Алдабергенов а. К. М а т е р и а л д а р к е д е р г

 
31 
      Статикалық  анықталған  жүйелерді  есептеуді мысалдарда  көрсетейік. 
   Мысал 3.1.   (3.4.а) – суретінде  келтірілген  сатылы  брус  үшін  қажет: 
1)
 
брустың  әр  аралығындағы  бойлық  N  күштерін  тауып,  оладың  
эпюрасын  тұрғызу,  егер  Р
1  
= 150 кН,  Р
2
 = 250 кН; 
2)
 
брустың  әр  аралығындағы σ тік  кернеулерін  тауып,  оладың  эпюрасын  
тұрғызу,  егер  А
1
 = 10 см
2
,  А
2
 =  8 см
2
; 
3)
 
брустың  беріктігін  тексеру, егер  [σ] = 160 МПа = 16000 Н/ см
2
. 
4)
 
берілген  n – n  қимасының  орын  ауыстыру  шамасын  табу. 
 
    
Шешім 
     Берілген  сатылы  брусты аралықтарға  бөлейік.  Күш  түсірілген  нүктелер  
мен  қима  өзгерген  орындар  аралықтың  шеттері  болып  есептеледі.  Әр 
аралық  жеке  қарастырылады. 
                                                        
                                                    
 
Сурет.3.4. 
 
                                                    1)  Бойлық  күштерді  табу 
 
  I – ші  аралық  (0 < x  < 2м) 
х  ара  қашықтығында  жатқан  а – а  қимасын  жүргізіп  (сурет 3.4.б),  брустың  
төменгі  бөлігін  қарастырайық. Жоғарғы  бөліктің  төменгі  бөлікке  әсерін  
ішкі N  күшімен  көрсетейік. Ішкі  күшті  әрқашан  қимадан  тыс  бағыттаймыз.  
Сонда  бөліктің  тепе – теңдік  шарты  былай  жазылады: 
                      Σ Х = 0      N +  Р
1
 = 0,  осыдан   N =  – Р
1
 = –  150 кН. 
       Бұл  өрнектен  болық  күш   N – нің    х – ке  тәуелсіз,  яғни  аралық  
бойында  тұрақты  шама  екенін  байқаймыз. Салу  осьін  таңдап  алаып (сурет 
3.4.д),  а – а  қимасының  қарсысына,  осьтің  кез  келген  жағына  бойлық  күш  
 

 
32 
N = – 150 кН (сол  жағына)  шамасын  саламыз. Аралықтың бойында  N 
тұрақты  болғаннан  кейін (өрнектк  х  жоқ) басқа  қималардың  қарсысына  да  
осы  шамалар  салынады. Осы  нүктелерді  сызықпен  қоссақ,  оське  параллель  
түзу  шығады.  Сүйтіп,  аралықтағы  бойлық  күш  эпюрасы  алынады.  Осы  
сияқты  қалған  аралықтарда  да  бойлық  күштер  анықталады.                          
 
 II – ші  аралық  (0 < x  < 0,8м) 
    b – b  қимасы.  Тепе – теңдік  теңдеу  былай  жазылады (сурет 3.4.в): 
                      Σ Х = 0       N +  Р
1
 = 0,  осыдан   N = – Р
1
 = –  150 кН. 
 
III – ші   аралық  (0 < x  < 0,9м) 
 с – с   қимасы.  Тепе – теңдік  теңдеу  мына  түрге  келтіріледі  (сурет 3.4.г):    
            Σ Х = 0      N +  Р
1 
–  Р
2
 = 0,  осыдан   N = – Р
1
 + Р
2
  = + 100 кН. 
      Бойлық    күштердің    осы    мәндерін    әр    аралықта  осьтен    салып,  жалпы  
сатылы  брус  үшін  N  эпюрасын  аламыз  (сурет 3.4.д).                                       
 
2) Тік  кернеулерді  табу 
      Осьтік  созылуда  тік  кернеулер (3.2)  кейіптемесімен  анықталады.  Осы  
кейіптемені  әр  аралыққа  қолданайық. 
 
                                              I – ші  аралық  (0 < x  < 2м) 
                                    σ  =  
10
150000


A
N
 =  –  15000 Н  / см
2
     
                                                  
                                             II – ші  аралық  (0 < x  < 0,8м) 
                                    σ  =  
8
150000


A
N
 =  –  18750 Н  / см
2
     
                                                          
                                            III – ші  аралық  (0 < x  < 0,9м) 
                                    σ  =  
8
100000


A
N
  =  +  12500 Н  / см
2
          
           Әр  аралықта тік  кернеулердің  осы  мәндерін  жаңа  салу  осьініен      
салып,  жалпы  брус  үшін  σ  эпюрасын  аламыз  (сурет 3.4.е). 
 
     3)  Брустың  беріктігін  тексеру 
      Әр  аралықтардағы  тік  кернеулер  шамаларын  мүмкіндік  кернеумен  
салыстырып, (абсолют  шамаларын, үйткені   материал  созылуға  және  
сығылуға  бірдей жұмыс  істейді  деп  есептейміз) брус  аралықтарының  
беріктігі  туралы  тұжырым  жасаймыз.  Мысалы,   I – ші  және  III – ші  
аралықтарда  кернеулер  – 15000 Н  / см
2   
және
    
+ 12500 Н  / см
2 
 –  ге  тең
 
, яғни   
мүмкіндік  кернеуден  кіші. Олай  болса ,  бұл  аралықтардың  беріктігі  
қанағаттандырылған. II – ші аралықта  кернеу – 18750 Н  / см
2
 –  ге  тең,  яғни  
мүмкіндік  кернеуден  көп.  Сондықтан,  бұл  аралықтың  беріктігі  
қанағаттандырылмаған. 
 
 
 

 
33 
4)  Қиманың  орын  ауыстыру  шамасын  табу 
     Нақты  аралықтың  деформациясы  (3.5)  кейіптемесімен  анықтадады.  
Суреттен  байқайтынымыз,  берілген  n – n қимасынан  қатаң  бекітпеге  дейінгі  
брус  бөлігі  үш  аралықтан  тұратыны:  бұрынғы  III – ші  және  II – ші , тағы  
да  IV – ші.  (3.5)  кейіптемесін  әр  аралыққа  қолданайық. 
 
                                                 III – ші  аралық   (0 < x < 0,9м) 
Δ
L
3
 =  
8
10
2
90
100000
7





EA
NL
 =  + 0,05625 см 
                                                                           
      
 
                                                 II – ші  аралық   (0 < x < 0,8м) 
Δ
L
2
 = 
8
10
2
80
150000
7





EA
NL
  =  – 0,07500 см 
                                                                       
      
 
                                                IV – ші  аралық  (0 < x < 0,7м) 
Δ
L
4
 = 
10
10
2
70
150000
7





EA
NL
 =  – 0,05250 см 
 n – n  қимасының  қатаң  бекітпеден  орын  ауыстыру  шамасы  осы  үш  
аралықтың  деформациялар  қосындысына  тең  болады:  
        Δ  =  
Δ
L
 3  
+
   Δ
L
2   
+
 
 Δ
L
4    
=  + 0,05625 –  0,07500 –  0,05250 = – 0,07125 см. 
     Минус  таңбасы  қарастырылып  отырған  бөліктің  сығылатынын  көрсетеді.  
Олай  болса,  n – n  қимасы  жоғары  жылжыйды. 
 
     
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
34 
Өзіндік  жұмыс  тапсырмаларының  варианттары 
 
 
Ескерту: 
1. Студенттің  шифры  үш  саннан  тұрады –  үшіншісі  вариант  номерін, 
екіншісі –  № 2 кестенің  жолын,  біріншісі –  № 1  кестенің жолын  көрсетеді 
2. Суретте  стерженьнің  көлденең  қимасының  ауданы  F  деп  белгіленген. 
 
 
                              Кесте № 1                                              Кесте № 2 
                                                                                                                               
Жол 
№ 
А, 
см
2 
Р, 
Н 
а, 
м 
1 
11 
1100  2,1 
2 
12 
1200  2,2 
3 
13 
1300  2,3 
4 
14 
1400  2,4 
5 
15 
1500  2,5 
6 
16 
1600  2,6 
7 
17 
1700  2,7 
8 
18 
1800  2,8 
9 
19 
1900  2,9 
0 
20 
2000  3,0 
    
 
 
 
 
 
 
Жол 
№ 
 
в, 
м 
с, 
м 
1 
2,1 
1,1 
2 
2,2 
1,2 
3 
2,3 
1,3 
4 
2,4 
1,4 
5 
2,5 
1,5 
6 
2,6 
1,6 
7 
2,7 
1,7 
8 
2,8 
1,8 
9 
2,9 
1,9 
0 
3,0 
2,0 

 
35 
Мысалр 3.2. Кронштейінге  Р = 20 кН  жүгі  түсірілген  (сурет 3.5). Қажет: 
1)
 
стерженьдердегі  бойлық  күштер  мен  кернеулерді  анықтау, егер 
              A
1
 = 5см
2
,    А
2  
= 8 см
2
,    а  = 120 см,    α = 30
о
,    Е = 2 · 10 
7 
Н / см
2
; 
2)
 
нүктенің  жаңа  орыны С
1
 табуып, оның  горизонталь  және  вертикаль  
орын  ауыстыру  шамаларын  анықтау.          
 
 
 
Сурет 3.5.   
 
Шешім 
1) Бойлық  күштер  мен  кернеулерді  анықтау 
    Қима  әдісін  қолданып,  С  түйінін  қиып  алайық  та,  оның  тепе – теңдік  
күйін  қарастырайық. 
         N
1   
және  N
2  
бойлық  күштерін  қимадан  тыс  бағыттайық. Барлық  
күштер  бір  С  нүктесінде  қиылысқан,  олай  болса, тек  екі  статика  теңдеуін  
құрастыруға  болады.  Белгісіздер  саны  да  екеу (N
1   
және N
2
). Сондықтан,  
есеп  статикалық  анықталған.  Тепе – теңдік  теңдеулері  былай  жазылады: 
     Σ Y  = 0       –  P  – N
2  
sin 30  = 0, осыдан  N
2  
= 
50
.
0
20
30



Sin
P
 = –  40 кН. 
     Σ Х = 0       – N
1   
– N
2  
cos 30  = 0, осыдан  N
1  
= – N
2 
cos 30 = +40 · 0,866  =                                             
                                                                                                        =  +34,64 кН. 
        Бойлық  күштердің  таңбалары  бірінші  стерженьнің  созылатынын,  ал  
екінші  стерженьнің  сығылатынын  көрсетеді. 
        Бойлық  күштердің  мәндері  бойынша  оларға  сәйкес  кернеулер  
шамаларын  табамыз:                               
                                σ
1
  =  
5
34640
1
1


A
N
  = + 6928 Н / см
2
; 
                                σ
2
  = 
8
40000
2
2


A
N
  =  – 5000 Н / см
2
. 
                                                                       
2) Нүктенің  орын  ауыстыру  шамасын  табу  
        Стерженьдердің  деформациялануы  нәтижесінде  С  түйіні  жаңа  орынға  
ауысады.  Ал  стерженьдердің  өздері  А  және  В  топсаларының  төңірегінде  
қайсы  бір  бұрыштарға  бұрылады. Нүктенің  жаңа  орынын  табу  үшін  
төмендегі  салу  тізбегін  ұсынамыз:   
 

 
36 
   а) стерженьдердің  бойына  олардың  ұзару  
Δ
L
1
 және  қысқару 
Δ
L
2
  
деформацияларын  саламыз, яғни  стерженьдердің  деформацияланған  түрін  
көрсетеміз (АR және BS  түзулері); 
 б)  осы  деформацияланған  стерженьдерді  екінші  шеттеріндегі  А  және  В  
топсалары  төңірегінде  қайсы  бір  кіші  бұрышқа  айналдырамыз. 
Айналдырғанда  стерженьдердің  шеті  шеңбер  доғасы  траекториясымен  
жылжыйды.
 Δ
L
1
 және  
Δ
L
2  
деформацияларының  стержень  ұзындықтарымен  
салыстырғанда  өте  кіші  шама  екенін  ескеріп, бұл  доға  траекторияларды  
доғаға  жанама  сызық  траекторияларымен  ауыстырамыз (RC
1
 және SC
1
  
түзулері). Естеріңізге  сала  кетейік,  жанама  сызық  әрқашан  радиусқа  
перпендикуляр  болады; 
 в)  осы  екі  траектория  қиылысқан  жерде  түйіннің  жаңа  орыны  С
1
 болады.  
Осы  алынған  сүрбені  жүйенің  орын  ауыстыру  жоспары  деп  атайды.
    
