Алданов е. С. «Бір айнымалыдан функцияның интегралдық есептеулері»

64 
 
OAB
 фигурасының ауданы 
ОХ
осінің төменгі жағында орналасқан, 
сондықтан оны есептейтін интегралды минус таңбасымен алу керек, ал  
BCD
 
фигурасының  ауданы - 
ОХ
 осінің үстінгі жағында жатыр, сондықтан оны 
есептейтін интегралдың алдында плюс таңбасы болады. Интегралдау кесіндісі 
 
4
,
0
 екі кесіндіге бөлінуі қажет:  
 
2
,
0
 және 
 
4
,
2
. 
 
11-сурет. 
 
Осыдан:




















2
0
2
3
4
2
2
2
0
2
2
1
3
6
3
6
3
x
x
dx
x
x
dx
x
x
S
S
S



 

24
20
4
12
8
48
64
12
8
3
4
2
2
3












x
x
.  
Ескерту
.
Кейде  фигураның  ауданын  есептеу  үшін, x   -ті 
1
аргументінің 
функциясы деп алған ыңғайлы болады. 
3)
3
2
x
y 
қисығымен, 
1

y
, 
8

y
түзулерімен  және
OY
осімен  шектелген 
фигураның ауданын есептеу керек. 
x
 
24
 
3

О 
4
 
B
 
2
 
Д 
C
 
A
 
y
 

65 
 
Шешуі:Бұл  жағдайдафункция  ретінде  x,  ал  оның  аргументі  ретінде 
y
алынғаны қолайлы болады (12-суретті қараңыз). Осыдан
3
2
y
x 
.  
Енді есептесек: 


5
3
18
5
93
1
32
5
3
1
8
5
3
5
3
3
5
8
1
8
1
3
5
3
2
8
1



















y
dy
y
dy
x
S
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12-сурет. 
 
Ескерту
. Егер фигура мына түрдегі  





)
(
)
(
t
x
x
t
y
y
параметрлік теңдеулермен 
берілген  қисықпен, 
a
x  , 
b
x 
түзулерімен  және 
OX
  осімен  шектелген  болса, 
онда  аудан  келесі  формуламен  есептеледі:






b
a
t
t
dt
t
x
t
y
dx
y
S
2
1
)
(
)
(
,  мұндағы
1
t
және 
2
t
интегралдау 
шектері 
мына 
теңдеулерден 
алынады:
1
)
(
t
t
x
a


, 
2
)
(
t
t
x
b


. 
4)Циклоиданың  бір  аркасымен  және
OX
осімен  шектелгенфигураның 
ауданынесептеу керек. Циклооида теңдеуі:







)
cos
1
(
)
sin
(
t
r
y
t
t
r
x
 . 
8
 
1
 
y
 
x
 

66 
 
Шешуі:Циклоида  деген  –  радиусы 
r
-ге  тең  шеңбердің  нүктесі  шеңбер 
түзудің  үстінде  (13-сурет)  дөңгелеп  (сырғымай)  келе  жатқанда  жасайтын 
қозғалыс траекториясын беретін қисықты айтады. 
Мұндағы  t   параметрішеңбердің 
CA
радиусының 
CB
радиусына  қатысты 
жасайтын бұрышы 
 
13-сурет. 
Ізделінді 
S
ауданды  табу  үшін,  t интегралдау  айнымалысы  бойынша 
жоғары және төменгі шектер қажет, яғни 
1
t
және
2
t
. 
Циклоиданың бір аркасы үшін  x айнымалысының мәні 
0
-ден 
r

2
-ге дейін 
өзгеретіндіктен, 
r
2
бұрышы
0
1

t
мен

 2
2
t
 арасында болады.Осыдан: 

 
















dt
t
r
dt
t
r
t
r
dt
t
x
t
y
S
t
t
2
0
2
2
0
2
cos
1
cos
1
cos
1
)
(
)
(
2
1
 




















2
0
2
2
0
2
2
2
2
cos
1
cos
2
1
cos
cos
2
1
dt
t
t
r
dt
t
t
r
 


2
2
2
0
2
3
2
2
sin
4
1
2
1
sin
2
r
r
t
t
t
t
r

















 . 
Ескерту.
Егер  ауданды  шектеуші  қисықтың  теңдеуі 
)
(


f
полярлық 
координаталармен  берілсе,  онда  аудан  келесі  формуламен  есептеледі: 
B
 
O
 
)
(x
f
 
C
 
t
 
r
2
 
b
 
r
п
2
y
 

67 
 






d
S
2
2
1
,  мұндағы және






  - 

полярлық  бұрыштың  өзгеру  шектері  
(14 -сурет). 
 
