Нелинейные операции над векторами. Смешанное произведение и векторное произведения

Пусть , , - базис трехмерного векторного пространства.

Базис , , называется правым (левым), если при взгляде на плоскость векторов и из конца третьего вектора кратчайший поворот от первого вектора ко второму вектору виден как идущий против часовой стрелки (по часовой стрелке). На рис. 16 изображен правый базис, на рис. 17 – левый.

Можно дать и другие определения правого и левого базиса, например, такое: базис , , называется правым (левым), если эти векторы, отложенные от одной точки, располагаются так же, как расставлены (примерно под прямым углом) пальцы правой (левой) руки: большой палец – по первому вектору , указательный – по , средний – по .

Мы будем пользоваться в дальнейшем первым определением.

Если два базиса правые (или левые), то говорят, что они одинаково ориентированы или имеют одинаковую ориентацию. Если один базис правый, а другой – левый, то говорят, что они противоположно ориентированы или имеют противоположную ориентацию.

Множество всех правых (всех левых) базисов в пространстве V называется правой (левой) ориентацией векторного пространства V.

Таким образом, в векторном пространстве ориентацию можно задать двумя способами: правую и левую. Векторное пространство, в котором выбрана ориентация, называется ориентированным. Как только в пространстве мы зададим базис, так сразу оно становится ориентированным.

В дальнейшем, если нет специальных оговорок, когда в пространстве выбран базис, будем считать, что он является правым.

Аналогично можно ввести понятие ориентированной плоскости. При этом базис , на плоскости называется правым (левым), если кратчайший поворот от первого базисного вектора ко второму осуществляется против часовой стрелки (по часовой стрелке).

Векторным произведением называется вектор, образующий правую тройку с ненулевыми сомножителями, перпендикулярный к определяемой ими плоскости и модуль которого равен произведению их модулей и синуса угла между ними. Либо это нулевой вектор.

Линейность векторного произведения позволяет вычислить его координаты как определитель третьего порядка, строки которого - это базис и координаты сомножителей.

В качестве приложения можно получить формулу площади треугольника с данными вершинами.

Смешанное произведение трёх векторов определяется как скалярное произведение первого и векторного произведения двух других.

Линейность смешанного произведения позволяет вычислять его как определитель матрицы, образованной тремя строками координат сомножителей.

Геометрическими приложениями является формула объёма тетраэдра, способ проверки на правую ориентацию и признак компланарности.