| Теорема: Барлық алгебралық сандар жиыны – есепті:
Бүтін n–ші дәрежелі теңдеудің түбірлері әрқашанда алгебралық сандар болады.
Теорема: Берілген шексіз жиынға есепті не шекті жиынды қоссақ, бастапқы жиынға эквивалентті жиын шығады.
Айталық, К – есепті не шекті жиын болсын. .
Дәлелдеу: А – шексіз болғандықтан, , В – есепті бөлігі;
А\В=С, С жиыны да – шексіз жиын болады немесе
А класының ең үлкені Х класында ең үлкені болатындығын көрсетейік.
Айталық, а0-дің Х класында ең үлкені болатындығын көрсетейік. Ол үшін кері жориық.
Яғни, Х класында а0-ден де үлкен сан болсын. Оны деп белгілейік.
Құруымыздан көрінеді: , себебі
болғандықтан, рационал сандар жиынының тығыздығы бойынша теңсіздігін қанағаттандыратын r саны табылады. Осы r–дің қай класта жататындығын көрсетейік.
бойынша, онда
болса,
қарастырсақ, болады.
Қарасақ, бірдей уақытта Х-та да, У-те де жатады. Ал, олай болуы мүмкін емес. Себебі, кез-келген рационал сан не А-да, не В-да жатады. Яғни, біздің жоруымыз дұрыс емес. Яғни, а0 – Х класында ең үлкені болады. Қима І-ші типті қима болады.
Дәл осылай рационал сандар жиынындағы 2-ші типті қима Х,У класында да 2-ші түрлі қима болатындығын көрсетуге болады.
Енді А және В кластарының қимасы 3-ші типті қима болсын. Бұл жағдайда 3-ші түрлі қима иррационал санды анықтайды.
-дің жоғарыдағы айтқан 2 класқа кірісіп кететінін көрсетейік.
Айталық, болсын. Онда ол осы кластың ең үлкені болады. Ол үшін тағы кері жориық.
Айталық, -ден үлкен саны табылсын: .
Онда бір r рационал саны табылып, теңсіздігі орындалады.
теңсіздігі бойынша ал теңсіздігі бойынша болады. Себебі, жоруымыз бойынша - х-тың ең үлкені.
болса, онда , себебі ;
Ал бұл рационал сан тек бір ғана класта жатады деген тұжырымға қайшы. Сондықтан, сан бар деген жоруымыз дұрыс емес. Сонымен бірге у-те ең кіші сан болмайды. Бұл дегеніміз х,у қимасы 1-типті қима.
Дәл осылай у-те болса, соның ең кіші болатындығын көрсетейік. Оның 2-ші типті қима құрайтындығын көрсетуге болады. Бұдан, шынымен де рационал сандар жиынындағы 3 түрлі қима нақты сандар жиынында тек 2-ақ түрлі қима болатындығын көреміз. Яғни, х,у қимасы бір ғана нақты санды анықтайды. Ол нақты сан х және у кластарының шекаралық саны болады.
Нақты сандар жиыны мен сан түзуі арасындағы сәйкестік мына аксиомаға негізделеді:
Аксиома: Егер сан түзуіндегі барлық нүктелерді Х класындағы нүктелер У класының сол жағына орналасатындай етіп бөлсек, онда Х класында ең шеткі нүкте – оң жақ нүкте болады, ал У-те ең шеткі – сол жақ нүкте болмайды немесе У-те ең сол жақ шеткі нүкте болады да, Х-та ең шеткі оң жақ нүкте болмайды.
Лекция3.Сан тізбегі және оның шегі.Жинақты тізбектің қасиеттері. Жинақты тізбектерге қолданылатын амалдар. Шексіз аз және шексіз үлкен тізбектер.
1- анықтама. Егер санға белгілі бір ереже (заң) бойынша нақты саны сәйкестендірілсе, онда сан тізбегі немесе жай тізбек берілген дейді.
Тізбекті
символдарының біреуімен белгілейді.
2- анықтама. Егер кез келген санына сәйкес N=N() саны табылып, үшін
теңсіздігі орындалса, а санын тізбегінің шегі деп атайды да оны былай жазады:
3- анықтама. Егер тізбек шегі саны тиянақты (шекті) сан болса, онда оны а санына жинақты дейді.
Достарыңызбен бөлісу: | 
