2-Тұжырым. Тензорлық көбейтінді бар болады.
Дәлелдеуі. және – сызықты кеңістіктер және – -дің базисі, – -нің базисі болсын. Базисі болатын сызықты кеңістігін қарастырамыз. Әзірге жазылуын мен -ден құралған реттелген жұпты білдіретін символ деп түсіну керек. бейнелеуін базистік векторларда формуласымен анықтап, оны барлық -ге бисызықтылық бойынша жалғастырамыз:
Енді бейнелеуінің және сызықты кеңістіктерінің тензорлық көбейтінді екенін дәлелдейік.
– бисызықты бейнелеу болсын. теңдігі орындалатындай бейнелеуін таңдап аламыз. Онда немесе . Бұл бейнелеуінің біреу ғана екенін көрсетеді, себебі кезкелген сызықты бейнелеу базистік векторлардың образдары арқылы бірмәнді анықталады. Әрі қарай, бейнелеуін сызықты кеңістігінің базистік векторларында формуласымен анықтап, оны бүкіл сызықты кеңістігіне сызықтылық қасиет бойынша жалғастырамыз. -тің ізделінді екеніне оңай көз жеткізуге болады:
2-Тұжырым дәлелденді.
Салдар. .
Тензорлық көбейтіндіні сызықты кеңістіктердің кезкелген ақырлы жиынтығы үшін анықтауға болады. Атап айтқанда, егер – сызықты кеңістіктер болса, онда олардың тензорлық көбейтіндісі деп жұбын айтады, мұндағы – сызықты кеңістік, , – келесі қасиетті қанағаттандыратын n-сызықты (әрбір аргументі бойынша сызықты) бейнелеу: кезкелген n-сызықты бейнелеуі үшін теңдігі орындалатындай бір ғана
сызықты бейнелеуі бар болады.
3-Тұжырым. Келесі канондық изоморфизмдер орындалады:
1) , мұндағы – барлық бисызықты бейнелеулердің жиыны;
2) ;
3) ;
4) егер болса, онда ;
5) егер болса, онда (дербес жағдайда, егер болса, онда );
6) .
Достарыңызбен бөлісу: |
