Алдабергенов а. К. М а т е р и а л д а р к е д е р г

 
12 
    1.7 – суретінде көрсетілген  арқалық  қимасының  екі  күштен  пайда  
болатын  иілу  мөлшері  
Δ
i 
( Р
1,
 Р
2
) – ны  әр  күштерден: P
1 
– нен –
 Δ
i 
(Р
1
)  
және   Р
2 
–
 дан 
–
Δ
i 
(Р
2
)  пайда  болатын  иілу  мөлшерлері  қосындысы  
ретінде  анықтауға  болады,  яғни
  
                    
Δ
i 
( Р
1,
 Р
2
)  =  Δ
i 
(Р
1
) + Δ
i 
(Р
2
)
                                    (1.5) 
 
Тарау  соңында  ерекше  көңіл  аударатын  түсініктерді  келтіріп  жіберейік: 
1.
 
Бірлік  ауданшаны  шартты  нүкте (нүкте) деп  түсінетін  болайық. 
2.
 
Шартты  нүктедегі (нүктедегі)  ішкі  күшті  кернеу  деп  атайық  (p, σ  
жәнеи 

).       
3.
 
Ішкі  күштер  деп  бойлық  күш N,  жанама  күштер  Q
Y
, Q
Z
,  бұралу  
моменті M
X
,  ию  моменттері M
Y   
және  M
Z
 – ді  түсінейік.
.
 
4.
 
 Кез  келген  ауданшаны (қиманы)  осы  ауданшаның  перпендиулярының  
атымен  атайтын  болайық. 
5.
 
Элемент  осьін  әрқашанда  х деп  белгілейтін  болайық. 
.
 
Өзіндік  дайындалуға  арналған  сұрақтар 
1.Ғимараттарға  қойылатын  талаптарды  атаңыз.     
2.Беріктік, қатаңдық  және  орнықтылық  деген  түсініктерге  анықтама  беріңіз. 
3. «Материалдар  кедергісі» пәніне  анықтама  беріңіз.  
4.Элемент өлшемдерін үлкейту оның  беріктігін әрқашанда қамтамасыз ете  ме?  
5. Элемент  типтарын  атаңыз.  
6. Стержень (түзу  және  қисық  сызықты), пластина,  қабықша,  массив   деген  
түсініктерге  анықтама  беріңіз. 
7. Ғимараттың  есептік  сүрбесі  деген  не?
 
8.Есептік  сүрбеде  негізгі  деректер  қалай  келтіріледі?  
     9.Материал  қасиеттеріне  қатынасты  алынған  жорамалдарды  атаңыз. 
 
10. Беттік  күштердің  түрлерін  атаңыз. Олардың  өлшем  бірлігі. 
 
11.Таралған  күштің  қарқындығы  q  Н/м (Н/м
2
)  деген  ұғымды  қалай  
түсінесіз?  
     12. Бірқалыпты  таралған  күштердің  қортынды  күшін  табыңыз (мысалда  
көрсетіңіз).  
13. Бірқалыпты  таралған  күштердің  «0» нүктесіне  қарағандағы  моментін  
табыңыз (мысалда  көрсетіңіз).
 
14. Ішкі күштер  деген  түсінікке  анықтама  беріңіз. 
15.  Қима  әдісінін  қалай  қолданады?
  
16.  Кернеу  дегеніміз  не? Түрлерін  атаңыз.  
17. Орын  ауыстыру  немесе  деформация   деген  түсініктер  қай  жағдайда  
қолданылады? 
 
18. Қарапайым  деформация  түрлерін  атаңыз. 
 
19. «Материалдар  кедергісінің » негізгі  жорамалдарын  атаңыз.
 
 
20. «Материалдар  кедергісінің » негізгі  қағидаларын  атаңыз. 
 
 
 
 
 

 
13 
2 – Тарау  
 
Жазық  қималардың  геометриялық  сипаттамалары 
Келешекте    қарапайым    деформация    түрлерін    қарастырғанда,  
кернеулерді  (деформацияларды)    анықтағанда    қиманың    ауданынан    басқа    да  
геометриялық    сипаттамалары:  статикалық    моменті,  осьтік    және    өрістік  
инерция  моменттері, центрден  тепкіш  инерция  моменті, осьтік  және  өрістік  
кедергі  моменттері, инерция  радиусы  деген  түсініктер  кездеседі. 
     Ерекше  ескертетін  мәселе,  аталған  геометриялық  сипаттамалар  нақты  
осьтер  үшін  анықталады  және  осы  осьтердің  орнына  тәуелді  болады. 
 
