
1
2
e
e
r
r

 ӛрнегі  А  және  В  нүктелерінің  арасындағы  потенциалдар  айырымын 
немесе кернеуді ӛрнектейді. 
Қорыта  айтқанда  анықталған  интегралдар  жаратылыстану  ғылымдарының  түрлі 
салаларында, ӛндірістік, технологиялық мәселелерді шешуде, кӛптеген жобаларды іске 
асыруда,  құрылыс  және  сәулет  ӛнерінде,  инженерлік  және  энергетика  салаларында 
(және  т.б.)  қолданылады  екен.  Сондықтан  бұл  тақырыпты  жан-жақты  меңгеру  аса 
қажет.  Ол  үшін  есеп  шығаруда  пәнаралық,  пәнішілік  байланыстарды  жүзеге  асырып, 

34 
 
салалас  пәндер  бойынша  білімдерімізді  үнемі  жетілдіріп  отыруымыз  қажет.  Осы 
міндетті жүзеге асыруда қолданбалылық  бағыттағы есептерді шешудің мәні зор. 
 
 
1. Кӛбесов А., «Математика тарихы» - А. Мектеп 1966ж. 
2. Собалақов А., «Математика тарихынан» А. Мектеп 1966ж. 
3. Бекжігітова М. Т., Бекжігітова Г. С., Нурсейтова Д. Б. Математика тарихындағы ұлы 
есімдер.-Алматы, 2012 
4. Берман Г. Н., Сборник задач по курсу математического анализа – М.,1985г. 
5.  Плотникова  Л.  А.,  Ершова  Г.  П.,  Земскова  А.  М.,  Рейсгоф  М.  Л.,  Решения  физико-
механических  задач  по  определенным  интегралом  и  дифференциальным 
уравнениям.Свердловск, 1960г. 
6. Каплан И. А. Практические занятия по высшей математике М., 1971г. 
 
 
 
 
ӘОЖ  372.92 

жүктеу/скачать 5,39 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: