Список использованных источников

63 
ОБ ИССЛЕДОВАНИИ ПРОЦЕССА КОЛЕБАНИЙ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ МЕМБРАНЫ  
Есенбаева Г.А., Есбаев А.Н., Сажинова Ж. Р.  
Карагандинский государственный университет им. академика Е.А. Букетова, Караганда, Казахстан 
Назарбаев Интеллектуальная школа, Астана, Казахстан 
E-mail: esenbaevagulsima@mail.ru 
 
Прямоугольная мембрана со сторонами  a  и  b , закрепленная по краям, расположена в плоскости 
)
,
( y
x
,  причем 
a
x


0
, 
b
y


0
, 
0

t
.  Колебание мембраны  вызывается  с  помощью  начального 
отклонения  и  начальной  скорости.  Процесс  колебания  плоской  однородной  мембраны  описывается 
уравнением [1] 
)
(
2
yy
xx
tt
u
u
a
u


.                                                              (1) 
Для  нахождения  функции 
)
,
,
(
t
y
x
u
,  характеризующей  отклонение  мембраны  от  положения 
равновесия (прогиб), нужно решить уравнение колебаний при заданных начальных условиях 
                                          
)
,
(
)
0
,
,
(
y
x
y
x
u


,                                                               (2) 
                                           
)
,
(
)
0
,
,
(
y
x
y
x
u
t


                                                               (3) 
и граничных условиях 
                 
0
)
,
,
0
(

t
y
u
x
,     
0
)
,
,
(
)
,
,
(


t
y
a
hu
t
y
a
u
x
,     
0

h
,                                     (4) 
           
0
)
,
0
,
(

t
x
u
y
,     
0
)
,
,
(
)
,
,
(


t
a
x
gu
t
b
x
u
y
.     
0

g
.                                     (5) 
Искомая  функция 
)
,
,
(
t
y
x
u
  характеризует  прогиб  мембраны  в  момент  времени  t .  Решение 
задачи (1) - (5) ищем в виде функции, не равной тождественно нулю, [2] 
                                     
)
(
)
,
(
)
,
,
(
t
T
y
x
v
t
y
x
u

.                                                         (6) 
Разделяя переменные, получим дифференциальное уравнение для функции 
)
(t
T
 
0
2



T
a
T

,                                                               (7) 
где 

 - постоянная, а для функции 
)
,
( y
x
v
 следующую краевую задачу 
0



v
v
v
yy
xx

,     
0
)
,
(
)
,
(
)
,
0
(



y
a
hv
y
a
v
y
v
x
x
,     
0
)
,
(
)
,
(
)
0
,
(



b
x
gv
b
x
v
x
v
y
y
, 
решение которой ищем в виде 
)
(
)
(
)
,
(
y
Y
x
X
y
x
v

. 
Разделение  переменных,  решение  спектральных  задач  и  нормирование  функций 
)
,
( y
x
v
kn
 
приводят к тому, что эти функции определяются равенствами [3] 
y
x
B
A
y
x
v
n
k
n
k
kn


cos
cos
)
,
(

,   




h
h
a
h
A
k
k
k




2
2
2
2
2


,   




g
g
b
g
B
n
n
n




2
2
2
2
2


,   
,...
2
,
1
,

n
k
, 
 
где 
k

, 
n

 - корни уравнений 
h
a
tg



,     
g
b
tg



 
соответственно.   
Решение уравнения (7) и принцип суперпозиции определяют общее решение (6) задачи (1)–(5) в 
виде 
y
x
t
a
D
t
a
C
B
A
t
y
x
u
n
k
n
k
kn
n
k
kn
n
k
n
k






cos
cos
sin
cos
)
,
,
(
2
2
2
2
1
1
















.         (8) 
Используя начальные условия (2), (3), получим значения постоянных 
kn
С
, 
kn
D
 


a b
kn
kn
dxdy
y
x
v
y
x
С
0 0
)
,
(
)
,
(

,      



a b
kn
n
k
kn
dxdy
y
x
v
y
x
a
D
0 0
2
2
)
,
(
)
,
(
1



.                (9) 
Подставляя  значения  коэффициентов (9) в (8), получаем  решение  исходной  задачи  в 
аналитической форме. 
 
Список использованных источников 
1. 
Арнольд В.И
. Математические методы классической механики. - М.: Едиториал УРСС, 2003. – 416 с. 
2. 
Краснопевцев Е.А
. Математические методы физики. - Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2003. - 243 с. 
3. 
Yesbayev A.N., Yessenbayeva G.A., Ivanov I.A
. On the boundary value problem for the vibration and wave 
processes in two-dimensional environs /Вестник  Карагандинского  университета.  Серия  Математика, 2016. - 
№3(83). 
Ре
по
зи
то
ри
й К
ар
ГУ

64 
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В ЗАДАЧАХ МЕХАНИКИ 
Есенбаева Г.А.,
 
Есбаев А.Н.,
 
Сəрсенбек Ə.Ж. 
Карагандинский государственный университет им. академика Е.А. Букетова, Караганда, Казахстан 
Назарбаев Интеллектуальная школа, Астана, Казахстан 
E-mail: esenbaevagulsima@mail.ru 
 
Интегральные преобразования эффективно используются в различных областях точных наук, в 
том числе и в задачах механики, таких как динамические задачи для упругого пространства, задачи 
динамики жидкости и ее взаимодействия с упругими телами, задачи колебательных процессов и т.д.  
Уравнение,  определяющее  распространение  упругих  волн  в  призматическом  стержне, 
продольное  перемещение  точек  которого  не  зависит  от  координат  в  его  поперечном  сечении,  а 
продольная жесткость - та же, что и в статике, имеет вид [1] 
)
,
( x
t
Q
EFu
Fu
xx
tt



, 
где  u  - перемещение,  F  - площадь поперечного сечения,  Q  - внешняя продольная нагрузка.  
В  простейших  случаях,  как  в  задаче  продольных  колебаний  стержня,  моделируемой 
уравнениями 
)
,
(
2
x
t
Q
u
a
u
xx
tt


,  
0
)
0
,
(

t
u
x
,  
)
(
)
,
0
(
x
x
u


,  
)
(
)
,
0
(
x
x
u
t


,  


 x
t,
0
, 
при  применении  интегрального cos -преобразования  решение  можно  получить  в  явном 
аналитическом виде 






















at
x
at
x
dz
z
at
x
sign
dz
z
a
at
x
at
x
x
t
u
0
0
)
(
)
(
)
(
2
1
)
(
)
(
2
1
)
,
(




 



















)
(
0
)
(
0
0
)
,
(
))
(
(
)
,
(
2
1






t
a
x
t
a
x
t
dz
z
Q
t
a
x
sign
dz
z
Q
d
a
. 
Плоская  задача  о  продольных  нестационарных  деформациях  пластины  определяется 
уравнениями [1] 
0
2
)
2
1
(
Q
w
c
v
v
x
xx
tt




, 
0
)
2
1
(
3
3
2
2





x
xx
tt
v
c
w
w
c
w
, 



1
1
0
)
,
,
(
2
1
dy
y
x
t
Q
Q
, 



c
,  
где  v ,  w  - скорости волн в сплошной среде, 

 - постоянная Ляме. 
Учитывая, что осредненные по сечению продольные напряжения 
xx

 определяются равенством  
w
c
v
xx
xx
)
2
1
(
2




, 
для бесконечной пластины при 
)
(
2
0
x
Q


, что соответствует сжатию правой части пластины (
0

x
) 
единичной  силой  и  растяжению  с  той  же  силой  левой  части  (
0

x
),  то  после  применения 
преобразования  Лапласа  по  t   и  преобразования  Фурье  по  x  [2] и  использования  асимптотических 
представлений при обращении, получаем 
















)
(
1
1
6
)
(
3
1
2
2
0
0
x
t
t
c
d
J
d
Ai
xx




, 
3
1
2
2
2
2
1
6
)
(






















d
c
d
c
t
ct
x

, 

)
1
(
2
2
v
E
d


, 
где 
)
(

Ai
 - функция Эри, 
)
(
0
z
J
- функция Бесселя. 
Довольно  часто  наиболее  эффективным  для  решения  многомерных  задач  механики  является 
совместное  применение  аналитических  (например,  интегральных  преобразований)  и  численных 
методов, при этом возможно получить результат там, где каждый из них в отдельности практически 
бессилен.  
 
Список использованных источников 
1. 
Уфлянд Я.С
. Интегральные преобразования в задачах теории упругости. – Л.: Наука, 1968. – 403 с. 
2. 
Князев П.Н
. Интегральные преобразования. – М.: Едиториал УРСС, 2004. – 200 с. 
 
 
 
 
Ре
по
зи
то
ри
й К
ар
ГУ

65 
THE BOUNDARY VALUE PROBLEMS IN MATHEMATICAL MODELING  
OF MECHANICAL PROCCESES 
Yessenbayeva G.A., Yesbayev A.N., Nurpeisova A. N. 
Academician E. A. Buketov Karaganda State University, Karaganda, Kazakhsnan 
Nazarbayev Intellectual School, Astana, Kazakhsnan 
E-mail: esenbaevagulsima@mail.ru 
 
We shall consider the partial differential equations that describe mathematical models of mechanical 
and physical phenomena. We often use the second order partial differential equations of hyperbolic type in 
the problems of oscillation theory
 
and we apply the parabolic equations
 
in problems of mechanics, where the 
characteristics of the various elements of constructions are
 
investigated
 
under the influence of different 
temperatures.  
Consider the problem of vibrations of the infinite rod [1] 
0





cu
bu
au
u
u
y
x
yy
xx
, 





x
, 


 y
0
; 
)
(
)
0
,
(
x
x
u


, 
)
(
)
0
,
(
x
g
x
u
y

. 
Using the method of the Riemann function, we find 











2
)
(
)
(
)
,
(
2
2
y
b
a
y
b
a
e
y
x
e
y
x
y
x
u


 












































d
e
y
x
y
x
c
J
y
c
y
x
c
J
b
e
x
a
y
x
y
x
y
b
)
(
)
(
)
(
)
(
2
2
1
)
(
2
2
2
2
2
1
1
1
2
2
1
0
2
 




d
g
e
y
x
c
J
e
x
a
y
x
y
x
y
b
)
(
)
(
2
1
)
(
2
2
2
1
0
2















/ 
Applying the Laplace transformation to the more general problem for the wave equation [1] 
)
,
(
2
2
t
x
f
u
с
u
a
u
xx
tt



, 





x
,


 t
0
; 
)
(
)
0
,
(
x
x
u


, 
)
(
)
0
,
(
x
g
x
u
t

, 
we receive the solution in the analytic form 
 
 
. 
The boundary value problem for the heating of the infinite rod [2] 














x
u
x
x
x
a
t
u


2
,  


 x
0
,  


 t
0
; 
)
(
)
,
0
(
t
t
u


,  
0
)
,
(

 t
u
,  
0
)
0
,
(

x
u
. 
by applying the mathematical methods  has the following solution of this problem  
 









d
t
a
x
t
a
Г
x
t
x
u
t



















)
(
4
exp
)
(
4
)
(
)
(
)
,
(
2
2
1
2
2
0
. 
 
References 
1. 
Vlasenko V.D
. Mathematical modeling in continuum mechanics problems. - Khabarovsk: Publishing house 
Tikhookean. State. University, 2010. - 103 p. 
2. 
Shpadi Y.R
. The heat conduction problems in solids with variable section. /Thesis for the degree of Ph.D. - 
Almaty, 1998. - 140 p. 
 
 
















at
x
at
x
d
a
x
t
c
I
g
a
t
x
и



2
2
2
0
)
(
)
(
2
1
)
,
(





























d
a
x
t
a
x
t
c
I
a
ct
at
x
at
x
at
x
at
x
2
2
2
2
2
2
1
)
(
)
(
)
(
2
2
)
(
)
(



















)
(
)
(
2
2
2
0
0
)
(
)
(
)
,
(
2
1








t
a
x
t
a
x
t
d
a
x
t
c
I
f
d
a
Ре
по
зи
то
ри
й К
ар
ГУ

66 
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ КИНЕМАТИЧЕСКОЙ ВЯЗКОСТИ  РАСПЛАВОВ  
В ОТОБРАЖЕНИИ КОНЦЕПЦИЕЙ ХАОТИЗИРОВАННЫХ ЧАСТИЦ  
Кажикенова А.Ш., Алибиев Д.Б., Турдыбекова К.М., Турдыбеков К.М.
 
Карагандинский государственный университет им. академика Е.А. Букетова, Караганда, Казахстан 
E-mail: aigul-kazhikenova@vail.ru 
 
Для  аналитического  описания  агрегатных  состояний  жидкое  состояние  является  наиболее 
сложным.  В  свою  очередь,  из  различных  физико-химических  свойств  расплавов  наиболее  трудным 
для формализации на основе фундаментальных характеристик вещества оказывается вязкость.  
Многие авторы при изучении жидкого металлического состояния среди большого разнообразия 
моделей 
жидкости 
отдают 
предпочтение 
тем, 
которые 
опираются 
на 
концепцию  
квазикристаллического
 описания.  
Существующие  закономерности  и  расчетные  формулы  вязкости,  основанные  на  подробном 
описании структуры и взаимодействий между частицами в структуре расплавов металлов, работают в 
узком диапазоне температур, содержат от 2 и более подгоночных параметра, лишенных физического 
смысла. Данные по вязкости, полученные различными исследованиями или расчетом по различным 
теориям,  часто  отличаются  на  несколько  порядков.  Все  это  указывает  на  необходимость 
дополнительных разработок на основе альтернативных подходов к пониманию вязкости. 
Сотрудниками  Химико-металлургического  института  им.Ж.Абишева  (г.  Караганда)  была 
разработана новая концепция, которая названа концепцией хаотизированных частиц.  
Данная  концепция  основана  на  известном  распределении  Больцмана.  Согласно  концепции 
хаотизированных  частиц  все  три  агрегатных  состояния  вещества  рассматриваются  с  единой  точки 
зрения без его структурной составляющей [1].  
Концепцией 
хаотизированных 
частиц 
устанавливается 
виртуальное 
присутствие 
кристаллоподвижных, жидкоподвижных и пароподвижных частиц во всем температурном диапазоне 
для всех агрегатных состояний вещества. Свойства этих частиц проявляются только статистически в 
прямом  подчинении  распределению  Больцмана  по  кинетической  энергии  хаотического  теплового 
движения. 
Ведущая  роль  кристаллоподвижных  частиц  должна  проявляться  в  свойствах  жидкости,  среди 
которых  наибольшее  теоретическое  и  практическое  значение  имеет  температурная  зависимость 
вязкости  в  широком  диапазоне  температур  вплоть  до  точки  кипения,  где  экспериментальное 
определение этого свойства затруднительно для высококипящих веществ. 
На  этом  основании  получены  три  полуэмпирические  модели  вязкости,  определяющиеся  для 
первой  модели  долей  кристаллоподвижных  частиц,  для  второй – разжижающим  действием  доли 
жидкоподвижных  частиц,  для  третьей – дополнительным  ослабляющим  действием  пароподвижных 
частиц.  
Было  установлено,  что  более  сильная  зависимость  от  температуры  помимо  ее  обоснования  за 
счет  разжижающего  влияния  жидкоподвижных  и  пароподвижных  частиц  может  быть  объяснена 
образованием ассоциированных или агрегированных элементарных кластеров, разрушение которых с 
повышением  температуры  происходит  параллельно  с  разрушением  элементарных  кластеров.  Это  и 
создает эффект более сильного влияния температуры на вязкость в случае формирования подобных 
ассоциатов или агрегатов.  
Авторами  данной  работы  был  учтен  данный  эффект  в  рамках  базовой  первой  модели  путем 
усиления температурного фрагмента (
Т
r
/
Т) и на этом основании предложена обобщенная кластерно-
ассоциатная модель кинематической вязкости 

 = 

r
(
T
r
/
T)
a
, где показатель 
a 
 степень ассоциациип-
частичных кластеров. 
Все  модели  были  проверены  на  справочных  данных  для  металлов,  а  их  адекватная 
избирательная  применимость  к  тем  или  иным  группам  периодической  системы  была  обоснована 
закономерной связью с потенциалами ионизации металлов. 

жүктеу/скачать 13,82 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: