Лекция Жиын ұғымы, элементі
жүктеу/скачать 1,35 Mb.
|
stud.kz-56583
- Бұл бет үшін навигация:
- Лекция 9. Санау жүйелері. Санау жүйелері туралы ұғым; Позициялық және позициялық емес санау жүйелері. Лекция мақсаты
| Бақылау сұрақтары:
1.Теріс емес бүтін сан. 2. Теріс емес бүтін сандар жиынын құрудың әртүрлі жолдары. 3.Теріс емес бүтін сандар жиынындағы “тең”, “артық” қатынастары. 4.Алғаш “теңдік” таңбасын қолданған кім? 5. Алғаш “артық”, “ кем” таңбаларын қолданған математик. 6. Бос жиынның қуаты. 7.Теріс емес бүтін сандар жиынындағы “кем”, “артық” қатынастары. 8. Теріс емес бүтін сандар жиынын құрудың теориялық-жиындық тәсілі. 9.Санаудың ондық жүйесі қай ғасырда, қай жерде қалыптасты. 10.Д.Пеано аксиомасы. Жаттығу: 1.Теріс емес бүтін сандарды 3 –ке бөлгенде қалдықта қанша қалуы мүмкін. 2. Теріс емес бүтін сан дегеніміз: ; ; ; қайсысы дұрыс? 3.Бастауыш сыныптың математика оқулығынан “кем”, “артық” қатысын Лекция 9. Санау жүйелері. Санау жүйелері туралы ұғым; Позициялық және позициялық емес санау жүйелері. Лекция мақсаты 1.Санау жүйесі туралы ұғым беру. 2. Кез келген жүйеден екінші жүйеге көше алуы. Лекция мәтіні. Санау жүйесінің қандайы болса да мынадай принципке негізделеді: бірліктердің белгілі бір саны келесі жоғарғы дәрежесінің, немесе жоғарғы разрядтың жаңа бірлігін құрайды. Бұл сан санау жүйесінің негізі деп аталады. Осы санға қарай нумерация жүйесіне арнаулы атау беріледі, анықтап айтқанда: егер нумерацияның негізіне 12 саны алынған болса, екілік деп т.с.с. аталады. Қандай да болсын бір санау жүйесі бойынша таңбаланған сан жүйелі сан деп аталады. Санау жүйесін мүмкін болғанша кәмелет түрген келтіру қажет деген ой мәдениеттің ең ерте кездерінің өзінде-ақ барлық халықтарда дерлік болып, ол ой күнделік өмір қажетінен туған. Алғашқы адамдар санау процесінде стандарт жиындар ретінде өздері жақсы білетін етене жинақтың, бөлігін пайдаланған, ал қуаты көбірек жиынды білуі қажет болған жағдайларда, ол жинақты бірте-бірте ұлғайтып отырған. Осылайша ұлғайту нәтижесінде жаңа стандарт жиындар шығарып алу тәсілін сипаттайтын сандарға жаңадан атау беріп отыру қажет болған. Алайда стандарт жиындар сан алуан болғанмен, олардың бәріне тән жалпы бір ерекшелігі болған; оларды құрайтын элементтерді адам жеке-дара күйінде қабылдауымен қатар, ол элементтерді өз ұғымында біріктіріп, өзі жақсы білетін тұтас жиын ретінде қабылдаған. Сөйтіп, әрбір стандарт жиын туралы адамның айқын түсінігі болған. Адам баласының көпшілігі жиынды осы түрде түсінетін болғандықтан, көбінесе олар 10 элементтен құралған жиынмен қанағаттанған (сірә, бұл адамның он саусағы болатындығына байланысты болар), сондықтан мәдениеттің алғашқы кезеңдерінде стандарт жиындарды ұлғайту процесінде көбінесе сол он элементтен құралатын жинақпен қанағаттанып отырған. Бірақ мәдениеттің өркендеп дамуымен байланысты қуаты бұдан едәуір артық жиынды білу қажет болған. Осы практикалық қажеттен санаудың мынадай әдісі пайда болған: жиынды санау процесінде стандарт жиынды сипаттайтын белгілі бір санға, көбінесе 10 санына жеткенде, 10 элементтен құралған топты өз алдына жеке бөліп, онан әрі қарай тағы да бірден бастап санаған, сөйтіп жаңа топ құралғанша осылай санай отырып, бұл топтардың санын және қалған элементтер санын анықтап отырған. Осындай 10 топ шыққанда, олардың өзін үлкен бір топ ретінде қарастырып, мұндай топтарға, жеке элементтерге арнаулы атаулар берілген. Осындай қарапайым принципті қолдану нәтижесінде, түсінікке жеңіл аздаған сандар жинағын пайдаланып, тең қуатты жиындардың практикалық іс-әрекет кездесетін кез келген кластарын сипаттауға мүмкін болды. Сөйтіп, адамның іс-әрекетінің нәтижесінде сан формаларының жүйесін жасау қажет болды, тек бұл ғана емес, мейлінше мінсіз санау жүйесін теориялық жағынан негіздеу жолында адамның ақыл-ойының іздену бағытын да адамның сол іс-әрекеті анықтап берді. Практикалық талаптарға сай тіл де жүйелік сан ұғымының сол жоғарыда көрсетілген тәсіліне орайласа отырып, мәдениеттің төменгі сатыларының өзінде-ақ “бір”, “екі”, “үш” т.с.с. ұғымдарды білдіру үшін эәне элементтердің түрліше топтарын атау үшін жеке сөздер жасады және сол сөздерді пайдаланып басқа қалған сандардың атауларын құрастырды. Ерекше таңбаларды қолданып, сандарды жазбаша түрде кескіндеу едәуір кейініректе дамыған және алғашқы кездерде тіпті ертедегі гректер мен римдіктер сияқты жоғары мәдениетті халықтардың өздеріне өте қолайсыз болған. Саны шамалы ғана шартты таңбаларды пайдаланып, қарастырылып отырған жүйенің кез келген санын жазбаша кескіндеп көрсету мәселесін тек біздің эрамыздың басында ғана индустар шешкен, бұл үшін олар сандарды кескіндеу үшін қолданылатын таңбаларға алып тұрған “орындарына қарай” мән беру керек деген идеяны ұсынған. Бұл идеяның түпкі мәні мынау: бір таңбаның өзі берілген санның жазбаша кескіннінде алып тұрған орнына қарай әр түрлі мәнге ие болады. Санау жүйесінің негізі етіп бір k санын алсақ, санау жұмысын жүргізу үшін біздің қарамағымызда сандардың мынадай қатарлары болады: І. 1, 2, 3, 4, ..., (k-1). ІІ. k, 2k, 3k, 4k, ..., (k-1)· k ІІІ. k2, 2k2, 3k2, 4k2, ..., (k-1)· k2 ........................................................ ........................................................ (n+1) ·kn, 2kn, 3kn, 4kn,..., (k-1)· kn Негізгі k саны болып келген бұл санау жүйесінде кез келген N санын мынадай қосындысы түрінде көрсетуге болады: N=an·kn+an-1·kn-1+…+a3·k3+a3·k2+a1·k1+ao, мұндағы ao, a1, a2, a3,..., an таңбалары 1-ден (k-1) – ге дейінгі, (k-1) санын қоса алғандағы, сандарды кескіндеу үшін қолданылған таңбалар. Ондық жүйенің он цифрын пайдаланып басқа бір жүйедегі кез келген санды жазып көрсетуге болады, бұл үшін ол жүйенің негізі 10-нан кем болу керек. Мысалы, 786 санын бестік жүйе бойынша жазып көрсетейік. Әуелі 786 жай бірліктерден бестік жүйенің 2-ші разрядының неше бірліктерін құрауға болатындығын анықтайды, ол үшін 786-ны 5-ке яғни жүйенің негізіне бөлу керек. Сонымен, біз бұл бөлуден 2-разрядтың 157 бірлігін және бірінші разрядтың 1 бірлігін таптық. Енді 2-разрядтың 157 бірлігінде 3-разрядтың неше бірлігі болатындығын анықтайық. Ол үшін 2-разряд бірліктерінің санын тағы жүйенің негізіне, яғни 5-ке бөлуіміз керек екендігі анық. 157 (2-разряд бірліктері) 5/31 (3-разряд бірліктері) 2-қалдық: 2-разрядтың 2 бірлігі. 3-разряд бірліктерінің санын (31-ді) 5-ке бөліп, бөліндіде 4-разряд бірліктерінің санын, ал қалдықта 3-разряд бірліктерінің санын табамыз. 31 (3-разряд бірліктері) 5/6 (4-разряд бірліктері), 3-қалдық: 3-разрядтың 1 бірлігі. 4-разряд бірліктерінің санын (6-ны) 5-ке бөліп табатынымыз: 6 (4-разряд бірліктері) 5/1 (5-разряд бірліктері), 4-қалдық; 4-разрядтың 1 бірлігі. Сонымен, ондық жүйеде 786 болып белгіленген санда бестік жүйе бойынша: 5-разрядтың 1 бірлігі, 4-разрядтың 1 бірлігі, 3-разрядтың 1 бірлігі, 2-разрядтың 2 бірлігі және 1-разрядтың 1 бірлігі болады екен, яғни 11 121. Ондық жүйенің санын басқа бір жаңа жүйенің санына айналдыру үшін, берілген санды жаңа жүйенің негізіне бөлу керек, бөліндіні жаңа жүйенің негізіне қайтадан бөлу керек, жаңа бөліндіні тағы да жаңа жүйенің негізіне бөліп, бөлінді жаңа жүйенің негізінен кем болып шыққанша осылайша бөле беру керек. Сонда бірте-бірте шығатын қалдықтар және ақырғы бөлінді таппақшы санымыздың разрядтық сандары болады. Қалдықтар соңғысынан бастапқысына қарайғы ретпен жазылады. Сан қандай нумерация жүйесі бойынша жазылғандығын белгілеп көрсету үшін, ол санның оң жағына төменнен жүйенің негізін жазады, мысалы, 11 1215 немесе 11 121. Жоғарыда қарастырылған мысалды былай жазуға болады: 78610= 11 1215. Кері жағдай. Сегіздік жүйе санын ондық жүйе санына айналдыру керек болсын: 32 0758=Х10. Сегіздік нумерация жүйесінде 5-разрядтың бірлігі 4-разрядтың 8 бірлігіне тең болғандықтан, 5-разрядтың 3 бірлігі, 4-разрядтың 8·3=24 бірлігіне тең болады: 4-разрядтың 24 бірлігіне берілген санның 4-разрядының 2 бірлігін қосамыз, сонда 4-разрядтың 24+2=26 бірлігі шығады. Жүйенің негізі 8-ді 26-ға (4-разрядтың бірліктерінің санына) көбейтіп, 3-разрядтың 8·26=208 бірлігін табамыз. Берілген санда 3-разрядтық саны 0, демек, 208 санына ештеңе де қосылмайды, оны бірден 2-разряд бірліктеріне ұсақтау керек (олар 8·208=1 664 болады) . бұған берілген санның 2-разрядының 7 бірлігін қосып, 2-разрядтың 1 664+7=1671 бірлігін табамыз. Жүйенің негізі 8-ді 1671-ге көбейтіп, 1-разряд бірліктерінің санын табамыз, яғни 8·1671=13 368. Бұған берілген санның 1-разрядының 5 бірлігін қосып, 1-разрядтың 13 373 бірлігін табамыз. Математикада сандарды атау мен жазуға және сандарға қолданылатын операцияларды (амалдарды) орындауға арналған тілді санау жүйесі деп атайды. Сан өте ежелгі ұғымдардың бірі. Әртүрлі халықтарда жазудың пайда болуымен қатар санаудың да белгілі бір жүйелері пайда болды. Санаудың позициялық емес және позициялық жүйелері ажыратылады. Позициялық емес жүйелер әрбір таңбаның (сандарды белгілеуге арналған берілген жүйеде қабылданған таңбалар жиынтығынан алынған) әрқашан санның жасалуындағы оның алатын орнына (позициясына) тәуелсіз түрде бір ғана санды белгілеумен сипатталады. Кейде қазіргі кезде де қолданылатын римдік жүйе сондай жүйенің белгілі мысалы болып табылады. Бұл жүйеде сандарды жазу үшін латын алфавитінің әріптері қолданылады. І-бір, Ү-бес, Х-он, L-елу, С-жүз, D-бес жүз, М-мың, және т.б. ІҮ-4, ІХ-9 ХL-40, ХС-90, СD-400, СМ-900 сандары азайту арқылы, қалғандары қосу арқылы алынады. ІІ-2, ХІІ-12, LVІІ-57, т.с.с. Бұл жүйедегі қолданылатын әрбір әріп әрқашан бір ғана санды білдіреді. Сондықтан үлкен сандарды жазу мейлінше қолайсыз болды. Оның үстіне, енгізілген таңбалар жетіспейді, қаншама жаңа таңбаларды енгізгенмен олармен белгілеу қиынға соғатын, ал жаңа санды қашан да ойлап табуға болатын еді. Позициялық жүйелерде бір ғана таңба оның санның жазылуындағы алатын орнына (позициясына) байланысты әр түрлі сандарды белгілей алады. Ондық позициялық жүйе жаппай қабылданған жүйе болып табылады, ол әуелде саусақпен санаудан басталған. Ол Үндістанда ойлап табылған, онымен арабтар айналысқан және әрбір елі арқылы Европаға жеткен. Санаудың ондық жүйесіндегі сандарды жазу үшін 10 таңба қолданылады. Осы цифрлардың әрқайсысының өз атаулары бар және олар бір таңбалы теріс емес бүтін оң санның атауларына сәйкес келеді. Олардан сандардың қысқаша жазылуы болып табылатын шектеулі тізбектер құрылады. жүктеу/скачать 1,35 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|