Лекция Жиын ұғымы, элементі
жүктеу/скачать 1,35 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Лекция 7. Натурал сандар. Сандардың натурал қатарының кесіндісі. Реттік натурал сан. Натурал сандар жиыны. Лекция мақсаты
| Бақылау сұрақтары:
1.Алгоритм ұғымы. 2.Алгоритмнің негізгі қасиеттер.і. 3. Алгоритмнің түрлері. 4. Алгоритм сөзінің мағынасы. 5.Алгоритмнің түрі. Жаттығу: 1.Жолдың ұзындығын табу алгоритмін жаз. 2.Жылдамдықты табу алгоритмі; 3. Уақытты табу алгоритмі 4.Жолаушының таксимен жүргендегі төлейтін ақшасының формуласы N= 20*S +20 (мұнда S –км есебімен жүрілген жол, N-тиын есебімен төлейтін ақша) бойынша есепті шығару үшін амалдар тізбегінен тұратын алгоритм құр. 5. Тік төртбұрыштың ауданын есептеу формуласын есептер шығаруға қолдану үшін оны рет-ретімен орындалатын нұсқаулар тізбегі алгоритмін құр. 6. Жолдың ұзындығын табу алгоритмі. 7.Уақытты табу алгоритмі. 8.Жылдамдықты табу алгоритмі. Лекция 7. Натурал сандар. Сандардың натурал қатарының кесіндісі. Реттік натурал сан. Натурал сандар жиыны. Лекция мақсаты: 1.Натурал сандармен таныстыру. 2.Натурал сандарды басқа сандардан ажырата алу. Сан о баста заттарды санаудың мұқтаждығынан пайда болған негізгі математикалық ұғымдардың бірі. Ол кейін математикалық білімдердің дамуына қарай жетілдірілді. Бұл ұғым өте ерте заманда, күллі математика ғылымы сияқты адамдардың практикалық қызметінің қажеттігінен кедіп туды. Ол өте баяу қалыптасты, сөйтіп барған сайын күрделене түскен әуелі практикалық, ал онан соң теориялық сипаттағы мөселелерді шешу барысысында көптеген ғасырлар бойы біртіндеп кеңейіп жөне жалпыланып отырды. Бұл ұғымның маңыздылығы туралы ғалымдар мынандай пікірлер айтқан. Мәселен, Э.Борель: (1871-1956) "Адамдардың білімі онда санның қандай роль атқаратынына байланысты ғылым атына ие болуға ылайық", деп жазды. С.Стевин (1548-1620) былай деп жазды: "Сандардың арасында ғажайып келісімділік пен үйлесімділіктің бары соншалық, біз олардың керемет заңдылығы туралы күн-түн демей ойлануымыз керек..." "Біз, деп жазды Н..Н. Лузин (1883-1950), — бірлік ұғымын жазылғаны (ашқаны емес, жасағаны) үшін адамның данышпандығы алдында бас июге тиіспіз. Сан пайда болды, ал сонымен бірге Математика да пайда болды. Сан идеясынан, ең ұлы ғылымдардың бірінің тарихы, міне содан басталады". "Натурал сан ұғымының дамуы ерте заманда адамның заттар жиынтығының санын оларды санамай-ақ, яғни, өзара бір мәнді сәйкестікті тағайындау негізінде қабылдануымен сипатталады. Өте ұзақ дамудың нөтижесінде адам натурал сандарды жасаудың келесі кезеңіне жетті — жиынды салыстыру үшін аралық жиындарды қолдана бастады. Бұл кезеңде сан саналатын жиындардан ерекшеленген жоқ. Адам аралық жиындарды қолдануға үйренгеннен кейін барып қана объектілер мен аралық жиындар арасындағы ортақ нәрсені анықтады. Аралық жиындардан, оның элементтері табиғатынан дерексіздендіру мүмкін болатыннан кейін натурал сан туралы түсінік пайда болды. Уақыт өте келе адамдар сандарды атауды ғана емес, оларды белгілеуді де, сондай-ақ олармен амалдар орындауды да үйренді. Осынау мөселелерді шешудегі көптеген қиыншылықтар (үндістанда сандардың ондық жазуы мен нөл ұғымының жасалуы) нәтижесінде ғана жойылды. Әуелде санның жоқтығын білдірген нөл теріс сандар ұғымы енгізілгеннен кейін ғана сан ретіңде қарастырылатын болды. Натурал сандар жиынының шексіздігі тура түсінік те біртіндеп қалыптасты. "Натурал сан" терминін тұңғыш рет римдік ғалым А.Боэций /шамамен 480-524 жылдар/ қолданған. Натурал сандар арифметикасының аксиоматикалық құрылымын, әдетте, Д.Пеаноның /1858-1932/ есімімен байланыстырады, әйтсе де натурал қатардың аксиоматикалық сипаттамасы одан аздап бұрын /1888/ Р.Дедекинд /1831-1916/ тарапынан берілген болатын. Кез келген математикалық теорияның аксиоматикалық құрылымы анықталмайтын, негізгі ұғымдардың /объектілер мен қатынастардың/ тізімен беруден және негізгі ұғымдарды қанағаттандыруға тиісті аксиомалардан басталатыны белгілі. Д.Пеаноның аксиоматикалық көзқарасы тұрғысынан алғанда натурал сандар жиынын құру үшін біз “натурал сандар” /объект/ және “тікелей кейін келеді” /қатынас/ деген екі негізгі ұғымды пайдаланамыз. Бұл ұғымдар жанама түрде ол ұсынған аксиомалар жүйесімен анықталады. Санаудың ондық жүйесі қазіргі түрінде біздің заманымыздың шамамен VI ғасырында Үндістанда қалыптасты. Нөл үшін ерекше белгі енгізу үндістандық ғылымның маңызды жетістігі болды. Нөл енгізілгеннен кейін ғана жазудың оңдық жүйесі толығымен аяқталды. Алдымен нөл қандай да бір нөрсенің жоқтығын белгі үшін пайда болуы да ықтимал. Арифметика — саңдарды жөне онымен жүргізілетін амалдарды зерттейтін ғылым. Ежелгі Шығыс елдерінде: Вавилонда, Қытайда, Үндістанда, Египетте дүниеге келді. Осы елдерде жинақталған математикалық білімдерді Ежелгі Грецияның ғалымдары дамытьш, жалғастырды. Орта ғасырда арифметиканың дамуына Үндістанның, араб елдері мен Орта Азия математиктері, ал XIII ғасырдан бастап — европалық ғалымдар үлкен үлес қосты. Сөйтіп, ежелгі дүние ғалымдарының еңбектерінің өзінде-ақ натурал сандар қатарының шексіздігі анықталды /б.д.д. ІІІ ғ./. Натурал қатардың, жай саңдар қатарының шексіздігі жайында жөні соншалық үлкен сандар атауларын жасау Евклидтің "Бастамалар" деген әйгілі туыңдысыңда және Архимедтің "Құмды санау туралы" /"Псаммит"/ деген кітабында қаралған. XIX ғасырда ғалымдардың назары натурал санның математикалық теорияларын, яғни натурал саңцармен есептеулер жүргізуге негіз болған теорияларды құруға жөне логикалық түрғыдан негіздеуге аударылды. Санның натурал қатарыңдағы терең заңдылықтарды зерттеу қазіргі уақытқа дейін жалғастырыльш, сандар теориясын да қамтуда. Натурал сандар ұғымының соншылық қарапайым және табиғи көрінетіні соншалық — ғылымда ұзақ бойы оны қандай да болса қарапайым ұғымдардың термиңдерімен анықтау туралы мәселе қойылған жоқ. Натурал санды және сандардың натурал қатарын анықтаудың мейлінше өр түрлі жолдары және соған сөйкес натурал сандар жиынындағы операциялар /амалдар/ мен қатынастарды енгізуге қатысты да түрліше жолдар орын алып келеді. Натурал сандар саннан кейінгі тетелес сан болып табылмайды. Санау процесінің дамуының алғашқы сатысында сандарға әр түрлі операциялар (амалдар) колданғанда, олардың қасиеттері мен өзара қатынастарын қарастырғанда нақты жиындар алынып, тәжірибе жасалып отырған. Дамудың жоғарырақ сатысына көтерілгенде, әр жолы тәжірибе жасап жатпай-ақ, сандарға операциялар қолдана білу қажеті туған. Тарихи тұрғыдан қарастырғанда жағдай былай болып келген, адам өз айналасындағы дүниеде кездесетін сандық қатыстарды бакылау нәтижесіне сүйене отырып, тәжірибе жүзінде натурал қатар сандарының бірқатар қасиеттерін тағайындаған. Қазіргі уакытта сандардың бұл негізгі қасиеттері аксиомалар жүйесі арқылы сипатталады. Натурал сандардың аксиомаларын итальян математигі Пеано айтқан түрінде келтірейік. Ол аксиомалар мыналар: Бірлік саны ешбір натурал саннан кейінгі келесі сан бола алмайды. Әрбір а саны үшін жалғыз ғана келесі а' (немесе а+1) саны болады. Егер келесі сандар теңбе-тең болса, яғни а' = болса, онда а саны Ь санына теңбе-тең болады. Егер а санының қандай да бір қасиеті болса және егер оның мұндай қасиеті бар деп алғанда а' санында да сол қасиет болса, онда бұл қасиет натурал сандардың барлығына да тән қасиет болады (толық математикалық индукция принципі). Төртінші аксиоманы "математикалық индукция аксиомасы" деп атайды. Математикалык индукция (немесе п -нен л' = “ + 1-ге көшу) ұғымын индукция ұғымымен шатастырмау керек: индукция дегеніміз - бақылау мен тәжірибе нәтижесін пайдаланып зерттеу әдісі, ол -дедукцияға, яғни алдын- ала қабылданған ұйғарымдардан логикалық қорытынды жасау әдісіне, қарсы қойылатын әдіс. Натурал сандар заттарды санау кезінде қолданылады деп есептейді. Санау процесінде реттік натурал сандарды пайдаланады, ал жиынның барлық элементтерін санап шыққан соң осы жиынның сандық сипаттамасын алады. Басқа сөзбен айтқанда, санау кезінде сандардың натурал қатарының кесіндісін пайдаланады. Натурал сан қатары, нөл саны, бірлік ұғымдары адамдардың практикалық қажеттіліктерінен пайда болған. Сондай-ақ, сандарға қолданылатын амалдар жөніндегі бастапқы біліміміздің көзі де айналамыздағы нәрселер, олардың жиын және сол нерселердің арасындағы қатынастар болады. Элементтері өзара бірмәнді сәйкестікте болатын жиындарды тең қуатты жиындар деп атайтынбыз. Бұлар тең қуатты жиындар кластарын құрайды. Мұндай кластың мысалы ретінде a, b, c , d әәріптері жиынына тең қуатты барлық жиындардың жинағын алуға болвды. Бұл класқа мынадай жиындар енетіні айқын: жыл мезгілдерінің жиыны, бөлменің қабырғаларының жиыны т.с.с жатады. Ал енді a, b, c , d ,е әріптері жиынына тең қуатты барлық жиындар жинағын алатын болсақ, бұл жинақ әрине басқа бір класс құрайтын болады. Бұл класқа, мысалы, адам қолының саусақтарының жиыны, жұлдызшаның төбесінің жиыны, дөңес бесбұрыштардың диагональдарының жиыны, оның бұрыштарының жиыны, т.с.с. жатады. Бір класқа жататын жиындардың қуаты бірдей болады да, әр класқа жататын жиндардікі әртүрлі болады. Шындығында, жоғарыда келтірілген мысалда бір жиынның элементтері латын алфавитінің әріптері болса, екіншісінікі – адамның саусақтары, үшіншісі – геометриялық фигуралардың диагональдары , төртіншісінікі – сол фигураның бұрыштары, т.с.с. Сапа жағынан бірі - бірінен айырмашылығы бар жиындарды бір класқа жатқызып біріктіргенде, біз бұл класқа еңгізіліп отырған жеке жиындардың өздеріне тән сапалық ерекшеліктерінің барлығын еске алмай, тек олардың барлығына ортақ жалпы қасиетін және ол кластың кез келген жиынын оған тең қуатты басқа бір жиынмен алмастырғанда өзгермей сақталып қалатын қасиеттерін ғана ескереміз. Барлық тең қуатты жиындарға тән, бәріне ортақ, өзгермей сақталатын қасиет - ол жиынның элементтерінің саны. Тең қуатты жиындардың қандай да бір класы туралы ұғым – натурал сан деп аталады. Бұдан мынадай қорытынды шығады: бір класқа жататын жиындардың , яғни тең қуатты жиындардың, барлығы бірғана натурал санмен сипатталады. Натурал сандар қасиеттері тең қуатты жиындардың қасиеттерінің, атап айтқанда, олардың тең қуатты жиындардың белгілі бір класына жататындығынан ғана туатын, ал ол жиындардың өздерінің сапалық ерекшеліктеріне ешбір байланысты болмайтын қасиеттерінің, абстрактылы юейнесі болып табылады. Мысал, жоғарыда a, b, c , d әріптер жиынына тең қуатты жиындар класын қарастырайық.. Бұл класс 4 санымен сипатталады. Бұл класқа жататын жиындардың әрқайсысының ортақ бір қасиеті бар. Бұл қасиеттер натурал сан 4 – тің арифметикалық қасиеттеріне бейнеленген, ал 4 саны жиындардың қарастырылап отырған класын сипаттайды. жүктеу/скачать 1,35 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|