2.1.  Ауданның  статикалық  моменттері 
  Элементтің  кез  келген  қима  түрін  қарастырайық (сурет 2.1). 
 
 
 
                
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
                     Сурет. 2.1.                                                           Сурет. 2.2.                                                        
     
   Жалпы  қима    кішкене  dА элементтерінің   ауданшалары  қосындысынан  
тұрады  делік. Әр  элементтің  ауданшасының  оське  дейінгі  ара  қашықтыққа  
көбейтіндісі  оның  осы  оське  қарағандағы статикалық  моменті  деп  аталады.  
Осы  элементтердің  статикалық  моменттерінің  қосындысы  жалпы  қиманың  
осы  оське  қарағандағы  статикалық  моментін  анықтайды  
                                  S
z
  
= 

А
y dA  немесе     S
y
  
= 

А
 z  dA                               (2.1) 
   Cтатикалық   моменттің  өлшем  бірлігі  см
3
  және  т. т. 
   Осьтердің  орнына  байланысты  статикалық  момент  оң  таңбалы,  сол  
таңбалы  және  нөлге  тең  шамалар  болуы  мүмкін. 
      Статикалық  момент  нөлге  тең  болатын  осьті  центрлік  ось дейді.  Олай  
болса,  ауданның  центрлік  оське  қарағандағы  статикалық  моменті  әрқашан  
нөлге  тең. 
    Ауданның  аурлық  центрі  белгілі  болған  жағдайда,   оның  кез  келген  z 
осіне  қарағандағы  статикалық  моменті  төмендегі  кейіптемемен 
анықталаты нын  дәлелдеуге  болады: 

 
14 
                                 
S
z
    =  y
c
  A
,  сол  сияқты,    
S
y
  = z
c
  A.
                      (2.2) 
     Керісінше, (2.2) – ден  кез  келген  қиманың  ауырлық  центрінің  
координаталарын  анықтайтын  кейіптемелер  табылады: 
 
 
 
                                                    
                                                                     
 
                                  
у
c
 
  
= 
A
S
z
 ,  сол  сияқты      
z
c
 
  
=  
A
S
y
.                         (2.3)    
    Күрделі  қиманың ( n  қарапайым  фигуралардан  тұратын)  ауданы  мен  
статикалық  моменті,  оның  әр  фигурасының  ауданы  мен  статикалық  моменті  
қосындылары  ретінде  табылады: 
                                   
S
z
   =  у
1
 А
1
  +  у
2
 А
2
 + …  +  у
n
 А
n
; 
                               А  =  А
1
 +  А
2
 + … А
n
.
 
    (2.1)  интегралын  есептеу  жолын  көрсетейік.  Мысал  ретінде  үшбұрышты  
қиманы  қарастырайық (сурет 2.3). Суреттен  байқаймыз, элементарлық  ауданша 
(шабақталған) тең: 
                                                dA  = b
1
  dy.
                                              (2.a) 
 
                       
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
 
Сурет. 2.3. 
Үшбұрыштар  сәйкестігінен  алынады: 
                                                 
b
1
 = 
h
b
(h – y).
                                                   (2.б) 
  (2.а)  мен  (2.б) – ны   (2.1)  кейіптемесіне  енгізіп,  оны   у  аргументінің  өзгеру  
шектері  0 – ден  h – қа  дейін  интегралдасақ,  табылады: 
                                                                                
                                  
S
z
  =  

h
0
y 
h
b
 (h – y)  dy  = 
6
2
bh
.                                 (2.в)   
  Үшбұрыштың  ауданы   
А = 
2
1
 b h  және
   (2.в)  мен  (2.г)  кейіптемелерін  
ескеріп, (2.3) – тен  үшбұрыштың  ауырлық  центрінің  ординатын  табамыз: 
                                                   
у
c
  =
  
3
h
 .                                                           (2.д)  
 

 
15 
     2.2.  Ауданның  осьтік  және  өрістік   инерции  моменттері 
      Әр  элемент  ауданшасының    оське    дейінгі    ара    қашықтықтың    квадратына    
көбейтіндісі    оның    осы    оське    қарағандағы    инерция    моменті    деп    аталады.  
Барлық    dA    элеметтерінің    инерция    моменттерінің    қосындысы    жалпы  
қиманың  осы  оське  қарағандағы   инерциялық  моментін  анықтайды: 
                                        
 
                                 
I
z
  =   

А
y
2
 dА  немесе  I
y  
= 

А
z
2
 dA
                           (2.4)  
      Әр  ауданшаның    нүктеге  (полюске)  дейінгі  ара    қашықтықтың    квадратына    
көбейтіндісі    оның    осы    нүнтеге  қарағандағы  өрістік    инерция    моменті    деп  
аталады.  Барлық   ауданшалардың   өрістік  инерция моменттерінің  қосындысы  
жалпы    қиманың    осы    нүктеге    қарағандағы    өрістік    инерциялық    моментін  
анықтайды: 
                                                           
 
                                                  
Iρ   = 

А
ρ
2
  dA
                                                       (2.5) 
     Суреттен  байқаймыз,  ρ
2
  =  x
2
  +  y
2
.  Осы  өрнекті  (2.5) – ке  қойсақ, шығады:
 
                                                
Iρ = I
z
  + I
y
                                                                                                      
(2.6)                     
                                  
      
  Осьтік  және  өрістік  инерция  моменттерінің  өлшем  бірліктері см
4
  және  т.т.                                                                                                                                                                                                                 
  Айта  кетелік, осьтік  және өрістік инерция  моменттері  әрқашан  оң  таңбалы  
шамалар.  
    Күрделі    қималар    үшін    олар    қиманы    құрайтын    фигуралардың    инерция  
моменттерінің  қосындысы  ретінде  анықталады. 
 
2.3. Ауданның  центрден  тепкіш  инерция  моменті   
     Әр ауданшаның  осьтерге  дейінгі  ара  қашықтықтарға  көбейтіндісі  оның  
осы  осьтерге  қарағандағы центрден  тепкіш  инерция  моменті  деп  аталады.  
Барлық  dA  ауданшаларының  центрден  тепкіш  инерция   моменттерінің  
қосындысы  жалпы  қиманың  осы  осьтерге  қарағандағы  центрден  тепкіш  
инерция  моментін  анықтайды : 
                                             I
zy
  =  

А
z  y  dA
                                                  (2.7) 
    Осьтердің  орындарына  байланысты  центрден  тепкіш  инерция  моменті  оң  
таңбалы,  сол  таңбалы  және  нөлге  тең  шамалар  болуы  мүмкін. Өлшем  бірлігі 
см
4
  және  т.т. 
     Центрден  тепкіш  инерция  моменттері  нөлге  тең  болатын  осьтерді  
ауданның  бас  осьтері  дейді. Егер  бұл  осьтер  ауданның  ауырлық  центрі  
арқылы  өтетін  болса,  олар  ауданның  центрлік  бас  осьтері  деп  аталады.  
Олай  болса,  бас  осьтерге  қарағандағы  центрден  тепкіш  инерция  моменті  
әрқашан  нөлге  тең  болады. 
      Ерекше  көңіл  аударатын  мәселе,  қиманың  симметриялық  осьі  әрқашан 
бас  осьтердің  біреуі  болып  саналады.  
      Сондықтан, кез  келген  осьтердің  бірі  қиманаң  симметриялық  осьі  болса, 
осы  осьтерге  қарағандағы  центрден  тепкіш  инерция  моменті  қашанда  нөлге  
тең  болады.      
      Бас  осьтерге  қарағандағы  инерция  моменттері  ауданның бас  инерция  
моменттері  деп  аталады.    

 
16 
      Күрделі  қималардың центрден  тепкіш  инерция  моменттері  оны  
құрайтын  қарапайым  фигуралардың  центрден  тепкіш  инерция  моменттерінің  
қосындысына  тең  болады.  
                                                     
 
             2.4.  Ауданның  кедергілер  моменттері  мен  инерция  радиустары 
    Қатынас  (сурет 2.1):                    
                
        
                  
z
z
W
y
I

max
          
y
y
W
z
I

max
.
                                                            
(2.8)
 
ауданның  z  және  y  осьтеріне  қарағандағы  кедергілер  моменті  (осьтік  
кедергілер  моменті)  деп  аталады.   
     Қатынас:                                                
                                                    



W
I

max
                                                                                                   
(2.9)            
                                           
 
ауданның  өрістік  кедергілер  моменті деп  аталады.                                                                                                                                
          
   
  Осьтік  және  өрістік кедергілер моменттерінің өлшем бірліктері см
3
 және  т. т.       
(2.8)  пен  (2.9) – дағы   у
max
,    
z
max
 ,  
ρ
max
  --  
берілген  осьтен  немесе  полюстан  
ауданның  ең  алыс  жатқан  нүктесіне  дейінгі  ара  қашықтықтар. 
 Өрнектер:   
                                            
z
z
i
A
I

                     
y
y
i
A
I

                                                                     
(2.10) 
ауданның  z және y осьтеріне  қарағандағы  инерция  радиустары  деп аталады..  
     Ерекше  айта  кететін  мәселе: 
1.
 
Күрделі  қиманың  кедергілер  моменті  мен  инерция  радиусын жеке  
фигуралардың  кедергілер  моменті және инерция радиусы  қосындысы  
ретінде  анықтауға  болмайды. 
2.
 
Егер  қима  бір  оське  қарағанда  симметриялы  болмаса,  кедергілер  
моментін  екі  шеткі  нүктелер  үшін  есептейді.        
 
2.5. Қарапайым  фигуралардың  инерция  моменттері 
 (2.4)  интегралын  есептеуді  тік  төртбұрыш  мысалында  көрсетейік  (сурет 2.4).  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
                                                          Сурет 2.4 
 

 
17 
      Элементарлық  dА  ауданшаны  (шабақталған) қалыңдығы  шексіз  кіші  dy 
– ке  тең  төртбұрыш  ретінде  алайық. Онда  оның  ауданы: 
                                                       
dA  = b  dy
.                                                   (2.е) 
      Центрлік  z  осьіне қарағандағы  инерция  моментін  анықтау  үшін (2.е) – ні   
(2.4) – ке  енгізейік. Сол  өрнекті  у аргументінің  өзгеру  шектері (– 0.5h) – тан      
(+ 0.5h) – қа  дейін  шамасында  интегралдасақ,  табылады: 
         
I
z
   =


h
h
5
,
0
5
,
0
 b y
2
  dy   =    
12
3
bh
 ,    сол  сияқты,     
I
y
    =   
12
3
h
b
.            (2.11)    
      Тік  төртбұрыштың  кедергі  моменттері  (2.8) былай  анықталады: 
W
z
 = 
6
2
12
2
3
max
bh
h
bh
y
I
z


,
  сол  сияқты,      
W
y 
 =
  
6
2
h
b
 
     Тік  төртбұрыштың  басқа  геометриялық  сипаттамалары  тең:  A =  bh;  
 I
zy
 = 0  ( z   и  у  қиманың  симметриялық  осьтері)   
        Дәлелдеусіз  басқа  да  фигуралардың  центрлік  осьтеріне  қарағандағы  
инерция  моменттерін  келтірейік: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
                           
                    Сурет 2.5                                                     Сурет 2.6 
   
 
– тік  бұрышты  үшбұрыш  (сурет 2.5): 
                       
 
                 
I
z
  =  
36
3
bh
;     I
y
  =  
36
3h
b
;      W
z
  =  
24
2
bh
 ;        W
y
 =  
24
2h
b
;    
                                А = bh / 2;     I
zy 
 =  –   
72
2
2
h
b
                                        (2.12)      
Аса  көңіл  аударатын  жер,  (2.11) және (2.12)  кейіптемелерде қиманың  оське  
параллель  қабырға өлшемі  әрқашан  бірінші  дәрежеде  тұрады.  
–  шеңбер     
               
I
z
  = I
y
  = 
4
4
R

;    Iρ = 
2
4
R

 ;    W
z
 = W
y
 =
4
3
R

;    Wρ = 
2
3
R

;
 
                                 A =  π  R
2 
;   I
zy  
=  0
.                                              (2.13)
 
                          

 
18 
–  жарты  шеңбер  (сурет 2.6): 
       
I
z
   = 


72
)
64
9
(

   =  0,11R
4
;     I
y
   = 
8
4
R

;    I
zy
 = 0;   A = 
2
2
1
R

.       (2.14) 
        (2.7)  интегралын  есептеуде  принципті  қыйыншылықтар  кездеспейді.  
Сондықтан (2.12) – де  тік  бұрышты  үшбұрыштың (сурет 2.5) центрлік  z  және 
y осьтеріне  қарағандағы  центрден  тепкіш  инерция  моментінің  (2.7) – ден   
алынған   соңғы  нәтижесі  кетірілген,  яғни:                                                                                                                           
                                            