       Айта  кетелік, кей  жағдайда,  есеп  шарты  бойынша   нүктенің  жаңа  
орыны  С
1  
 белгілі  болады.  Стерженьдердің  деформацияларын  табу  қажет  
деген  сұрақ  қойылады. Бұл  жағдайда,  керісінше, С
1
  нүктесінен  әр 
стерженьдердің  бастапқы  бағыттарына  перпендикуляр (С
1
R ┴ AR  және  C
1
S 
┴ BS) түсіру керек,  сонда стержень  деформациялары (CR және CS) табылады.     
                     
 
       Алдымен  стерженьдердің  ұзындықтарын  анықтап  алайық: 
            
240
5
,
0
120
30
sin
2



a
L
см;      L
1 
=L
2  
сos 30 =240 · 0,866 = 207,84 см.            
       Одан  кейін  олардың  деформацияларын  есептейік:                                    
                                     
Δ
L
1
 = 
5
10
2
84
,
207
34640
7
1
1
1





EA
L
N
  =  +0,072 см 
   Δ
L
2
 = 
8
10
2
240
40000
7
2
2
2





EA
L
N
  =  – 0,060 см 
      Суреттен  С нүктесінің  горизонталь  орын  ауыстыру  шамасы  
Δ
L
1  
-  ға  тең  
екенін  байқаймыз, яғни 
 
Δ
гор  
= 
Δ
L
1  
=  0,072 см. 
       Вертикаль  орын  ауыстыру  шамасы  тең: 
Δ
верт 
 =  RK  +  KC
1
. 
RK = CM = 
Δ
L
2 
 sin 30    SM =  
Δ
L
2 
 cos 30 
  
SK = SM  + MK=
 
Δ
L
2 
 cos 30  +
  
Δ
L
1
 
KC
1 
=SK ctg 30. 
Сонда  вертикаль  орын  ауыстыру  шамасы  былай  анықталады: 
Δ
верт 
 = 
Δ
L
2 
 sin 30  +  (
Δ
L
2 
 cos 30  +
  
Δ
L
1
) ctg 30 = 0,060 · 0,5 + 
+ (0,060 · 0,866  + 0,072) 173 = 0,2445 см. 
                                           
3.6.  Статикалық  анықталмаған  жүйелер  (с.а.ж.) 
Енді  белгісіздер  саны  статикалық  теңдеулер  санынан  көп  болатын  
жүйелерді  қарастырайық. Бұл  жағдайда  тек  қана  статикалық  теңдеулер  
арқылы  барлық  белгісіздерді  анықтау  мүмкін  емес,  өйткені  артық  
белгісіздер  бар.  
Есептеу  үшін  статикалық  тепе – теңдік  теңдеулері  жеткіліксіз  жүйені  
статикалық  анықталмаған  жұйе  (с.а.ж.)дейді. 
Басқа  да  анықтама  беруге  болады: 

 
37 
Белгісіздер  саны  тепе – теңдік  теңдеулер  санынан  көп  болатын  
жүйені  статикалық  анықталмаған  жүйе  дейді.  
Белгісіздер  мен  тепе – теңдік теңдеу  сандарының  айырмасын  артық  
белгісіздер (артық  байланыстар) дейді. Олар  жүйенің  статикалық  
анықталмаған  дәрежесін  көрсетеді (с.а.д.). 
С.а.ж. – ні  толық  есептеу  үшін  қосымша  теңдеулер  құрастыру  қажет.  
Бұл  теңдеулерді деформациялар  тұтастығы (бірлестігі) деп  атайды. Олардың  
саны  артық  белгісіздер  санына  , яғни  с.а.д. – не тең  болады. Қосымша  
теңдеулерді  құрастыру  үшін  жүйенің  деформацияланған  күйі  
қарастырылады,  яғни  жүйенің  орын  ауыстыру  жоспарын  салыу  қажет.  Осы  
жоспардан    стержень  деформацияларының  арасындағы  тәуелділікті 
(байланысты)  өрнектеу  керек. Табылған  өрнектер  қосымша  теңдеулер  
болып  саналады. С.а.ж. – ні  есептеуді  төмендегі  мысалда  көрсетейік. 
      Мысал  3.3.  Абсолют    қатаң    брус    жылжымайтын    топсалы    тірекпен    және 
екі  стерженьмен  бекітілген (сурет 3.6.а). Қажет: 
 1)  стерженьдердегі  ішкі  күштер  мен  кернеулерді  Р  күші  арқылы  өрнектеп  
табу  (A
1
 =  5 cм
2
 ; A
2
 = 10 cм
2 
; L
1
 = 3.0 м); 
 2)  екі    кернеудің    үлкенін    мүмкіндік    [σ]  =    16000  Н  /  см
2     
кернеуіне  теңеп, 
мүмкіндік  [Р]  жүгін  табу; 
3)  (сурет 3.4.в)жүйенің  шекті  жүк  көтергіштігі  Р
т  
- ны  және  сол  бойынша  
мүмкіндік  [Р]  жүін  тағы  да  табу,  егер 
   
σ
т
  =   24000   Н  /  см
2
   және  беріктік  
қоры  к = 1,5  болса; 
4)  мүмкіндік  кернеу  бойынша (2 – ші  бап) және жүйенің шекті  жүк  
көтергіштігі  бойынша  (3 – ші  бап)  анықталған  мүмкінік  жүктерді  
салыстыру. 
 
 
 
                                                                 
 
 
 
 
 
Сурет. 3. 6. 
 
Шешім 
 
1) Бойлық  күштер  мен  кернеулерді  табу 
           Абсолют  брусты  барлық  тіректерден  босатайық  та, оған  әсер  ететін  
барлық  күштерді (сыртқы  Р  жүгі, белгісіз  тірек  реакциялары V
в, 
Н
в
 және  
стерженьдердегі  бойлық  күштері  N
1
 және N
2
) көрсетеміз (сурет 3.6.б). N
1
 
және N
2
 күштерінің  бағыттары  кейінірек  көрсету  керек. Өйткені, 
деформациялар  мен  кернеулер  таңбалары  әрқашан  сәйкестенілген  болуы  
қажет.Сонымен, 4  белгісіз  күштер  бар  екенін  байқаймыз. Ал  статикалық 
теңдеулер  саны  3 – ке  тең.  Олай  болса, жүйенің  с.а.д. = 1.  Бұл  жағдайда,  
жүйе  бір  рет  статикалық  анықталмаған  дейді. Оны  есептеу  үшін  бір  

 
38 
қосымша  теңдеу  құрастыру  керек. Жүйенің  орын  ауыстыру  жоспарын  
саламыз (сурет 3.6.а.). Абсолют  қатаң  брусты  В  топсасы  төңірегінде  кез  
келген  бағытта  қайсы  бір  кіші  бұрышқа  айналдырамыз.  Онымен  бірге  С  
және D нүктелері  жаңа  С
1
  және  D
1
 орындарына  ауысады (брусқа  
перпендикуляр  траекториямен). Осы  нүктелерден  стерженьдердің  бастапқы  
бағыттарына  перпендикулярлар  түсірсек,  олардың  деформациялары  
Δ
L
1 
және  
Δ
L
2   
алынады. Бұл  жоспардан  екі  стерженьнің  де  созылатынын  байқаймыз.                                                                    
Олай  болса, N
1    
и  N
2
 күштерін  созушы  қылып  көрсету  қажет,  яғни  қимадан  
тыс  бағытталады (сурет 3.6.б).   
   Енді  теңдеу  құрастыруға  кірісейік.  Статиканың  тепе – теңдік  теңдеуі  
былай  жазылады: 
                            Σ М
в  
= 0       N
1 
·
 
3  –  P · 2  + N
2 
· 2 sinα  = 0                             
(3.а) 
      Қосымша  теңдеу жүйенің  орын ауыстыру  жоспарынан  құрастырылады.       
Δ
L
1 
және  
Δ
L
2  
 деформациялары  арасындағы  байланысты  табайық..  
     Кішкене  үшбұрыштардан  алынады:   
                                                    

Sin
L
DD
2
1


                
     
                                     (3.б) 
       ВDD
1
  және  ВСС
1
  үшбұрыштарының  ұқсастығынан   мына  қатынас  
туады: 
 
                    
5
.
3
2
1
1

CC
DD
    
немесе  (3.б) – ны   ескерсек,    
5
.
3
2
1
2




Sin
L
L
                   (3.в) 
      Осы  (3.в)  қатынасы  қосымша  теңдеу  болады.  
      Стерженьдердің  деформациялары  Гук  заңы  бойынша  былай  
анықталады: 
                                        
   
;
1
1
1
1
FA
L
N
L


             
;
2
2
2
2
FA
L
N
L


                                    (3.г)
   
       
 (3.г) – ді   (3.в) – ы   теңдеуіне  енгізсек,  алынады: 
                                       
1
1
2
2
1
2
3
2
N
Sin
A
A
L
L
N






                                             (3.д) 
     Берілген  деректерді   α = 45
о
,  L
1 
= 3 м,   
м
L
12
,
2
sin
5
,
1
2



  енгізіп,  (3.д) - дан                 
табамыз: 
                        
1
1
2
2453
.
1
707
.
0
5
10
12
.
2
3
5
.
3
2
N
N
N






                       (3.е) 
  (3.е) – ні  ескеріп,  (3.а)   теңдеуінен  анықталады: 
3.5N
1  
– 1
٠
P + 1.2453 · N
1 
· 2 · 0,707 = 0,   осыдан     N
1  
=  0.190 Р. 
  (3.е) – ден  табылады:      N
2  
= 1,3339 · 0,404 P = 0.546 P.  
Сонда  стерженьдердегі  кернеулер  тең  болады: 
                
P
P
A
N
038
.
0
5
190
.
0
1
1
1




       
P
P
A
N
0237
.
0
10
237
.
0
2
2
2




 
        
2) Мүмкіндік  жүкті  анықтау 
   σ
1
 >  σ
2  
екенін  байқаймыз.  Сондықтан,  бірінші  стерженьнің  беріктік  
шарты  бойынша  мүмкіндік  жүк  тең  болады: 

 
39 
                      0,038 [P] = 16000,   осыдан  [P] = 421.053 кН.                        (3.ж) 
3) Жүйенің  жүк  көтергіштігін  табу 
     Сыртқы  жүк  үлкейген  сайын  бірінші  стерженьдегі  кернеу  де  көбейіп, 
екінші  стерженьнен  бұрын  аққыштық  шегіне  жетеді. Ондағы  бойлық  күш  
шамасы  тең  болады: 
                                          N
1
=σ
т
·А
1 
=24000 · 5=120000 Н                                     
(3.з) 
      Сыртқы  жүк  одан  әрі  үлкейгенде  екінші  стерженьдегі  кернеу  де  
аққыштық  шегіне  жетеді. Бұл  жағдайда  жүйе  істен  шықты (қирады) деп  
есептеледі.  Онда  екінші  стерженьдегі  ішкі  күш  былай  анықталады:  
                                     N
2  
=  σ
т 
А
2   
= 24000
٠
10=240000 Н                                   (3.и) 
       (3.з)    және    (3.и)    бойлық    күштерінің    мәндерін    (3.а)    теңдеуіне    енгізсек,  
жүйенің  жүк  көтергіштігі  анықталады: 
3.5·120000 – 1
٠
Р
т   
+  2 · 0,707·240000  = 0,   осыдан   Р
т  
= 759360 Н = 759.36 кН
    
       Сонда  мүмкіндік  күш  былай  табылады:  
                                              
 
24
.
506
5
.
1
36
.
759



к
P
P
Т
 кН                                  (3.к)                                      
 
4) Мүмкіндік  күштерді  салыстыру 
  (3.к)  және  (3.ж)  нәтижелерін  салыстырсақ,  алынады: 
 
20
.
1
053
.
421
24
.
506

 
    Сонымен  жүйенің  жүк  көтергіштігі  бойынша  анықталған  мүмкіндік  жүк 
(3.к),  мүмкіндік  кернеу  бойынша  анықталған  мүмкіндік  жүктен  (3.ж)  1.20  
есе  көп  болатынын  байқаймыз. 

жүктеу/скачать 4 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: