Дифференциалдық теңдеулер туралы жалпы түсінік
жүктеу/скачать 1,39 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Анықтама
| Анықтама. Теңдеудің құрамындағы ең жоғарғы туындының реті дифференциалдық теңдеудің реті деп аталады.
G(x,y,y ′,y′′..., y(п)) = 0 - n-ші ретті дифференциалдық теңдеу десек, y(п) = F(x,y,y′, y′′,y′′′,...) - бас туындыға қатысты шешілген теңдеу. Мысалы. у′′+5xу′-x2y3= 0 – екінші ретті, d3y/dx3–xy2 dy/dx =7 - үшінші ретті, y′+5xy= cosx – бірінші ретті дифференциалдық теңдеулер. Анықтама.Дифференциалдық теңдеудің шешімі немесе интегралыдеп теңдеуге қойғанда онытура теңдікке айналдыратын кез келген функциясын айтады. Мысал 1. y=sinx функциясы y′′+y=0 теңдеуінің шешімі. Шынында, берілген теңдеудегі у белгілі, демек у′′-ті анықтайық: у′ =cosx , у′′= - sinx Егер y′′, y-ті теңдікке қойсақ: -sinx + sinx =0, яғни 0=0 теңдігіне келдік, демек у= sinx берілген теңдеудің шешімі болады. Мысал 2. y= x2(1+Ce 1/х) функциясы берілсін, мұндағы С – кез келген тұрақты сан. y функциясы х2у′+(1-2х)у= х2 - бірінші ретті дифференциалдық теңдеуінің шешімі болатынын тексерелік. Ол үшін берілген функцияның бірінші ретті туындысын табайық: y′= 2x (1+С e 1/x) +x2 (0+С e 1/х(- 1/x2))=2x(1+С e 1/х)-Ce 1/х у пен у′-ті берілген теңдіктің сол жақ бөлігіне қойсақ: x2=x2 тепе-теңдігіне келеміз, яғни берілген функция дифференциалдық теңдеудің шешімі. Анықтама. Дифференциалдық теңдеудің шешімін анықтау дифференциалдық теңдеуді интегралдау есебі деп аталады. Анықтама. Егер дифференциалдық теңдеудің шешімі, саны теңдеудің ретіне сəйкес келетін тəуелсіз кез келген тұрақтылардан тұрса, онда ол берілген теңдеудің жалпы шешімі деп аталады. Мысалы, y= φ (х,С1, С2,..., Сn) n-ші ретті дифференциалдық теңдеудің шешімі. Жалпы интегралдағы С1, С2,..., Сn тұрақтыларының орнына мəндер қойып дара шешімдер алуға болады. Мысалы, функциясы xy'' +2y' =0- екінші ретті дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі болатынын тексерелік. Шешуі: y ' , y '' - терді тауып теңдікке қоялық, яғнитеңдеуді қанағаттандырады. Жалпы шешімдегі С1, С2 тұрақтыларға мәндер беріп, дара шешімдер алуға болады: С1=1, С2=0 болғанда , С1= -3, С2 =5 болғанда , С1=0, С2=-1 болғанда . жүктеу/скачать 1,39 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|