I
zy    
= –  
72
2
2
h
b
 .                                                  (2.15)
 
      Прокаттық  пішіндердің  центрлік  осьтерге  қарағандағы центрден  тепкіш  
инерция  моменттері  өзіндік  жеке  кейіптемелермен  анықталады. Мысалы, 
тең  қабырғалы  бұрыштамалар  үшін  (сурет 2.7)  z  және  y  осьтеріне  
қарағандағы  центрден  тепкіш  инерция  моменті  тең: 
 
 
 
                    Сурет 2.7.                                                           Сурет 2.8. 
                                               
 
                                     
 I
zy
  =
2
min
max
I
I

 sin2α
                                                   (2.16) 
       Мұнда  бұрыштың  шамасы  α = 45º. Оның  таңбасын  анықтағанда  v осьін  
z    осьіне  қарай  айналдыру (бұру)  қажет  екенін  ескертеміз. Егер  айналдыру  
сағат  тілі  қарсы  бағытта  жүргізілсе,  бұрыш  оң  таңбалы  деп  есептеледі.  
Біздің  жағдайда  ол  сол  таңбалы. 
      Тең  қабырғалы  емес  бұрыштама  үшін (сурет 2.8) z  және  y  осьтеріне  
қарағандағы  центрден  тепкіш  инерция  моменті  тең: 
 
                                    
I
zy
  =  tg α  (I
min
 –  I
z
)
                                               (2.17)  
                                
     α  бұрышының  таңбасын  анықтау  үшін  u  осьін  z  осьіне қарай  айналдыру  
қажет. Қарастырылып  отырған  бұрыштама  үшін  жоғарыда  келтірілген  
ережеге  сәйкес  α  бұрышы  оң  таңбалы,  яғни  tg α  оң  таңбалы  шама. 
       (2.16)  пен  (2.17) кейіптемелеріндегі   I
max  
= I
v,
      I
min
  = I
u, 
     tg α  және    I
z     
шамалары  сортаментте  келтіріледі. 
       Нақты есептер  шығарғанда мына  ережені  де  қолдануға  болады: 
үшбұрыш  пен  бұрыштамалардың  тік  бұрыштары  екінші  және  төртінші  
квадрантта  орыналасса,  олардың  қарастырылып  отырған  осьтерге  
 
 

 
19 
қарағандағы  центрден  тепкіш  инерция  моменттері  әрқашан  оң  таңбалы,  
ал  бірінші  және  үшінші  квадрантта  орыналасса –      сол  таңбалы болады. 
                                                                       
 
 
2.6. Ауданның  параллель  осьтерге  қарағандағы 
 инерция  моменттері 
zy  және  nt  параллель  осьтер  жүйесін  қарастырайық.  Мұнда  z және y    
центрлік  осьтер (сурет 2.2). 
   Суреттен  байқаймыз,  элементарлық  ауданшаның осы  осьтердегі  
координаталары  бір – бірімен   төмендегідей  байланыста  болады: 
                                   
n = z + b   және   t = y + a
                                      (2.ж)    
    (2.ж) – ны   (2.4)  және  (2.7)  кейіптемелеріне  енгізсек,  табылады: 
                
I
n
  =  

А
 t
2
 dA  =  

А
(y + a)
2
 dA  = I
z
  + A a
2
; 
 
              I
t
   = 

А
 n
2
 dA =  

А
(z + b)
2
 dA  = I
y
  + A b
2
; 
              I
nt
 = 

А
n t dA  =  

А
(y + a) (z + b) dA = I
zy
 + A a b.
         (2.18)
 
 (2.18) кейіптемесін шығарғанда центрлік  осьтерге  қарағандағы  статикалық  
моменттердің  нөлге  тең  болатыны  ескерілген. 
       
 
 
2.7. Ауданның  бұрылған  осьтерге  қарағандағы  
 инерция  моменттері 
    zy  осьтерін  α  бұрышына  бұрудан  алынған  кез  келген  nt осьтерін   
қарастырайық (сурет 2.9).  Жоғарыда  айтылғандай,  бұру  сағат  тіліне  қарсы  
бағытта  жүргізілсе  α  бұрышы  оң  таңбалы  болады. 

жүктеу/скачать 4 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: