1-Теорема: Егер бір теңдеулер жүйесінен элементар түрлендірулер арқылы екінші теңдеулер жүйесін алсақ, онда осы екі жүйе мәндес болады.
1-салдар: Егер жүйенің бір теңдеуіне басқа теңдеулердің сызықтық комбинациясын қосса, онда алынған жүйе бастапқы жүйеге мәндес болады.
2-салдар: Егер жүйеден теңдеулердің сызықты комбинациясы болатын теңдеуді шығарып тастаса немесе тіркеп жазса, онда бастапқы жүйеге мәндес жүйені аламыз.
2-теорема. Біртекті емес (1) сызықты теңдеулер жүйесі үйлесімді болуы үшін жүйенің матрицасының рангісі оның кеңейтілген матрицасының рангісіне тең болуы, яғни , қажетті және жеткілікті.
Дәлелдеу: жүйе үйлесімді болғанда екендігін дәлелдейік. (1) жүйенің шешімі болсын. Оны жүйедегі белгісіздердің орнына қойып m тепе-теңдік аламыз. Енді кеңейтілген матрицаның соңғы бағаны алдыңғы бағандардың сызықты комбинациясы болғандықтан, ол А матрицасының элементтері арқылы өрнектеліп, элементар түрлендіруден пайда болған матрица болып тұр. Олай болса олар эквивалентті. Демек, .
Енді болсын. Онда -ның максимальды сызықты тәуелсіз бағандарының саны мен -тың максимальды сызықты тәуелсіз бағандарының саны бірдей болады. Ол бағандар арқылы басқа бағандар сызықты өрнектеледі. Демек, сандары табылып, коэффициенттері осы сандар болатын -ның бағандарының қосындысы -тың бос мүшелерінен тұратын бағанына тең. Сондықтан (1) жүйенің шешімі болады.
Теоремадан мынадай қорытынды аламыз:
а) егер , онда (1) жүйенің тек бір ғана шешімі бар;
б) егер болса, онда (1) жүйенің шексіз көп шешімі бар және ол шешімдер теңдеуден тұратын жүйеден анықталады.
(4)
мұндағы белгісіздер бос мүшелер, олар кез келген тұрақты сандарды қабылдайды. (1) жүйеден анықталған шешімдері жүйенің жалпы шешімі деп аталады.
7-анықтама.Егер (1) түріндегі сызықты теңдеулер жүйесінің барлық бос мүшелері нөлге тең болса, онда ол жүйені біртекті сызықты теңдеулер жүйесі деп атаймыз.
белгісізі бар біртекті теңдеулер жүйесі берілсін.
(5)
немесе .
Берілген (5) жүйе үшін , Кронекер-Капелли теоремасы бойынша берілген біртекті жүйе әрқашанда үйлесімді және оның әрқашанда нөлдік шешімі бар: , ал бізге жүйенің нөлдік шешімінен өзге шешімдерін табу керек.
Енді (5) жүйенің рангісі - ге тең болсын деп ұйғарайық: , яғни матрицасының алғашқы жатық жолы сызықты тәуелсіз болады.
