5. Кері функцияның туындысы. Параметр арқылы берілген функцияның туындысы. Айқындалмаған функцияның туындысы.
1) Кері функцияның туындысы. Егер , функциясының бірмәнді үзіліссіз кері функциясы бар және дифференциалданатын, болса, онда функциясының туындысы бар болады және . Екінші ретті туындысы: .
9-мысал: Функцияға кері функциясының туындысын табу керек:.
Шешуі. Осы функцияға кері функция: және . Олай болса, .
2) Айқындалмаған функцияның туындысы. Егер функциясы дифференциалданатын функция және теңдігін қанағаттандыратын болса, онда -ті -тің функциясы деп қарастырып, оны бойынша дифференциалдау керек және алынған теңдеуді бойынша шешу керек. Сонда аламыз, мұнда . -ті табу үшін теңдеуді екі рет бойынша дифференциалдап, тағы да теңдеуді қатысты шешу керек және т.с.с.
10-мысал . туындысын табу керек
.
Шешуі. Теңдеудің екі бөлігін бойынша дифференциалдап, аламыз:
, .
3) Параметр арқылы берілген функцияның туындысы.
Екі - функциялары Х–те берілген және дифференциалданатын болсын:
онда келесі параметр арқылы берілген функцияның туындысын табу ережесі орынды:
.
11-мысал. Егер болса табу керек.
Шешуі. Параметрден тәуелді функция берілген, сондықтан табу үшін, , табамыз да формуласын қолданамыз.
=> .
7-тақырып. Жоғарғы ретті туындылар мен дифференциалдар
Егер функциясының -ретті туындысы анықталған болса, онда -ретті туындысы
теңдігімен анықталады.
Егер және -рет дифференциалданатын функциялар болса, онда олардың сызықтық комбинациясы да дифференциалданады және
, мұнда , - соnst,
формуласы дұрыс.
Көбейтінді үшін Лейбниц формуласы орындалады
,
мұнда .
