ӘЛСІЗ ЕРЕКШЕЛІКТІ ЯДРОЛЫ ИНТЕГРАЛДЫҚ

 
 
 
 
 
 
 
               
Хабаршы №3-2015ж.  
 
 
58 
төмендегідей 
0
( )
2
( )
(
)
s
y
d
g f s
s



 


  
 
(3) 
интегралдық  теңдеуге  келеміз.  (3)  теңдеу  әлсіз  ядролы  интегралдық 
теңдеу немесе Абель ядролы интегралдық теңдеуі. Бұндай теңдеулермен көп 
санды  қарапайым  дифференциалдық  теңдеулер  үшін  алғашқы  шартпен 
берілген есептердің шешімдерін құру барысында жиі кездесеміз. Қолданбалы 
бағыттағы  көптеген  құбылыстардың  күрделі  математикалық  моделдермен 
өрнектелетінін  есепке  ала  отырып,  (3)  интегралдық  теңдеулердің 
аналитикалық  немесе  сандық  шешімдерін  құру  қазіргі  жағдайда,  әсіресе 
жоғары  білікті  мамандарды  даярлау  жүйесінде  өзекті  мәселелердің  бірі 
екендігін айта кету керек.  
Ақпараттық  технологиялардың  дамуы  көптеген  жай  немесе  дербес 
туындылы  дифференциалдық  теңдеулерге  қойылған  алғашқы  немесе 
шекаралық  есептердің  шешімдерін  сандық  әдістер  көмегінде  шешуге, 
шешімдердің  графиктерін  сызуға,  сонымен  шешімдердің  сипатын  жаңа 
тұрғыда  зерттеуге  өз  септігін  тигізіп  келе  жатыр.  Тағы  да  бір  айта  кететін 
жайт:  интегралдық  теңдеулерді  зерттеудің  әмбебап  сандық  әдістері  дәл  осы 
күнге  дейін  қалыптасқан  емес.  Интегралдық  теңдеулердің  аналитикалық 
әдістерменен 
құрылған 
шешімдерін 
заманауи 
компьютерлік 
бағдарламаларменен  талдау  математикалық  білімнің  қолданбалы  негізінің 
дамуына  әсер  етеді.  Болашақ  математик  бакалаврларды  даярлау  сапасының 
жоғарылатуын  қалыптастыруда  интегралдық  теңдеулерді  шешуді  оқыту 
әдістері,  құралдары,  формалары,  компьютерлік  бағдарламаларын  іріктеу 
маңызды  рөл  ойнайды.  Интегралдық  теңдеулер  пәнін  оқыту  барысында 
қалыптасқан  тәжірибелеріміз  нәтижесінде  келесі  зерттеу  мәселелері 
айқындалғанын көреміз: 

 
интегралдық  теңдеулерді  шешуді  оқыту  барысында  ақпараттық 
технологиялар  құралдарын,  компьютерлік  технологиялар  бағдарламаларын 
қолдану  мүмкіндіктерін  айқындау,  таңдау  және  және  «білімдегі  ақпараттық 
технологиялар» түсінігін зерделеу; 

 
интегралдық теңдеулердің анықталған класстағы шешімдері үшін 
компьютерлік бағдарламаларды қолдану мақсатын анықтау және негіздеу; 

 
оқу  құралдарын,  формаларын,  әдістерін,  мазмұнын  мақсатқа 
сәйкес  анықтау,  компьютерлік  бағдарламаларды  қолдану  мен  интегралдық 
теңдеулерді шешуді оқыту әдістері үйлесімділігін және моделін жасау; 
Жоғарыдағы  айқындалған  мәселелерді  зерттеуді  алдымен  келесі 
қолданбалы  есептерді  қарастырудан  бастаймыз.  Сингуляр  ауытқымалы 
интегралдық теңдеуі берілген болсын: 
0
( ,
)
( ,
)
( ) ,
(
)
n
t
y s
y t
d s
f t
t
s









  
 
 (4) 
мұнда, 
(
1 )
1
2
,
0 ,1, 2 , ...,
,
0
n
n
n
c o n s t





 


 
шексіз  аз  шама. 
Зерттеулеріміз  үйлесімді  болуы  үшін 
1
( , )
[ 0 ,
],
( )
[ 0 ,
]
y t
L
f t
С





  тиісті 

 
 
 
 
 
 
 
               
Хабаршы №3-2015ж.  
 
 
59 
деп  есептейік.  Сонымен  қатар, 


(
1 )
1
2
1
n
n
n
n
lim
lim



 
 



  екенін  байқауға 
болады.  Қарастырылып  жатқан  (4)  интегралдық  теңдеуде 
n


нің  мәндері 
үшін әрдайым шешімдерін табуға болатынын көрсетейік.  
1) 
0
n

 де (4) интегралдық теңдеу келесі 
1 / 2
0
( ,
)
( ,
)
( ) ,
(
)
t
y s
y t
d s
f t
t
s








 
 
(5) 
көрінісіне  келеді.  Осы  (5)  теңдеудегі 
t
  айнымалыны 

  айнымалыға 
алмастырып, 
1 / 2
1
(
)
t


-ға көбейткеннен кейін 0-ден 
t
-ға дейін 

айнымалы 
бойынша интегралдаймыз:  
1 / 2
1 / 2
1 / 2
1 / 2
0
0
0
0
( ,
)
1
( ,
)
( )
.
(
)
(
)
(
)
(
)
t
t
t
y
y s
f
d
d
d s
d
t
t
s
t

 



























 
 
(6) 
Мұнда,  
2
1 / 2
1 / 2
0
0
0
1
( ,
)
(1 / 2 )
( ,
)
,
(
)
(
)
t
t
y s
d s
d
Г
y s
d s
t
s


















 
екенін  ескеріп,  (6)  теңдіктегі  интегралдау  айнымалысын  бірдей 
айнымалы бойынша жазсақ, 
1 / 2
1 / 2
0
0
0
( ,
)
1
1
1
( )
(
,
)
( ,
)
(
)
2
2
(
)
t
t
t
y s
f s d s
d s
B
y s
d s
t
s
t
s





 






      (7) 
теңдігін аламыз. Осы (7) теңдіктің оң жағын (5) теңдікке қойсақ келесі 
сызықты дифференциалдық теңдеуді аламыз 
2
2
2
1 / 2
0
0
0
1
1
1
( )
( ,
)
(
,
)
( ,
)
( )
.
2
2
(
)
t
t
t
f
s d s
y s
d s
B
y s
d s
f t
t
s



























 
(8) 
(8)  теңдеуде 
2
1
1
2
1 / 2
2
0
1
( )
1
1
( )
( ) ,
(
,
)
(
)
2
2
t
f s d s
f t
f
t
B
t
s











  белгілеуін 
енгізіп, интегралдасақ төмендегідей теңдікті аламыз:  
1
1
1
0
0
( ,
)
( )
.
t
t
t
s
y s
d s
e
f
s e
d s
C














 
 (9) 
(9) теңдеудің екі жағын 
t
 бойынша дифференциалдасақ,  
1
1
1
1
1
0
( ,
)
( )
( ) ,
t
t
s
y t
e
f
s e
d s
f
t








 
 
 
 (10) 
түріндегі  (5)  интегралдық  теңдеудің  шешімін  аламыз.  Алғашқы 
белгілеулерді орнына қойып, соңғы шешімді төмендегідей жазамыз, яғни  

 
 
 
 
 
 
 
               
Хабаршы №3-2015ж.  
 
 
60 
2
2
1 / 2
1 / 2
2
2
2
1 / 2
2
2
1 / 2
0
0
2
1 / 2
0
1
( )
( ,
)
( )
(
)
1
( )
( )
.
(
)
t
s
B
t
B
s
t
f
d
y t
B
e
f
s
e
d s
s
f
s d s
f
t
t
s

































 
 
(11) 
Maple 
компьютерлік 
бағдарламасында 
(11) 
функциясының 
( )
1,
,
1
f t
 


 
мәндерінде 
2
t

 
нүктеде 
(5) 
теңдеуді 
қанағаттандыратынын көруге болады (2-сурет). 
2) 
1
n

 болсын. Онда (4) интегралдық теңдеу келесі  
3 / 4
0
( ,
)
( ,
)
( )
(
)
t
y s
y t
d s
f t
t
s








 
 
 
 
(12) 
көрінісіне  келеді.  Сонымен  қатар  (12)  интегралдық  теңдеуде 
0
t

  де 
( 0 ,
)
( 0 )
y
f

 
  шартының  орындалатынын  байқаймыз.  Осы  (12)  теңдеудегі 
t
 айнымалыны 

 ға алмастырып, 
3 / 4
1
(
)
t


-ке көбейткеннен кейін 0-ден 
t
-ға 
дейін 

айнымалы бойынша интегралдаймыз: 
3 / 4
3 / 4
3 / 4
3 / 4
0
0
0
0
( ,
)
1
( ,
)
( )
.
(
)
(
)
(
)
(
)
t
t
t
y
y s
f
d
d
d s
d
t
t
s
t

 



























 
 
(13) 
Мұнда,  
3 / 4
3 / 4
1 / 2
0
0
0
1
( ,
)
( ,
)
(1 / 4 , 1 / 4 )
,
(
)
(
)
(
)
t
t
y s
y s
d s
d s
d
B
t
s
t
s



















 
екенін  ескеріп,  (13)  теңдіктегі  интегралдау  айнымалысын  бірдей 
айнымалыға келтіріп жазсақ, 
3 / 4
1 / 2
3 / 4
0
0
0
( ,
)
(1 / 4 , 1 / 4 )
( ,
)
1
( )
(
)
(
)
(
)
t
t
t
y s
B
y s
d s
f s d s
d s
t
s
t
s
t
s





 







 
 
 
(14) 
теңдігін аламыз. (14) теңдіктің оң жағын (13) теңдікке қойсақ  
2
1 / 2
3 / 4
0
0
(1 / 4 , 1 / 4 )
( ,
)
( )
( ,
)
( )
(
)
(
)
t
t
B
y s
d s
f s d s
y t
f t
t
s
t
s















 
 
 
(15) 
теңдеуін 
аламыз. 
(15) 
теңдеуде 
2
2
2
3 / 4
0
(1 / 4 , 1 / 4 )
( )
,
( )
( )
(
)
t
B
f s d s
f t
f
t
t
s











белгілеуін 
енгізсек, 
(5) 
теңдеуге эквивалент  
2
2
1 / 2
0
( ,
)
( ,
)
( )
(
)
t
y s
y t
d s
f
t
t
s








 
 
 
 (16) 

 
 
 
 
 
 
 
               
Хабаршы №3-2015ж.  
 
 
61 
теңдеуді табамыз. (16) теңдеудің шешімін 
2
2
2
2
1 / 2
1 / 2
2
2
2
2
2
2
2
1 / 2
2
2
1 / 2
0
0
2
2
2
2
1 / 2
0
( )
( )
( ,
)
(
)
( )
( )
(
)
t
s
B
t
B
s
t
f
s
f
d
y t
B
e
e
d s
t
f
t
f
s d s
t
s

































 
 
(17) 
көрінісінде анықтауға болады. 
Осы  алгоритмнен  пайдалана  отырып, 
2 , 3 , ...,
n

  мәндеріне  сәйкес 
шешімдер тізбегін табуға болатынын, сонымен шешімдер тізбегінің ядролары 
n

нің  үлкен  мәндерінде 
1
( , )
(
)
n
n
l i m K
t s
t
s

 


  ядросына  ұмтылуын 
дәлелдесе болады. 
Maple  компьютерлік  бағдарламасында  (17)  функциясының 
( )
1,
f t

 
,
1
  
 
болған  жағдайда 
2
t

 
нүктедегі  мәні  (12)  теңдеуді 
қанағаттандыруың  көру  мүмкін  (3-сурет).  Компьютерлік  есептеу  барысында 
функциялар  мен  оларға  қолданылатын  амалдардың  күрделілігі  мен  көлемі 
ұлғайған сайын қателіктің де жоғары болатынын ескерген жөн [2]. 
 
 
 
2-сурет                                                                      3-сурет 
 
(4) интегралдық теңдеуге сәйкес 
0
( ,
)
( ,
)
( )
(
)
n
t
y s
y t
d s
f t
t
s







 
интегралдық  теңдеу  үшін 
( 0 ; 1)
  интервалда 
n

  рационал  және  кез 
келген нақты сан болғандағы шешімдері әдебиеттерде келтірілген. [3-5] 
Қорытындылай  келе  интегралдық  теңдеулердің  шешімдерін  оқытуға 
қатысты келесідей тұжырымдама жасауға болады: интегралдық теңдеулердің 
аналитикалық  шешімін  құру  барысында  айнымалыларды  дұрыс  өрнектеу 
маңызды 
рөл 
ойнайды; 
аналитикалық 
шешімнің 
компьтерлік 
бағдарламаларды  қолдану  нәтижесінде  құрылған  графиктері  оның 
сипатамалық  мінездездемесін  жан-жақты  зерттеуде,  қажетті  қорытынды 
жасауда  үлкен  қызмет  атқарады;  интегралдық 
теңдеулер 
пәнін 

 
 
 
 
 
 
 
               
Хабаршы №3-2015ж.  
 
 
62 
толыққанды  игеруге  үлкен  әсер  етеді;  пәнаралық  байланыстарын  дамытуға, 
сонымен 
болашақ 
математик 
бакалаврлардың 
математикалық 
дүниетанымының кеңейуіне өз септігін тигізеді. 
 
Әдебиеттер: 
1.
 
Михлин С. Г. Лекции по линейным интегральным уравнениям. − Ленинград: 
Физматгиз, 1959.  − 232 с. 
2.
 
Дьяконов В.П. Математическая система  Maple  V R3/R4/R5. − М.: Солон, 
1998. 
− 397 c. 
3.
 
Brakhage  H., Nickel K., Rieder P. Auflösung der Abelschen Integralgleichung. 
Art.
 − ZAMP, V. 16, 1965. − 295-298 pp. 
4.
 
Смирнов  B.И.  Курс  высшей  математики.  Том  4,  часть  1.  −  М.:  Наука, 
1974. 
− 155-156 с. 
5.
 
Полянин А.Д., Манжиров А. В. Справочник по интегральным уравнениям: 
Точные решения. − М.: «Факториал», 1998. − 432 с. 
 
Калимбетов Б.Т., Сапаков Д.А. 
Методические основы построения последовательностей решения 
интегральных уравнений  
со слабыми особенностями ядра 
В  статье  обсуждаются  вопросы  построения  последовательностей  решений 
сингулярно  возмущенных  интегральных  уравнений  с  Абелевым  ядром,  изучение 
качественной теории поведения решений интегральных уравнений с использованием 
компьютерной  математической  программы  и  методика  их  обучения  для 
математиков бакалавров научного направления. 
Ключевые слова: интегральные уравнения, компьютерная программа, Абелево 
ядро, преобразование, последовательность решений, усвоения учебного материала. 
 
Кalimbetov B.T., Sapakov D.A. 
Methodical bases of construction of a sequence solutions of integral equations 
with a weak singularity kernel 
The article discusses issues the construction of sequences of solutions of singularly 
perturbed  integral  equations  with  Abelian  kernel,  studying  the  qualitative  theory  of  the 
behavior  of  solutions  of  integral  equations  with  the  use  of  computer  mathematical 
programs  and  the  a  technique  of  their  training  for  mathematicians  of  bachelors  science 
directions. 
Keywords: integral equations, a computer program, Abelian kernel, transformation, 
sequence of solutions, assimilation of the teaching material. 
 
*** 
 
 
ӘОЖ: 371Б29 
Бахтиярова Г.Р. − п.ғ.к., доцент  
Қ.Жұбанов атындағы АӨМУ 
Е-mail: aibol04 @mail.ru 
 
ХАНДЫҚ ДӘУІРДЕГІ ҚАЗАҚ ЖЫРШЫ-ЖЫРАУЛАРЫ 
ШЫҒАРМАЛАРЫНЫҢ ХАЛЫҚТЫҚ  ПЕДАГОГИКАМЕН 
ҮНДЕСТІГІ 

 
 
 
 
 
 
 
               
Хабаршы №3-2015ж.  
 
 
63 
 
Аннотация:  Мақалада  халықтық  тәрбие  тарихында  айрықша  орын  алатын 
және  өзіндік тарихи қалыптасқан дәстүрлі педагогикалық мәдениетімізді танытатын 
қазақ 
хандығы 
дәуіріндегі 
жыршы-жыраулар 
толғауларының 
халықтық 
педагогикамен  үндестігі,  сабақтастығы  жан-жақты  талданып,  тұжырымдалады. 
Жыршы-жыраулар  шығармаларының  танымдық-тәрбиелік  рөлі  айқындалып,  сөз 
етіледі. 

жүктеу/скачать 4,09 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: