Лекци Жиын ұғымы. Жиындарға қолданылатын кейбір амалдар. Жиындардың теңдігі. Эквиваленті жиындар. Ақырлы және ақырсыз жиындар. Сандар жиыны. Ақырсыз жиындар
жүктеу/скачать 2,71 Mb.
|
умк анализ фунд.сұрақтары
- Бұл бет үшін навигация:
- Функциялық қатарлар мен тізбектердің жинақталуы. Бірқалыпты жинақталу. Қатарлардың бірқалыпты жинақталуының арнайы белгілері. Бірқалыпты жинақталатын тізбектер мен қатарлардың қасиеттері
| 6. Өлшенетін функциялар
Айталық, өлшенетін Е жиыны берілсін, f(x) функциясы Е жиынында анықталсын. Анықтама: f(x) функциясы өлшемді деп аталады, егер де кез-келген А саны үшін f(x)>A теңсіздікті қанағаттандыратын, Е жиынының нүктелері үшін E{f(x)>A} өлшемді болса; Егер f(x) Е жиында өлшемді болса, онда E{f(x)>A} бірге мына жиындар да өлшемді болады: 1. Шынында да, бұл жиынды өлшенетін екі жиынның айырымы ретінде қарастыруға болады, яғни, 2. , мұндағы В – А сияқты кез-келген сан. Бұл жиын екі өлшенетін жиынның қиылысуы ретінде өлшенетін жиын болады. Шынында да . 3. Егер болса да, жиын өлшемді болады. Мұны көрсету үшін формуласының дұрыстығын көрсету жеткілікті, мұндағы теңдіктің дұрыстығын көрсету үшін жиынның бөліктілігін пайдаланамыз. Айталық, жиында жатсын. Ол дегеніміз . Ендеше әрбір –ге тиісті, яғни . Енді . Онда жиынның қиылысуы бойынша үшін . Ал бұл дегеніміз –-ң берілуі бойынша . Ал бұл тек орынды. . 4. түріндегі жиындар да өлшемді болады. Себебі, ол екі өлшенетін жиынның бірігуінен тұрады. 5. түріндегі жиындар да өлшемді болады. Бұл жиынды екі өлшенетін жиынның айырымы ретінде қарастыруға болады, яғни 6.Сонымен бірге, мына жиындардың өлшемді екенін көрсетуге болады: Теорема 1: Егер Е жиында өлшемді болса, онда ол оның кез-келген өлшемді бөлігінде де өлшемді функция болады. Дәлелдеу. Айталық, өлшемді бөлігі болсын. саны бойынша қанағаттандыратын нүктелерге сәйкес жиынды деп белгілейміз. Сонда . Теореманың шарты бойынша Е* өлшемді 2-жиын да өлшемді, себебі функциясы да өлшемді. Олай болса, , себебі ол өлшемді жиынның қиылысуынан тұрады. Е* анықтамасынан функциясы да өлшемді болады. Теорема 2: Егер берілген саны шекті, не есепті Ек жиында өлшемді болса, онда ол функция осы жиынның бірігуінде де өлшемді болады: . Дәлелдеу. Ек және жиыны кез-келген к-да өлшемді. Себебі, теореманың шарты бойынша Ек өлшемді. Ал әрбір Ек-да өлшемді. Ал кесіндіде берілген –де өлшемді болады. Функциялық қатарлар мен тізбектердің жинақталуы. Бірқалыпты жинақталу. Қатарлардың бірқалыпты жинақталуының арнайы белгілері. Бірқалыпты жинақталатын тізбектер мен қатарлардың қасиеттері Анықтама. Сандардың мынадай ақырсыз тізбегінен құралған (1) шексіз қосындыны сан қатары (сандық қатар) деп, ал сандарын қатардың мүшелері деп атайды. Кез келген п үшін қатардың жалпы мүшесі деп аталады. Анықтама. Дербес қосындылар тізбегі үшін да -нің ақырлы, нақты шегі S бар, яғни болса, онда қатары жинақталатын қатар деп аталады және оның қосындысы деп S санын атайды да символына сандық мағына беріп мына түрде жазады: . Ал егерде дербес қосынды ке ұмтылса, немесе шегі жоқ, яғни ешқандай шекке ұмтылмаса, онда қатар жинақталмайтын қатар деп аталады. 2. Жинақталмайтын қатарлардың негізгі қасиеттері. Анықтама. Берілген қатардың алдыңғы m мүшесін алып тастағанда шығатын (2) қатары (1) қатарының m-ші қалдығы деп аталады.
Теорема. Егер (1) қатар жинақталса, онда да оның қалдығы (2) нөлге ұмтылады. Теорема. Егер (1) қатар жинақталса, онда да оның жалпы мүшесі . Теорема. Жинақталатын екі қатарды мүшелеп қосуға не азайтуға болады. Одан шыққан қатар да жинақты және оның қосындысы сәйкесінше -ға тең болады. Теорема. Жинақталатын қатарды тұрақты санына мүшелеп көбейтуге болады. Одан шыққан қатар да жинақты және оның қосындысы санына тең болады.
жүктеу/скачать 2,71 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|