VI. Ұғымды дамыту (басқа ұғымдармен байланысы). Параллель түзулер ұғымының басқа ұғымдармен байланысын осы тақырыптан кейінгі оқытылатын «Үшбұрыштың ішкі бұрыштарының қосындысы», «Тікбұрышты үшбұрыш», «Түзуге жүргізілген перпендикулярдың бар болуы және жалғыздығы» және т.с.с. тақырыптарға қатысты есептерді шығару барысында көрсетуге болады.
Теорема. Қандай да бір түзу параллель екі түзудің біреуін қиып өтсе, онда ол екіншісін де қиып өтеді. Дәлелдеуі. а||в түзуі берілсін (5.11-сурет). с түзуі b түзуін М нүктесінде қияды, оның а түзуінде қиятындығын дәлелдейік.
Қарсы жорып, с түзуі а түзуімен қиылыспайды дейік. Сонда с||а болады да, М нүктесі арқылы а түзуіне параллель b және с екі түзуі өтетін болып шығады. Бұл жоғарыда айтылған аксиомаға қайшы. Олай болса, с және а түзулері қиылысады. Теорема дәлелденді.
1-теорема.Егер параллель екі түзуді үшінші түзу қиып өтсе, онда пайда болған айқыш бұрыштар тең болады. 2-теорема.Параллель екі түзуді үшінші түзумен қиғанда сәйкес бұрыштары тең болады, ал ішкі тұстас бұрыштарының қосындысы 1800-қа тең. 3-теорема.Сәйкес қабырғалары параллель екі бұрыш өзара тең немесе олардың қосындысы 1800 - қа тең болады. Салдар.Сәйкес қабырғалары бірдей немесе қарама-қарсы бағытталған екі бұрыш тең болады. Мысалы, мынадай есепті қарастырайық: Түзудің екі нүктесінен оған параллель түзуге дейінгі қашықтық тең болатындығын дәлелде. Шешуі. а және b параллель түзулер болсын (5.12-сурет). а түзуінен А және А1 нүктелерін белгілеп, олардан b түзуіне АВ және А1В1 перпендикулярларын түсіреміз. АВА1 мен В1А1В тікбұрыштары үшбұрыштары гипотенузасы мен сүйір бұрышы бойынша тең. Олардың ВА1гипотенузасы ортақ, ал АА1В мен В1ВА1 сүйір бұрыштары а және b параллель түзулеріндегі ішкі айқыш бұрыштар болғандықтан тең болады. Үшбұрыштар теңдігінен АВ және А1В1 қабырғаларының теңдігі шығады. Олай болса, АВ және А1В1 арақашықтықтары тең. Дәлелдеу керегі осы еді.
