Лекция Жиын ұғымы, элементі
жүктеу/скачать 1,35 Mb.
|
| a, b, c , d ,е әріптердің жиынына тең қуатты жиындардың жоғарыда құрастырылған класы натурал сан 5 – ті анықтайды.
Бұл класқа жататын жиындардың қандайын болса да өзара тең қуатты екі немесе төрт бөлікке бөлу үшін, ол жиынның бір элементін алып тастау керек. Натурал сан 5 – тің арифметикалық қасиеттерінде жиынның нақ осы қасиеттері бейнеленгендігін оңай аңғаруға болады. Натурал сан – абстракт ұғым , бұл ұғым адамның әртүрлі жиындарды өзара бірмәнді сәйкестікке келтіру жөніндегі практикалық іс -әрекетінің нәтижесінде пайда болған. Тең натурал сандар деп тең қуатты ақырлы жиындарды сипаттайтын сандарды айтады. Егер жиындар тең қуатты болмаса, онда оларды сипаттайтын натурал сандар да тең болмайды: қуатты көбірек жиынды көбірек сипаттайтын натурал сан артық (үлкен( болып, қуаты азырақ жиынды сипаттайтыны натурал сан кем (кіші) болады. Егер а саны А жиынымен, б саны В жиыны мен сипатталса және А ~ В болса, онда «а мен б тең» делінеді де былай жазылады: а=b. Егер А ~ В болса, онда «а мен б тең емес» делінеді де а ≠ б деп жазылады. Егер А жиыны В жиынының ішкі жиыны болып келсе, яғни А В, онда а саны б санынан кем делініп aа мен б екі саны туралы сөз болғанда, мынадай үш түрлі байымдаудың тек біреуі ғана тура болуы тиіс: a=b, а Екі натурал санның кішісін үлкен саннан бұрыңғы алдыңғы сан деп, үлкенін кіші саннан кейінгі келесі сан деп түсіңетін боламыз. Сонымен, натурал саннан құрылған жиын реттелген жиын болады. Барлық натурал сандар сандардың натурал қатары немесе натурал тізбек деп аталатын жиын құрайды. Жоғарыда қарастырылған шектеулі жиындардан натурал сандар жиынының өзгешелігі – ол ақырсыз жиындар класына жатады. Ақырсыз жиынды оның элементтерін біртіндеп санап шығу тәсілдерімен беруге болмайтыны жалпы қасиетін көрсету арқылы ғана берілуі мүмкін. Элементтерінің саны а болатын М жиыны болса, оған әрқашан да тағы бір элемент қосуға болады, сонда жиынның элементтерінің саны а ¹ М¹ жиыны шығады. Сөйтіп, әр жолы алдыңғы санға бір санын қоса отырып, сандардың мынадай жиынын жасауға болады: 1,2,3,4, ... Мұны былай түсіну керек: бұл жиынның кез келген санына бірлікті қосып, жаңа сан құруға болады, бұл жаңағы санға тетелес келесі сан болады. Натурал сандар жиынының ерекшелігі сол, оның элементтері тізбектелі, орналасқан, сондықтан қандай элементті қайсысынан кейінгі келесі элемент , қандай элементті қайсысынан бұрынғы алдыңғы элемент екендігін және қандай элемент бастапқы элемент екендігін тағайындауға болады. Мұндай жиын сандардың реттелген натурал қатары деп аталады. Егер жиынның кез келген элементі үшін аралық элемент табыла бермейтін болса, онда дискретті жиын демек, тығыз емес деп аталады. Тығыз жиын мысалы ретінде түзу кесіндінің нүктелерінің жиынын атауға болады. Натурал сандар жиыны тығыз диын болмайды: 5 пен 6 натурал сандары үшін аралық натурал сан жоқ, 7 мен 8; 15 пен 16 т.с.с сандар үшін де аралық сандар болмайды. Жияендардың қуаттылығы жағынан бір – бірімен салыстырғанда шығарған қорытындыларымыздың барлығы да қарастырылып отырған жиындардың біреуін онымен тең қуатты басқа бір жиынмен алмастырғанда да тура болады. Осы жағдайды еске алып, арифметикалық операцияларды орындағанда біздің тәжірибе жүзінде бұрыннан өзімізге белгілі болған кейбір нақтылы жиындармен; қолдарымыздың саусақтарын, ұсақ тастарды, ағаш таяққа салған белгілері, т.с.с пайдалануымызға болады. Сонда бұл нақтылы жиындар тең қуаттылы жиындардың белгілі бір кластарының өкілдері тәрізді қарастырылады да, бұл жағдайда олар сандардың абстракт ұғымының нақтылы баламалары болып табылады. Шындығында да тең қуатты жиындардың бүкіл класын осы класқа жататын кез келген жиынмен сипаттауға болады, сондықтан тексеріліп отырған нақтылы жиынды басқа бір жиынмен салыстыруға болады. Ол үшін қарастырылып отырған отырған жиынды онымен салыстыру үшін алынған жиынмен өзара бірмәнді сәйкестікке келтіру керек. Тең қуатты жиындардың кластарының нақтылы өкілдері ретінде пайдаланылатын жиындарды таңдап алғанда, олардың оңай табылытандығы, тәжірибеде қолайлығы, тұрақтылығы, тексеріліп зерттелгендігі сияқты жағдайлар еске алынып, таза практикалық тұрғыдан қарастырылады. Санау процесінің мәнісі зерттеліп отырған нақты жиынды қандай да бір жиынмен өзара бірмәнді сәйкестікке келтіру болды. Бұл жиынды стандарт жиын деп атайды. Бұл процестің алғашқы кезде адамдарды қандай түрде болғандығын зерттеу нәтижесіне қарағанда, стандарт жиындар ретінде ол адамдар өздері жақсы білетін белгілі бір жинақтың бөлігін қолданған, ал қуатты үлкенірек жиынды қарастыруға келгенде , ол стандарт жиында бірте – бірте ұлғайтып отырған. Мұндай стандарт жиын ретінде көбінесе қолдың саусақтары алынып, олар адамның басқа мүшелерімен (қол басы, аяқ т.с.с.) толықтырылып отырған. Саяхатшылардың айтуына қарағанда Африкадағы даминар тайпасында есепті былай жүргізіп отырған: саяхатшы сатып алмақшы болған сиырға 10 қорап темекі беруге тиіс екендігін түсіндіру үшін сиырдың иесі екі қолының саусақтарын жазып ұстайды екен де, әр саусағына бір қорап қою керек деп ымдап көрсетеді екен. Бұлайша санау тәсілінің мәнісі екі жиынның элементтерін атап айтқанда темекі қорабының жиыны мен стандарт жиын – екі қолдың саусақтарының жиынының элементтерін өзара бірмәнді сәйкестікке келтіру айқын көрініп тұр. Санау процесінде стандарт жиын элементтері үнемі белгілі бір тәртіппен пайдаланылып отырған, әдетте ол тәртіп сол қолданылып отырған стандарт жиынның тарихы , ұлғаю тәртібін қайталап отырады, ал стандарт жиын бұрын атап көрсеткеніміздей, қуаты көбірек жиындарды білу қажет болған жағдайда ұлғайтылып отырған. Стандарт жиын элементтерінің тізбектеліп келу тәрітібінің өзгермейтіндігін пайдаланып, қарастырылып отырған жиянды стандарт жиынның санау процесінде пайдаланылған соңғы элементінің атымен сипаттауға болады. Мысалы, элементтері қолдың саусақтар: бас бармақ, сұқ саусақ, ортан саусақ, аты жоқ саусақ, шынашақ болып келген стандарт жиынды алуға болады. Егер бір жиын «шынашақ» деген сөзбен сипатталады десек, онда ол жиын тең қуатты жиындардың біздің түсінігімізше натурал сан 5 – пен сипатталатын класына жатады деген сөз. Бұл жағдайда «шынашақ» деген сөзбен 5 саны аталған. Жиын элементтерін санау үшін оқлданылған нәрселердің аты мен санның атының жоғарыдағыдай дәлме – дәл келуі адам баласының өркендеп дамуының ерте кезгі сатысында – ақ пайда болған. Мәдениеттің өркендеп дамуына байланысты адамға қуаты өздері қолданып жүрген стандарт жиынының қуатынан артық жиындарды зерттеу қажет болатын жағдайлар жиі кездесіп тұрған. Практикада үлкен қуатты жиындарды зерттеу қажет болған, олардың элементтерін жақсы зерттелген стандарт жиынның элементтерімен өзара бірмәнді сәйкестікке келтіру нәтижесінде жаңа стандарт жиын – шектеусіз натурал сандар жиыны келіп шыққан. Бұл жиын бірінен соң бірі белгілі бір тәртіппен келіп отыратын және жиындардың қуатын сипаттау, салыстыру үшін пайдаланылатын сан символдарының системасы болып табылады. Сөйтіп, санау процесі зерттеліп отырған нақтылы жиынның элементтерін натурал сандар жиынымен өзара бірмәнді сәйкестікке келтіру болып табылады. Санау процесінде саналатын жиынның элементтерін тізбектей 1,2,3,4 ... сандармен бірмәнді сәйкестікке келтіреміз. Саналатын жиынның ақырғы элементіне келіп жеткенде, ол элементке сәйкес келген сан жиын элементтерінің саны болып табылады. Санау нәтижесі санау тәртібіне байланысты болмайды. Бұл санау аксиомасы. Шынында да санау процесінде саналатын жиын элементтерін натурал қатар сандарымен бірте –бірте өзара бірмәнді сәйкестікке келтіру үшін оларды қандай тәртіппен алсақ та, ол жиынның барлық элементтері таусылғанда берілген жиынға теңбе - тең жиын шығатыны сөзсіз. Санау нәтижесінде 1,2,3, ... сандардың натурал қатары туралы ұғымға келеміз де, бұл қатардағы әрбір сан сол қатардағы орынмен анықталады. Сөйтіп , санау процесінен екі түрлі сан шығады: біреуі жиын қуатының сипаттамасы ретінде қарастырылатын жинақтық сан, екіншісі -берілген элементтің қандай да бір реттелген жиындағы орнының сипаттамасы ретінде қарстырылатын реттік сан. Мысалы, университтет ғимаратында оқу дәрісханалары бірінші, екінші, үшінші, т.с.с болып нөмірленген. Соған қарап студент қай дәрісханада сабақ болатынын біледі. Бұл жағдайда реттік сан пайдаланылады. Студенттердің бір оқу тобында қанша студент бар екенін білу үшін «неше студент бар?» деген сұраққа жауап беру керек: біреу, екеу, үшеу, т.с.с. Бұл жағдайда жинақтық сан пайдаланылады. жүктеу/скачать 1,35 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|