Еселі интегралдардың Қолданулары. ҚИсық сызықты интегралдар
Функциялық тізбектер мен қатарлардың бірқалыпты жинақталуы
жүктеу/скачать 0,83 Mb.
|
| 2. Функциялық тізбектер мен қатарлардың бірқалыпты жинақталуы.
Анықтама 1. Егер кез келген саны үшін нөмірі табылып, барлық нөмірлері және нүктелері үшін теңсіздігі орындалса, онда (1) тізбек жиынында функциясына бірқалыпты жинақталады дейді. Айталық (3) функциялық қатары берілген және бұл қатардың (4) дербес қосындысы құрылған. (3) қатар жиынындағы -тің барлық мәндерінде функциясына жинақталады деп жорылық. Бұл жағдайда теңдігі орындалады. Басқаша айтқанда, берілген кез келген саны үшін бір нөмірі табылып, кейбір тағайындалған пен барлық үшін (5) немесе (6) болады. (3) функциялық қатардың (5) теңсіздікпен өрнектелген жинақталуының анықтамасындағы нөмірін таңдап алу келесі екі жағдайда болуы мүмкін: а) нөмірін таңдап тек берілген санына ғана тәуелді болады. б) нөмірін таңдап әрбір берілген санына әрі тәуелсіз айнымалы -тің мәніне тәуелді болады. Сонда а) жағдайында (3) қатардың жинақталуы бірқалыпты, ал б) жағдайында бірқалыпты емес (бірқалыпсыз) деп айтылады. Сөйтіп, функциялық қатардың жинақталуы екі категорияға бөлінеді: бірқалыпты және бірқалыпсыз. Анықтама 2. Егер (3) функциялық қатарға алдын ала берілген кез келген саны үшін тек сол санына ғана тәуелді, ал шамасына тәуелсіз нөмірі табылып, барлық нөмірлері мен -тің барлық мәндері үшін (5) теңдік орындалса, онда (3) қатар жиынында функциясына бірқалыпты жинақталады дейді. Бұл анықтамаға келесі геометриялық түсініктеме беруге болады. Әуелі (5) теңсіздігін былайша жазайық: барлық нөмірлері мен үшін (7) Бұл (7) теңсіздіктер барлық үшін дербес қосындылар -тің графиктері түгелдей ені -ге тең жолақтың ішінде, яғни мен функцияларының графиктерінің аралығында жататыны көрсетеді. Теорема 1 (тізбектің бірқалыпты жинақтылығының Коши критерийі). тізбегі жиынында қандай да бір функцияға бірқалыпты жинақталуы үшін кез келген саны үшін нөмірі табылып, барлықжәне барлық және барлық үшін теңсіздігінің орындалуы қажетті және жеткілікті. Теорема 2 (қатардың бірқалыпты жинақтылығының қажетті шарты). Егер (2.3) қатар жиынында бірқалыпты жинақталса, онда оның мүшелерінің тізбегі осы жиында бірқалыпты нөлге ұмтылады. Теорема 3 (қатардың бірқалыпты жинақтылығының Коши критерийі). (2.3) қатар жиынында бірқалыпты жинақты болуы үшін кез келген саны үшін нөмірі табылып, барлық және барлық және барлық үшін немесе теңсіздігінің орындалуы қажетті және жеткілікті. Теорема 4 (Вейерштрасс белгісі). Егер сандық қатары жинақталатын болса және барлық пен барлық үшін , теңсіздігі орындалса, яғни функциялық қатардың мүшелері абсолюттік шамалары бойынша сандық қатардың сәйкес мүшелерінен үлкен болмаса, онда (2) қатар жиынында абсолютті және бірқалыпты жинақталады. жүктеу/скачать 0,83 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|