14-сурет. 
5)



a
теңдеуімен  берілген  Архимед  спиралы  мен 
1

  және 
2



2
1



полярлық бұрыштарына сәйкес екі радиус векторлармен шектелген фигураның 
ауданын есептеу. 
Шешуі:  Архимеда спиралы– берілген  полюс деп аталатын нүктені айнала 
оның  жазықтығына  вертикаль  бірқалыпты  қозғалыста  болатын  түзудің 
бойымен бірқалыпты қозғалатын нүктенің траекториясын беретін қисық. 
Есептің шарты бойынша мынаны жазуға болады:  
 


6
3
2
2
1
2
1
3
1
3
2
2
3
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1





















a
a
d
a
d
S
. 
3.1.2 Айналу денелерінің көлемін есептеу 
)
(x
f
y 
функциясы 


b
a,
  кесіндісінде  үзіліссіз  және  теріс  емес  болсын. 
Сонда  жоғарғы  жағынан 
)
(x
f
y 
графигімен,  екі  жанынан 
b
x
a
x

 ,
түзулерімен  және  төменгі  жағынан 
OX
осімен  шектелген  қисық  сызықты 
трапецияны 
OX
осімен  айналдырғанда  алынатын  дененің 
V
көлемін  келесі 
формуламен есептеуге болады: 
dx
x
f
V
b
a
ox



2
)]
(
[
. 

 

 
O
 
)
(



 

 

68 
 
Бұл  формуланы  келесі  стандартты  амалдарды  қолдана  отырып  алуға 
болады (15-суретті қараңыз): 
I. 


b
a,
кесіндісін 
n
  бөлікке  тәуелсіз  нүктелермен  (нүктелердің 
арақашықтығы әр қилы) бөлшектейміз: 
b
x
x
x
a
n





...
1
0
;  
II.  Ұзындығы 
1




i
i
i
x
x
x
болатын  алынған  әрбір 


i
i
x
x
,
1

дербес 
кесіндіден  кез-келген  бір 
n
i
x
P
i
i
,
1
, 


нүкте  алып  биіктігі
)
(
i
P
f
-ға,  ал 
табаны   
i
x

-ге  тең  тіктөртбұрыш  тұрғызамыз.  Бұл  тік  төртбұрыш  Ох  осімен 
айналғанда  цилиндрді  сипаттайды.  Енді  осындай  жолмен  алынған
i
-ші 
цилиндрдің көлемі мынаған тең екенін көреміз: 
i
i
i
x
P
f
v




)
(
2
. 
 
 
15-сурет. 
III.  Барлық  осындай 
n   цилиндрлердің  көлемдерінің  қосындысы 
бастапқы 
айналу 
денесінің 
ox
V
 
көлемініңжуық 
шамасына 
тең: 






n
i
i
i
ox
x
P
f
V
1
2
)
(
. 
IV.  Көлемнің 
ox
V
дәл  мәнін  табу  үшін  жоғарыдағы  қосындыдан 
0


,


i
i
x



max
 шекке көшеміз: 












b
a
i
n
i
i
ox
dx
x
f
x
P
f
V
)
(
)
(
lim
2
1
2
0
. 
y
 
x
 
b
x
P
x
x
P
x
P
a
x
n
n
n


1
2
0
2
1
1
 
)
(x
f
y 
 

69 
 
Мысалы. 
x
y
cos

, 










2
,
2
x
функциясының  берілген  кесіндідегі 
доғасын 
OX
осімен айналдырғанда алынатын дененің көлемін есептеу керек. 
Шешуі:фигураның 
8
осіне  қатысты  симметриялы  болуына  қатысты 
оның 
ox
V
 көлемін келесі формула арқылы есептеуге болады (16-сурет): 



















2
0
2
0
2
0
2
1
2
cos
1
2
2
cos
1
2
cos
2
2
dx
x
dx
x
dx
x
V
V
ox
2
2
sin
2
1
2
2
0












x
x
. 
 
 
16-сурет. 
Ескерту. Егер дене қисық сызықты трапеция емес фигураның айналуынан 
шықса,  онда  алдымен 
B
A
ABx
x
  және 
B
A
CDx
x
трапецияларының  әрқайсысының 
ості айналуынан пайда болған денелердің сәйкес 
2
V
және 
1
V
көлемдерін есептеп, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2


 
y
 
b
 
1
 
1

 
2

 
С
 
x
 
B
x
 
A
x
 
A
 
y
 
)
x
(
f
y
2

)
x
(
f
y
1

 
B
 
D
 

70 
 
 
 
17-сурет. 
біріншісінен  екіншісін  азайту  керек,  яғни  үлкен  көлемнен  кіші  көлемді 
алып тастаймыз (17-суретті қара): 


dx
x
f
x
f
V
V
V
B
A
x
x
ox






)
(
)
(
2
1
2
2
1
2
. 
Мысалы. 
2
2
x
y 
парабола  және 
3
2
2

 y
x
түзулерімен  шектелген 
фигураның Ох осімен айналуынан пайда болған дененің көлемін есептеу керек. 
Шешуі:  
 
 
 
 
 
 
 
 
18-сурет. 
Парабола  мен  түзудің  қиылысу  нүктелерінің  абциссаларын(
A
және
) 
табу үшін келесі жүйені шешеміз: 
1
,
3
0
3
2
3
2
3
2
2
2
2
1
2
2
2

















x
x
x
x
x
x
y
x
x
y
. 
Осыдан, абсцисса  
3



A
, абсцисса  
1


B
. 
OX
осін 
AOB
штрихталған (18-сур.) фигура айналады. Айналу денесінің 
көлемін 
осін 
B
AB
A


және 
B
AOB
A


трапецияларының айналуынан алынған 
денелердің көлемдерінің 
2
1
V
V 
 айырмасы түрінде табамыз. Содан:  
B 
OX
B
 
y
 
0
 
A
 
 
B
3
2
2

 y
x
 
2
2
x
y 
 
y
 
x
 
A
 

71 
 
3
91
3
2
3
1
3
3














x
. 



5
61
5
4
2
1
3
5
1
3
2
2
2













x
dx
x
V
 . 
 
Сондықтан,  
(куб.бірлік). 
Мысалы. Биіктігі 
H
, ал табанының радиусы 
R
-ге тең айналу конусының 
көлемін табукерек. 
Шешуі: Бұл есепте координаталар жүйесін ыңғайлы етіп таңдап аламыз. 
 
19-сурет. 
Конустың  
OA
жасаушысының теңдеуі
x
H
R
y 
,  
H
x 

0
 (19-сур.). Сонда 
конустың көлемін былай есептеуге болады: 
H
R
H
H
R
x
H
R
dx
x
H
R
dx
y
V
H
b
a
H
ox
2
2
3
2
0
0
3
2
2
2
2
3
1
3
3



















. 
Ескерту.Егер 
қисық 
сызықты 
трапеция
 
y
g
x 
қисығымен 
және 
b
y
a
y
x



,
,
0
түзулерімен  шектеліп 
OY
осімен  айналатынг  болса,  онда 
алынған дененің көлемі келесі формуламен есптелінеді: 






























 







x
d
x
dx
x
dx
x
V
2
3
2
3
2
3
2
2
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
1











15
2
18
5
61
3
91
2
1
V
V
V
ox
R
 
b
 
H
 
O
 
y
 
 
b

72 
 
 



b
a
oy
dy
y
g
V
2
. 
Мысалы.Мына 
8
y
,
0
x
,
x
y
3



сызықтарымен шектелген фигураны
8
осімен айналдырғанда шығатын дененің көлемін есептеу керек  (20-сур.). 
Шешуі: 
 
20-сурет. 
3
x
y 

. Сонда




















5
96
8
5
3
3
5
3
5
8
0
3
5
8
0
3
2
8
0
2
y
dy
y
dy
x
V
oy
. 
3.1.3. Жазық доғаның ұзындығын есептеу 
I. 
)
(x
f
y 
,


b
a
x
,

теңдеуімен  тік  бұрышты  координаталар  жүйесінде 
берілген қисық доғасының ұзындығын келесі формуламен есептеуге болады: 
, 
мұндағы a және
b
  -  сәйкес доғасының  басы  мен  ұшының  абциссалары. 
Бұл  формула  да  интегралдық  есептеулердегі  стандартты  жолмен  алынады: 
сәйкес  n -ші интегралдық қосынды құрып, одан шекке көшу арқылы. 
Мысалы. Берілген 
3


x
пен 
2


x
 аралығындағы 
x
y
sin
ln

қисық 
доғасының ұзындығын табу керек. 
Шешуі: 
x
y
sin
ln

функциясының туындысын есептейміз: 
3
1
y
x 
 


dx
x
f
L
b
a




2
1
L
y
 
8
 
b
 
 
2

73 
 
ctgx
x
x
y



cos
.
sin
1
 
Интеграл астындағы өрнекті табамыз: 
 
x
dx
dx
x
dx
x
dx
y
x
sin
sin
1
ctg
1
1
2
2
2






. 
Осыдан: 
 

























2
3
2
2
3
2
3
2
3
2
2
cos
2
tg
2
2
cos
2
sin
2
sin
1
x
x
x
d
x
x
dx
x
dx
dx
y
L
x
 










2
3
2
tg
2
tg
x
x
d
3
ln
2
1
3
ln
3
1
ln
6
tg
ln
4
tg
ln
2
tg
ln
2
3











x
. 

жүктеу/скачать 1,28 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: