Халықаралық ғылыми-тәжірибелік конференция материалдары

345
 
 
На  рисунках  1,  2и  3  представлены  кривые  растяжения  сварных  образцов 
состоящих из двух пластин  АМг3 с разным количеством сварных точек.   
 
Рисунок 2 -Кривая растяжения образца из алюминиевого сплава АМг3 с  1 
сварной  точкой 
 
На  рисунке  2  показана  кривая  растяжения  образца  состоящего  из  двух 
пластин  алюминиевого  сплава  АМг3  соединенных  друг  с  другом  методом 
холодной сварки. Данный образец соединялся одной точкой, по этому обладает 
малым пределом прочности и малым пределом текучести.  
На  рисунке  3  показана  кривая  растяжения  образца  из  сплава  АМг3 
полученного    методом  холодной  сварки  обладающий  двумя  сварными 
соединениями (точками).  
 
Рисунок 3 -  Кривая растяжения образца из алюминиевого сплава АМг3 с  
2 сварными точками 
 
Из  кривой  мы  видим  два  пика,  это  связано  с  тем,  что    сварные  точки 
разрывались по очереди, а не совместно. 
 
Рисунок  4 -  Кривая растяжения образца из алюминиевого сплава АМг3 с  
4 сварными точками 
 
Из  рисунков    2,  3  и  4  видно  увеличение  предела  прочности  образцов  с 
увеличением  количества  сварных  точек.  Это  видно  при  сравнении  кривых 

346
 
 
нагружения  с  кривой  нагружения исходного  монолитного  образца.  Причем из 
кривых нагружения так же видно, что увеличения количества сварных точек в 
разы увеличивает прочность. 
После  нами  было  проведено  исследование,  поверхности  структуры  зоны 
разрыва  сварного  соединения  образцов,  после  их  испытания  на  растяжения,  в 
электроном сканирующем микроскопе Hitachi ТМ 3000 
     Из рисунка 5 видно, что образцы не подвергшиеся  холодной сварки не 
имеют выделившегося из структуры Mg. В процесс пластической деформации 
можно  видеть  перераспределение  компонентов  входящих  в  сплав.  В  данном 
случае магний выделяется из сплава в виде частиц, как это показано рисунке 5. 
Мы  видим  темные  частицы  разных  размеров  из  литературы  известно,  что  в 
процессе  пластической  деформации  могут  выделяться  соединения  магния  с 
алюминием.  
 
Рисунок  5 -  Распределение частиц на поверхности алюминиевого сплава 
не подвергавшегося холодной сварки 
 
Рисунок 6 -  Структура поверхности зоны кратера после  разрыва образца 
из пластин алюминиевого сплава АМг3. 
 
Гинье-Престона 
зоны - 
представляют 
собой 
весьма 
малые 
(субмикроскопические)  объемы  твердого  раствора  с  резко  повышенной 
концентрацией 
растворенного 
компонента, 
сохраняющие 
решетку 
растворителя.  Скопление  растворенных  атомов  вызывает  местное  изменение 
периода решетки твердого раствора.  
При  значительной  разнице  в  размерах  атомов  A  и  B,  как  это,  например, 
наблюдается  в  сплавах  Al-Cu  (атомный  радиус  Al  равен  0,143  нм;  Cu  -  0,128 
нм),  зоны  Гинье-Престона  имеют  форму  дисков,  толщина  которых  (учитывая 
искажения  решетки)  составляет несколько  межатомных расстояний, диаметр  - 
10-50  нм.  Диски  закономерно  ориентированы  относительно  пространственной 
решетки  растворителя.  При  небольшом  различии  в  атомных  диаметрах 
компонентов, как, например, в сплавах Al-Zn (атомный радиус Zn равен 0,138 
нм), обогащенные зоны имеют форму сфер[6]. 

347
 
 
На рисунке 6 показана структура поверхности зоны кратера после  разрыва 
образца  из  пластин  сплава  АМг3.  На  ри  сунке  мы  можем  наблюдать  темные 
пятна, которыми является магний.  
 
Рисунок  7  -  Поверхность  зоны  разрыва  образца  из  алюминиевого  сплава 
АМг3 
 
На  рисунке  7  на  поверхности  видно  светлое  пятно  (частица),  которое 
является  железом.  Это  подтверждается  картирование.    Данная  частица  была 
внесена в образец из пуансона.   
В ходе исследовании был сделаны выводы: 
1.
 
Подобраны  параметры    режима  для  получения  сварного  соединения 
меди и АМг3 методом холодной точечной сварки на установке ИП-2500М авто; 
2.
 
Исследование  электрических  характеристик  образцов  полученных 
методом  холодной  точечной  сварки  показало  незначительное  отличие  от 
монолитных образцов, что свидетельствовать о хорошем сварном соединении; 
3.
 
Исследование  образцов  на  растяжение  показало,  что  увеличение 
количества сварных точек значительно увеличивает прочность соединения. 
4.
 
Исследование  структуры  поверхности  зоны  разрыва  образцов  после 
испытания на растяжение показало перераспределение элементов. Так же было 
выявлено  выделение  частиц  магния  из  сплава  АМг3  после  приложенной 
нагрузки. 
 
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 
1
 
Болдырев,  В.  В.  Экспериментальные  методы  в  механохимии  твердых 
неорганических веществ/ В. В. Болдырев – Новосибирск, 1983.- 65 с. 
2
 
 Айнбиндер,  С.  Б. Холодная сварка  металлов  /  С.  Б.  Айнбиндер  –  Рига: 
Изд–во АН ЛатвССР, 1957. – 162 с. 
3
 
Панин В.Е. Физическая мезомеханика поверхностных слоѐв твѐрдых тел 
// Физическая мезомеханика, 1999 (2), № 6, 5–23 
4
 
Губкин 
С.И. 
Пластическая 
деформация 
металлов 
// 
Машиностроение//1961-306с. 
5
 
 Кришман 
М.М.,  Мерсон  Д.Л.  Взаимосвязь  макролокализации 
деформации, прерывистой текучести и особенностей акустической эмиссии при 
деформипрвании 
алюминиево-магниевых 
сплавов//ФММ.-1996.-т.81.-№1.-
с.156-162 
6
 
Металлы и сплавы. Справочник // Под редакцией Ю.П. Солнцева; НПО 
Профессионал // Санкт Петербург// 2003 – 112-118с. 

348
 
 
УДК 519.6 
УАЛЬЖАНОВА Ш.А., АМЕНОВА  Ф.С. 
ВГКУ имени С. Аманжолова, г. Усть-Каменогорск, Казахстан  
 
ИССЛЕДОВАНИЕ СХОДИМОСТИ ИТЕРАЦИОННЫХ АЛГОРИТМОВ 
С АППРОКСИМАЦИЕЙ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ ПО  
ФОРМУЛЕ ВУДСА 
 
Одно  из  направлений  численного  исследования  двумерных  течений 
несжимаемой  жидкости  основывается  на  решении  уравнений  Навье-Стокса, 
записанные  в  переменных  «функция  тока,  вихрь  скорости»  с  применением 
различных способов задания граничных условий для вихря скорости [1-11]. Для 
определения 
вихря 
скорости 
на 
границе 
наиболее 
популярными 
аппроксимативными  формулами  являются  формулы  Тома  и  Вудса,  имеющие 
первый  и  второй  порядок  точности  соответственно  [1,2].  Теоретическим  и 
практическим  вопросам  использования  формулы  Тома  в  расчетах  течений 
несжимаемой  жидкости  посвящаются  достаточное  количество  работ  [5-11].  В 
работе [5] для двумерных уравнений Стокса доказана абсолютная устойчивость 
классических  неявных  разностных  схем  и  предложены  устойчивые  прямые  и 
итерационные  методы  решения  разностных  краевых  задач  методом 
операторных  неравенств.  В  работе  [6]  на  основе  метода  расщепления  по 
физическим  процессам  предложен  численный  метод  решения  начально-
краевых  задач  для  уравнений  Навье-Стокса,  записанных  в  переменных 
«функция  тока,  вихрь  скорости».  Проведено  исследование  устойчивости  по 
линейному приближению разностных схем. В работе [7] исследованы вопросы 
сходимости  одномерных  сеточных  уравнений  для  несжимаемой  жидкости  в 
переменных «функция тока, вихрь скорости» с краевыми условиями для вихря 
скорости  по  формуле  Тома.Теоретические  результаты  по  исследованию 
применения  формулы  Вудса  для  вычисления  на  границе  значений  вихря 
скорости для уравнений несжимаемой жидкости фактически отсутствуют.  
В данной работе на примере модельной одномерной сеточной задачи для 
несжимаемой  жидкости  в  переменных  «функция  тока-вихрь  скорости» 
рассмотрены  итерационные  алгоритмы  с  краевыми  условиями  Вудса. 
Проведены исследования на сходимость решений итерационных алгоритмов  к 
решению  разностной  задачи  и  получены  оценки  скорости  сходимости 
итерационных  алгоритмов.  Проведен  сравнительный  анализ  теоретических 
результатов  исследования  итерационных  алгоритмов  для  решения  системы 
одномерных  сеточных  уравнений  несжимаемой  жидкости  в  переменных 
«функция  тока-вихрь  скорости»  с  краевыми  условиями  Тома  и  с  краевыми 
условиями Вудса. 
Постановка  задачи  и  вопросы  ее  решения.  В  сеточной  области 
рассмотрим  одномерную  разностную  задачу  для  несжимаемой  жидкости 
следующего вида 
 
,
0
,
k
k
x
x
x
f
 
 
 
 
 
 
(1) 

349
 
 
 
k
k
x
x ,
,
,
1
,
1 N
k
  
 
 
 
 
 
(2) 
 
,
0
0
N
 
 
 
 
 
 
 
 
(3) 
с краевыми условиями для вихря скорости по формуле Вудса [1] 
 
,
3
2
1
0
,
1
0
x
h
N
x
N
N
h
,
1
3
2
1
.   
 
 
(4) 
Для  численного  решения  разностной  задачи  (1)-(4)  рассмотрим  явный 
итерационный алгоритм следующего вида (Алгоритм ВI):  
 
,
,
1
k
n
k
x
x
n
k
n
k
f
 
 
 
 
 
 
 
(5) 
 
,
1
1
,
n
k
n
k
x
x
1
,
1 N
k
, 
 
 
 
 
 
 
(6) 
 
,
0
1
1
0
n
N
n
),
(
0
0
kh
k
,
,
0 N
k
 
 
 
 
 
(7) 
 
,
3
2
1
1
0
,
1
1
1
0
n
x
n
n
h
1
,
1
1
1
3
2
1
n
N
x
n
N
n
N
h
.   
(8) 
Исследуем вопрос о сходимости решения итерационного алгоритма (5)-(8) 
к решению разностной задачи (1)-(4).  
Здесь  и  в  дальнейшем,  будем  использовать  общепринятые  обозначения  и 
известные неравенства из теории разностных схем [12]. 
Для погрешностей итераций имеем следующие соотношения 
 
,
,
1
n
k
x
x
n
k
n
k
z
z
z
   
 
 
 
 
 
 
 (9) 
 
,
1
1
,
n
k
n
k
x
x
z
 
,
1
,
1 N
k
   
 
 
                 (10) 
 
,
0
1
1
0
n
N
n
  
),
(
0
0
kh
k
   
,
,
0 N
k
 
 
,
3
2
1
1
0
,
1
1
1
0
n
x
n
n
h
z
z
 
1
,
1
1
1
3
2
1
n
N
x
n
N
n
N
h
z
z
. 
        (11) 
Соотношение (9) умножим на 
1
2
n
 и просуммируем по узлам сетки 
h
D
. В 
результате можно получить следующее энергетическое тождество: 
0
,
2
2
1
1
,
1
0
,
0
2
1
2
2
1
n
x
x
n
x
x
n
N
x
n
N
n
x
n
n
x
n
x
n
x
n
x
z
z
. 
Учитывая  краевые  условия  (11)  и  применяя  несложные  преобразования 
имеем: 
2
1
2
0
1
2
2
0
2
1
2
2
1
6
2
n
N
n
N
n
n
n
N
n
n
x
n
x
n
x
n
x
z
z
z
z
h
z
z
h
n
N
x
n
N
x
n
N
n
x
n
x
n
n
N
n
z
z
z
z
h
,
1
,
0
,
1
0
,
0
2
1
2
1
2
6
 
0
2
1
2
1
2
n
x
x
n
x
x
n
x
x
n
x
x
. 
Используя известные неравенства получим: 
h
h
n
N
x
n
N
x
n
x
n
x
n
x
n
x
2
,
1
,
2
0
,
1
0
,
2
2
2
1
6
1
 

350
 
 
0
6
5
4
1
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
1
2
h
z
z
h
h
h
N
k
n
x
x
n
N
n
n
x
x
N
k
n
x
n
x
. 
Следовательно, при выполнении условия  
 
0
6
1
2
h
 
 
 
 
 
 
 
(12) 
имеем следующие неравенства:  
0
6
5
2
2
1
0
2
2
1
n
x
n
x
n
x
n
x
, 
0
0
, 
0
1
n
x
n
x
q
, 
где  
1
1
1
q
, 
1
6
5
0
, 
то  есть,  итераций  по  алгоритму  (5)-(8)  сходятся  со  скоростью 
геометрической  прогрессии  со  знаменателем 
1
q
.  При  этом  можно 
гарантировать,  что  величина 
n
q
где    –  число  характеризующее  точность 
итерации, если  
 
.
1
ln
)
1
(
)
(
2
0
h
O
n
n
  
 
 
 
 
(13) 
Сравнивая  число  итераций
)
(
0
n
  из  Теоремы  1,  полученное  при 
исследовании  явного  итерационного  алгоритма  (Алгоритм  I)с  краевыми 
условиями по формуле Тома, рассмотренный в работе [7] ичисло итераций(13) 
можно  заключить,  что  принципиальных  различий  в  числах  итераций  нет,  и  в 
обоих случаях решения итерационных алгоритмов сходятся почти одинаково. 
 
Далее,  для  решения  разностной  задачи  (1)-(4)  рассмотрим  неявный 
итерационный алгоритм следующего вида (Алгоритм BII) 
 
,
1
,
1
k
n
k
x
x
n
k
n
k
f
 
 
 
 
 
 
(14) 
 
,
1
1
,
n
k
n
k
x
x
 
1
,
1 N
k
,   
 
 
 
 
(15) 
 
,
0
1
1
0
n
N
n
 
),
(
0
0
kh
k
 
,
,
0 N
k
   
 
 
(16) 
 
,
3
2
1
0
,
1
1
1
0
n
x
n
n
h
n
N
x
n
N
n
N
h
,
1
1
1
3
2
1
. 
(17) 
Для погрешностей итераций имеем следующие соотношения: 
 
,
1
,
1
n
k
x
x
n
k
n
k
z
z
z
   
 
 
 
 
 
(18) 
 
,
1
1
,
n
k
n
k
x
x
z
 
,
1
,
1 N
k
   
 
 
 
 
(19) 
,
0
1
1
0
n
N
n
,
3
2
1
0
,
1
1
1
0
n
x
n
n
h
z
z
n
N
x
n
N
n
N
h
z
z
,
1
1
1
3
2
1
.  (20) 

351
 
 
Соотношение  (18)  скалярно  умножим  на 
1
2
n
  и  просуммируем  по  узлам 
сетки. Используя формулы суммирования, получим энергетическое тождество: 
2
1
2
1
0
2
1
2
1
2
2
1
2
2
n
N
n
n
x
x
n
x
n
x
n
x
n
x
z
z
h
2
1
1
1
2
1
1
1
0
2
1
1
2
1
1
6
6
n
N
n
N
n
n
n
N
n
z
z
z
z
h
z
z
h
 
0
)
(
)
(
2
,
1
,
1
0
,
1
0
,
1
0
n
N
x
n
N
x
n
N
n
x
n
x
n
z
z
. 
Используя  -неравенство, получим 
1
2
2
1
2
,
1
,
2
0
,
1
0
,
2
2
2
1
2
1
N
k
n
x
n
x
n
N
x
n
N
x
n
x
n
x
n
x
n
x
h
h
h
0
6
2
2
1
1
2
1
1
2
1
n
N
n
n
x
x
z
z
h
. 
При выполнении условия 
 
0
2
1
2
h
   
 
 
 
 
 
 
(21) 
имеем следующие неравенства 
0
6
11
2
1
0
2
2
1
n
x
n
x
n
x
, 
n
x
n
x
q
1
, 
где 
1
6
11
1
1
0
q
, 
то есть, можно заключить, что итераций по алгоритму(14)-(17) сходятся со 
скоростью  геометрической  прогрессии  со  знаменателем 
1
q
  и  для 
)
(
0
n
справедливо соотношение 
 
.
1
ln
)
1
(
)
(
2
0
h
O
n
n
   
 
 
 
(22) 
И в этом случае, сравнивая число итераций 
)
(
0
n
 из Теоремы 2, полученное 
при исследовании неявного итерационного алгоритма (Алгоритм II) с краевыми 
условиями по формуле Тома [7] и число итераций (22) можно заключить, что в 
обоих  случаях  решения  итерационных  алгоритмов  сходятся  одинаковосо 
скоростью геометрической прогрессии со знаменателем меньше единицы. 
Из  выше  изложенного  видим,  что  использование  краевых  условий  Вудса 
накладывает  ограничения  на  выбор  итерационных  параметров.  Для  решения 
этой  проблемы  в  данной  работе  рассмотрена  операторно-разностная  задача 
[3,4],  для  которой  рассмотрена  итерационная  схема,  аналогичная  схеме 
расщепления,  исследованная  в  работе  [7].  Непосредственное  использование 
краевых  условий  Вудса  для  численной  реализации  разностных  уравнений 
(1),(2)  приводит  к  необходимости  проведения  процедуры  реалаксации 
граничных  значений.  В  отсутствии  данной  процедуры  при  соблюдении 
практических 
условий 
устойчивости 
обнаруживается 
расходимость 

352
 
 
итерационных 
схем. 
Наиболее 
современные 
итерационные 
методы 
используются  для  разностных  уравнений  (1)  и  (2),  получаемые  из  введения 
вспомогательной функции вихря скорости с однородными краевыми условиями 
на  границе  [4].  Следуя  этому,  введем  вспомогательную  функцию  вихря 
скорости по формуле 
,
,
0
3
,
1
,
1
,
,
0
,
0
3
,
0
,
0
N
k
h
N
k
k
h
N
x
N
k
x
k
 
и систему алгебраических уравнений (1),(2) для функций (
,
) запишем в 
виде 
 
,
0
,
k
k
h
k
x
x
f
A
 
 
 
 
 
 
(22) 
 
,
,
k
k
x
x
,
1
,
1 N
k
 
 
 
 
 
 
(23) 
с краевыми условиями следующего вида 
 
,
0
0
N
.
0
2
1
,
0
2
1
1
1
0
N
N
 
 
 
(24) 
Здесь  
,
)
(
3
1
,
1
,
4
k
N
k
k
k
h
h
A
.
,
1
,
,
0
m
k
m
k
km
 
Для  нахождения  решения  операторно-разностной  задачи  (22)-(24) 
рассмотрим итерационный алгоритм следующего (Алгоритм BIII) 
 
,
2
1
,
2
1
k
n
k
h
n
k
x
x
n
k
n
k
f
A
 
 
 
(25) 

жүктеу/скачать 7,69 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: